01

由具體例子 路程、圓的面積的累和 引入函數(shù)的面積 與 用無(wú)限細(xì)分后的 長(zhǎng)方形面積的累和 是一樣的。（用不斷細(xì)分后的均勻的累加來(lái)近似非均勻）

引出許多問題都可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)面積，那如何求函數(shù)面積呢？或者說(shuō)如何求函數(shù)面積A與函數(shù)自變量x之間的函數(shù)關(guān)系A(chǔ)（x）？

可以先得到dA(x)與dx的關(guān)系，即dA（x)=dx*f(x).即A(x)的導(dǎo)數(shù)即為f（x）。

（幾何上直觀看出 函數(shù)變上限積分的導(dǎo)數(shù) 就是 函數(shù)本身。)

本視頻主要講了微積分的基本定理，即積分和導(dǎo)數(shù)可以相互轉(zhuǎn)換，具體來(lái)說(shuō)就是某個(gè)圖像面積的導(dǎo)數(shù)就是這個(gè)圖像的函數(shù).（即dA/dx=f(x)）

02-導(dǎo)數(shù)的悖論

求導(dǎo)公式是用定義求極限得出來(lái)的。

本期通過(guò)“瞬時(shí)變化率”引入了導(dǎo)數(shù)的概念，即dt趨近于0時(shí)的ds/dt。這里的dt表示一段微小的時(shí)間差，注意這是一個(gè)具體的差值而不是無(wú)窮小，ds代表dt對(duì)應(yīng)的距離差。

所以說(shuō)，所謂的“瞬時(shí)變化率”就是那一點(diǎn)的速度，這樣的的說(shuō)法是矛盾的，詳見下列例子

（實(shí)例解釋瞬時(shí)變化是不存在的）而定義dt是個(gè)具體的時(shí)間差，導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)dt趨近于0時(shí)的一個(gè)比值，就解決了這一問題。這樣某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) 也就是 函數(shù)在某點(diǎn)的切線斜率 也是所謂的“瞬時(shí)變化率” 就不是那一點(diǎn)的速度（變化率），而是在 “那一點(diǎn)附近變換率” 的最佳近似(附近變換率的極限）。

（導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)推導(dǎo)解釋）

03-用幾何來(lái)求導(dǎo)

本期介紹了用函數(shù)的幾何上的表示方法，找到df和dx的在dx趨近于0時(shí)的比值。

f(x)=x^2

dx趨近于0時(shí)，df的分解式子中dx的高階就可以忽略掉。

f(x)=x^3

代數(shù)方法結(jié)合幾何證明冪函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式

用幾何理解求導(dǎo)公式的意義

后面用幾何的方法求了1/x，x^1/2，sinθ，cosθ的導(dǎo)函數(shù)。即先找到函數(shù)表示的幾何意義，從而找到df與dx的關(guān)系，再求極限。

三角函數(shù)對(duì)df/dx求在dx趨于0時(shí)的極限時(shí)，df/dx，即可化為一個(gè)直角三角形中的角的正弦（余弦）值，極限下，這個(gè)角的大小正好于θ值相等。故得(sinθ)'=cosθ,(cosθ)'=sinθ。

04-直觀理解鏈?zhǔn)椒▌t和乘積法則

本期通過(guò)可視化的方式去直觀地理解 加法求導(dǎo)法則，乘法求導(dǎo)法則，以及 復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則。(最好是自己手動(dòng)結(jié)合圖像推導(dǎo)一遍，理解和印象才比較深刻）

加法法則

通過(guò)在直角坐標(biāo)系中累和來(lái)可視化，圖像中可看出 d(f+g)=df+dg=f'dx+g'dx

乘積法則

注意:紅色部分是d(sinx)*d(x^2)=2xcosx (dx)^2,是dx的高階無(wú)窮小可忽略。

d(gh)=hdg+gdh+dgdh

復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則

把內(nèi)層函數(shù)x2看做一個(gè)自變量h來(lái)研究外層函數(shù)sin的微分dsin(h)

用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)出的最后表達(dá)式含義：例如x=1.5時(shí)，公式表示在x=1.5這個(gè)地方x每增加dx，第三條橫軸上增加大約是cos(1.52)*2*1.5*dx的長(zhǎng)度（大約是因?yàn)槲⒎衷偌由弦粋€(gè)高階無(wú)窮小才是增量）

鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則內(nèi)容：

先把內(nèi)層函數(shù)看做整體h，對(duì)外層求導(dǎo)后再對(duì)內(nèi)層求導(dǎo)。即，復(fù)合函數(shù)g(h(x))的導(dǎo)數(shù) 等于g的導(dǎo)數(shù)在h時(shí)的值 乘以h的導(dǎo)數(shù)。

d(g(h))=g'(h)dh=g'(h)h'(x)dx

總結(jié)鏈?zhǔn)椒▌t

dh的消去不止是符號(hào)上的技巧， 而是真實(shí)反映出我們?cè)谇髮?dǎo)時(shí)，各種微小變化量發(fā)生了什么。（dx乘以dh/dx是dh的變換量，再乘以dg/dh就是dg的變化量。）

本期是想表明那些求導(dǎo)法則并不是死記硬背的東西，而是很自然的規(guī)律。

05-指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)

用代數(shù)的方法而不是幾何的方法來(lái)研究指數(shù)函數(shù)（以2^t為例）的導(dǎo)數(shù)。

發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)2^x取極限時(shí)的變化率（也就是導(dǎo)數(shù)），不等于指數(shù)函數(shù)本身，而是和自己成一定比例。

當(dāng)取底數(shù)a為2.71828……時(shí)，指數(shù)函數(shù)變化率就是指數(shù)函數(shù)本身（比例是1），稱這個(gè)常數(shù)為e。e就是這樣定義的，具體式子中可以發(fā)現(xiàn)底數(shù)為e時(shí)，取dt的極限，e^dt-1與dt之比是1，即e^x的導(dǎo)數(shù)就是e^x。

e定義的來(lái)源：底數(shù)為e時(shí)，指數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)是自己本身。

借助e^x的導(dǎo)數(shù)就是e^x來(lái)研究其余 變化率是和本身成一定比例的 指數(shù)函數(shù)a^x。 借助a=e^(lna)，把a(bǔ)^x化為 e為底的指數(shù)函數(shù) 與 冪函數(shù) 的復(fù)合函數(shù)。（根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，ln2就表示 e的ln2次方等于e。）

通過(guò)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，發(fā)現(xiàn)系數(shù)就是lna

在許多自然現(xiàn)象中，有很多量并不直接不表現(xiàn)為a^x這種指數(shù)函數(shù)的形式，而是表現(xiàn)為 這些量的變化率和這個(gè)量本身成正比 的現(xiàn)象。具體例子有水杯溫差的變化率與溫差本身成比例，投資中金額的變換率與金額本身成比例。

就在對(duì)這些量進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)，都改寫為以e為底的指數(shù)函數(shù)是自然的，因?yàn)槲覀兺ǔＶ恢浪麄冎g的比例系數(shù)-k（或叫1+r等），改寫為e時(shí) 變化率和數(shù)量本身的 比例系數(shù)-k就是 改寫后的指數(shù)部分的 常系數(shù)-k 。（如下圖）本質(zhì)是由于e^x的導(dǎo)數(shù)就是e^x。改寫以a為底的時(shí)候或者其他的如以π為底的時(shí)候都不具備這個(gè)性質(zhì)，可以手動(dòng)算下試試。

06-隱函數(shù)求導(dǎo)是怎么回事？

幾何的方法是半徑的斜率與切線斜率的積是-1.

從求弧線上任意一點(diǎn)的斜率引入，隱函數(shù)求導(dǎo)。

疑問：對(duì)隱函數(shù)兩邊求導(dǎo)好像并沒有什么意義。不像平常的函數(shù)一樣，是由一個(gè)自變量的變化，引起了一個(gè)因變量的變化。

隱函數(shù)求導(dǎo)的方法中，dx和dy并沒有一個(gè)東西引起他們的變化，好像失去了以前的意義。

相關(guān)變化率問題

引入一個(gè)相關(guān)變化率的實(shí)例，雖然是同一個(gè)表達(dá)式，但這個(gè)例子中是有一個(gè)自變量t的變化dt，引起dx和dy的變化，兩邊求導(dǎo)是有明確意義的，是求一個(gè)表達(dá)式對(duì)時(shí)間的變化率。求導(dǎo)后右邊是也0，意思是dt的變化引起x^2+y^2的變化是0.（右邊的數(shù)表示整體變化量是自變量變化的幾倍）

