概率與統(tǒng)計題 2.?對每個正整數(shù)?，找出最大的實數(shù)??使得以下性質(zhì)成立：對每個??雙隨機(jī)矩陣?（雙隨機(jī)矩陣是指所有元素均為非負(fù)實數(shù)且每行每列的元素之和均為??的方陣），都存在??上的置換??使得??對每個??都成立。

首先說明答案：。

設(shè)?，并記?，，則每行、每列的??個元素中至少有一個屬于集合?。由 Hall?定理，?中存在某個??子矩陣，其中每個元素均屬于集合?（不妨設(shè)該子陣位于??左上角），則前??行后??列元素之和不超過?。因此前??行一定有某一行后??列元素和不超過?。從而?，即?。

下面再給出??的構(gòu)造。當(dāng)??為奇數(shù)時，取?。令??可得?。若存在??使得?，則前??行后??列中至少有??個元素在集合??中，矛盾。因此?。

當(dāng)??為偶數(shù)時，取?。同理可以證明?。

經(jīng)過分析不難看出這是一個相異代表系，而對此本人只知道 Hall?定理，所幸這樣問題就可以做出來。

概率與統(tǒng)計題 3.??為正整數(shù)。對??定義

其中??是??中第??個最小的數(shù)，實數(shù)?。定義一個標(biāo)準(zhǔn)均勻變量是隨機(jī)變量??滿足??對所有??成立，一個次均勻變量是隨機(jī)變量??滿足??對所有??成立。

令??為一組獨立的標(biāo)準(zhǔn)均勻變量，證明：

(a)??為標(biāo)準(zhǔn)均勻變量。

(b)??為次均勻變量當(dāng)且僅當(dāng)?。

本題是對 Bonferroni?校正的優(yōu)化，(a) 問是經(jīng)典結(jié)論，(b) 問不知道從哪里來的。

(a) 用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)??時結(jié)論顯然成立；當(dāng)??時，若?，則要么二者有其一不大于?，此時?；要么二者均大于?，此時?。因此?。

若結(jié)論對??均成立。當(dāng)??時，設(shè)??中有??個數(shù)不大于?，這一概率為?。將這??個數(shù)從小到大排序為?，則??當(dāng)且僅當(dāng)存在??使得?。

當(dāng)??確定時，令?，則??為??上的均勻分布，且存在??使得?。對這??個數(shù)和??使用歸納假設(shè)可知此時滿足??的概率為?。故?。

因此

其中，對于?，?的系數(shù)為

因此?。

(b) 比較奇怪，積分放縮了半天對??出不來。而且這個題的結(jié)論對??直接就是錯的，不太清楚這題怎么搞。

這專欄寫公式太痛苦了！以后不寫了，再見