為了解決上面的疑問，就將x^2+y^2整體賦予一個(gè)字母S，不同的xy對(duì)應(yīng)不同的S，這里的S是點(diǎn)（x，y）距離原點(diǎn)的距離的平方。對(duì)式子求導(dǎo)就變成了求dS，如此便有了意義，求dS就是看x y分別變化了dx和dy后，引起S的變化dS是多少（這里的dS和所有求導(dǎo)出的變換量一樣，只是ΔS的近似值，但在自變量無(wú)窮小時(shí)沒區(qū)別）。

求導(dǎo)后dS=2xdx+2ydy=0，就是表示dx、dy無(wú)限小時(shí)，每走一步dx和dy，dS變化為0，點(diǎn)（x,y）還是落在圓上的。

實(shí)際上每走一步dx，dy是落在圓的切線上的，而且求導(dǎo)出的ds，也是ΔS的近似值。只是在dxdy越來(lái)越小時(shí)，dS就越近似ΔS，dx和dy也是落在圓上。ΔS=(x+dx)^2+(y+dy)^2-(x^2+y^2)=2xdx+2ydy+(dx)^2+(dy)^2=dS+高階無(wú)窮小

新例子來(lái)總結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)的意義。

點(diǎn)（x，y）每移動(dòng)一步dx和dy，左邊求導(dǎo)后式子表示引起左邊的變化量，右邊求導(dǎo)后式子表示引起右邊的變化量。兩邊變化量是相等時(shí)，就（x，y）就繼續(xù)落在這個(gè)曲線上。

用隱函數(shù)求導(dǎo)的方法 來(lái)從 已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 求 未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

舉了用已知e^x的導(dǎo)數(shù)，來(lái)求lnx的導(dǎo)數(shù)的例子?？梢酝茝V到用已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求其反函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式（方法）。

07-極限

這期視頻的幾個(gè)作用：

1.將前面講的導(dǎo)數(shù)df/dx，與教科書中的定義聯(lián)系起來(lái)，從定義看df和dx確實(shí)是具體存在的非零變化量

2.用“ε-δ”語(yǔ)言來(lái)解釋什么叫“逼近”

3.洛必達(dá)法則的由來(lái)

導(dǎo)數(shù)正式定義

關(guān)于dx的看法

因?yàn)檫@樣不僅可以更直觀地理解 微積分的法則是怎么來(lái)的（如：加法、乘法、鏈?zhǔn)剑?；還因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的定義也是這么看的，h是具體的量，然后考慮這個(gè)量很小的時(shí)候的情況（趨近于0），但也還是一個(gè)具體的量。

視頻進(jìn)而引入極限的定義，說(shuō)明極限的定義也是如此認(rèn)為的，h→0時(shí)，也就是h是屬于（0，δ）的一個(gè)去心鄰域的一個(gè)量。（極限定義了導(dǎo)數(shù)，當(dāng)然對(duì)于h的看法是一樣的）

開始極限部分，正確理解 一個(gè)變量逼近另一個(gè)變量的含義

引入情景，結(jié)合圖像，準(zhǔn)確給出 逼近的定義

“ε-δ”定義的意義：這是體驗(yàn)到一點(diǎn) 實(shí)分析，也是體會(huì)微積分創(chuàng)造過(guò)程中怎么從一個(gè)直覺的理念不斷完善細(xì)致的。

洛必達(dá)法則的證明 中體會(huì) 極限的思想。

估算方法

效仿估算方法，取一個(gè)值1+dx，dx越小，比值越精確。

目的是求函數(shù)在x逼近1時(shí)的逼近值，則在x=1附近取一個(gè)相距dx的x值1+dx后，轉(zhuǎn)化為求f(1+dx)/g(1+dx)的極限，（體現(xiàn)極限思想，附近的x不斷逼近1時(shí)，附近的函數(shù)值也在不斷逼近圖像中的那個(gè)未定義點(diǎn)）也就是f(1+dx)-0/g(1+dx)-0，dx無(wú)限小時(shí)，曲線即是直線，便是df/dg,函數(shù)變換量又可以用dx的式子表示，得f'(1)dx /g'(1)dx，即求f'(1)/g'(1)（這里體現(xiàn)思想，dx無(wú)限小時(shí)，函數(shù)變化量df、dg，自變量變化量dx都還是具體的值，所以df和dg才可以近似Δf和Δg，所以dx才可以相消去）。

從具體的函數(shù)推廣到任意兩個(gè)在a點(diǎn)可導(dǎo)但函數(shù)值為0的函數(shù)的比值。

導(dǎo)函數(shù)定義中也是0/0極限，但不能用洛必達(dá)法則來(lái)求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以此得到新的求導(dǎo)公式，因?yàn)榍疤崾且肋@個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

所以再推導(dǎo)求導(dǎo)公式中并沒有無(wú)腦通用的解法，只能根據(jù)具體情況發(fā)揮想象構(gòu)造具體的圖形來(lái)推導(dǎo)。

08-積分與微分基本定理

微積分基本定理：積分和導(dǎo)數(shù)可以相互轉(zhuǎn)換。

最終體現(xiàn)在牛頓—萊布尼茨公式上，本期也將推導(dǎo)出這個(gè)公式。求積分值就是求原函數(shù)的在上下限處的函數(shù)值之差，求原函數(shù)的過(guò)程就是求導(dǎo)的逆運(yùn)算。

本期將詳細(xì)介紹 在直覺上合理明顯的微積分基本定理，并證明。（直覺上顯而易見是指 函數(shù)的變上限積分 的導(dǎo)數(shù)就是 函數(shù)本身，即dA(x)/dx=f(x)。）

逆運(yùn)算是指：先積分再求導(dǎo)還是函數(shù)v(x)本身。（是v(x)還是v(t)還是v(T)都是一個(gè)函數(shù)，對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域一樣，就是同一個(gè)函數(shù)）

或者說(shuō)是 v(T)積分變?yōu)椤?T v(t)dx，對(duì)后面求導(dǎo)有變成了前面。

引入開車實(shí)例，如何從速度表推出走了多遠(yuǎn)。

對(duì)第二章微分相對(duì)應(yīng)，與之正好相反，這次從v(t)求s(t)，即求v(t)原函數(shù)。

用均勻近似非均勻然后取極限，就得到了精確解。

選哪一個(gè)不重要，重要的是取得一系列近似不論取成什么沒結(jié)果都會(huì)隨著dt的不斷減少而變得越來(lái)越好。

積分各部分的含義

為什么叫做積分

將求非均勻的速度走過(guò)的路程 換成了 求面積的問題。

許多完全不相干問題都可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖像與橫軸所圍成的面積的問題，下期將詳細(xì)介紹。本期先介紹如何求這個(gè)面積。

第一期的思想和導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來(lái)。

速度定義結(jié)合圖像就能得到面積導(dǎo)數(shù)就是v(T)。

所以現(xiàn)在知道了A(x)的導(dǎo)數(shù)是v(t)，v(t)分開一項(xiàng)一項(xiàng)看就可根據(jù)導(dǎo)數(shù)倒推出原函數(shù)。

有很多個(gè)原函數(shù)

那具體哪一個(gè)原函數(shù)才是這個(gè)變上限積分的函數(shù)呢?之前利用了導(dǎo)數(shù)是v(t)確定了常數(shù)項(xiàng)以外的部分?，F(xiàn)在可以利用積分下限a（這里a=0），來(lái)確定常數(shù)項(xiàng)C。當(dāng)T取積分下限a的時(shí)候，總面積是0，

變上限積分s(T)=s(a)=0=（4a2-1/3a3）+C

所以C=-(4a2-1/3a3）這里a=0

也可以說(shuō)當(dāng)C=-(4a2-1/3a3）時(shí)，就確保了若T取積分下限a（即T=a），積分的函數(shù)值s(T)就一定是0。

即使確定部分原函數(shù)時(shí)帶有常數(shù)項(xiàng)，也不影響方法的使用，因?yàn)镃取積分下限函數(shù)值得相反數(shù)，就可以保證常數(shù)項(xiàng)會(huì)相消去。

推廣至一般函數(shù)求積分

求積分就是求面積，而面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是被積函數(shù)f(x)，所以

第一步找被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)，F(xiàn)(x)的要求就是導(dǎo)數(shù)是f(x)。

第二步就是原函數(shù)F(x)在上限時(shí)的值F(b)減去下限時(shí)的值F(a)，就得到了積分的值。

這個(gè)求積分等式就是微積分基本定理。

回顧總結(jié)

求路程→求面積→A'(x)=v(x)→求原函數(shù)→

確定常數(shù)項(xiàng)C→牛頓萊布尼茨公式（微積分基本定理）

求路程可以化為求面積，抽象出來(lái)的原因是因?yàn)閐s(t)=dv(t)*dt，也就是s'(t)=ds(t)/dt=dv(t).

對(duì)“負(fù)面積”的理解，負(fù)面積說(shuō)明v是負(fù)的，車是向后開的，s是減少的，所以總的積分值就是正的部分的面積減去負(fù)的部分的面積。

09-面積和斜率有什么聯(lián)系

積分新的應(yīng)用：求連續(xù)變量的平均值

本期將提供一種新視角講導(dǎo)數(shù)與積分互為逆運(yùn)算。之前的視角是dA/dx=f(x)。（新視角是指f(x)平均值 就是 F(x)區(qū)間各點(diǎn)切線斜率的平均值,即區(qū)間割線斜率。）

平常中的平均值都是有限量，我們可以相加再除以數(shù)量的到平均值。但連續(xù)變量中數(shù)量有無(wú)數(shù)個(gè)。

仿照積分的方法，先用有限個(gè)數(shù)值相加來(lái)估算，再隨著取點(diǎn)數(shù)目的增加而不斷近似。

上面就相當(dāng)于把sinx*dx的項(xiàng)累加了起來(lái)，隨著取點(diǎn)數(shù)量的增加，上面就越來(lái)越接近sinx從0

到π的積分。

具體計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，積分值也就是面積，等于原函數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)差值。（這里等于2）

這里說(shuō)的斜率是F(x)割線斜率乘以區(qū)間長(zhǎng)度（b-a）就等于f(x)的面積。

從代數(shù)上利用之前的牛頓-萊布尼茨公式得到的等式，在幾何上為什么是有聯(lián)系的？

推廣到一般函數(shù)的總結(jié)

為什么求連續(xù)函數(shù)平均值可以變?yōu)榍蠓e分除以區(qū)間長(zhǎng)度。

進(jìn)而等價(jià)于求F(x)割線斜率。

總結(jié)為什么求導(dǎo)和積分互為逆運(yùn)算的兩種視角。

第八章中 導(dǎo)數(shù)和積分互為逆運(yùn)算 是因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的面積函數(shù)（即變上限積分）的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)f(x)本身，所以求積分就是求原函數(shù)。（體現(xiàn)原函數(shù)就是解決積分問題的關(guān)鍵，求積分就是求原函數(shù)）

本期視頻的 導(dǎo)數(shù)和積分互為逆運(yùn)算 的新視角是，把求一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(x)的平均值 轉(zhuǎn)化 為求原函數(shù)各點(diǎn)切線的平均斜率 時(shí)，只需考慮起點(diǎn)和終點(diǎn)構(gòu)成的割線斜率，而不用考慮任何中間點(diǎn)。（體現(xiàn)原函數(shù)（F割線斜率）就是解決積分問題（f(x)平均值）的關(guān)鍵）

什么時(shí)候用積分？

上期講的 能用積分的情況

1.可以通過(guò) 細(xì)分再相加的方式估算時(shí)，如汽車變速運(yùn)動(dòng)的路程。

2.有限個(gè)數(shù)量相加推廣到連續(xù)變量，也就是無(wú)限個(gè)數(shù)量相加時(shí)，可以用積分。這種直覺在概率論中經(jīng)常出現(xiàn)。（如：定積分定義求數(shù)列極限）

09腳注-高階導(dǎo)數(shù)

二階導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)數(shù)的變化率，二階導(dǎo) 為正，導(dǎo)數(shù)（斜率）增加。

x=4這個(gè)地方，二階導(dǎo)數(shù)很大，是因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的變化率很大。

簡(jiǎn)寫為d2f/dx2。

二階導(dǎo)符號(hào)含義，講這個(gè)符號(hào)是怎么來(lái)的，代表著什么。

對(duì)于一個(gè)確定的某個(gè)x來(lái)說(shuō)，d(df)與(dx)2成正比。

d(df)記作d2f，是dx趨近0時(shí)，微分的變化量；下面的dx2表示dx*dx，是自變量微小變化量的平方。