QFT#2
// 筆記全部采用自然單位制和愛因斯坦求和約定。
不帶矢量符號(hào)的 p,x 表示4-矢量；帶矢量符號(hào)的??表示空間分量。
Klein-Gordon場(chǎng)量子化
回顧：Klein-Gordon場(chǎng)的拉格朗日量密度：
正則動(dòng)量密度：
等時(shí)量子化條件，基本對(duì)易關(guān)系： (hbar=1)
仿照諧振子量子化。諧振子坐標(biāo)、動(dòng)量算符用升降（產(chǎn)生/湮滅）算符表示：
K-G場(chǎng)量子化對(duì)應(yīng)的厄米算符：場(chǎng)→算符。
注意這是對(duì)每一個(gè)動(dòng)量值都引入了產(chǎn)生、湮滅算符。無(wú)窮的自由度。
可以驗(yàn)證以上滿足對(duì)易關(guān)系：
用現(xiàn)在的產(chǎn)生、湮滅算符代入哈密頓量：
場(chǎng)、正則動(dòng)量用前面表達(dá)式代入，一通計(jì)算理論上會(huì)得到
前一項(xiàng)和量子力學(xué)里面的諧振子差不多，后一項(xiàng)發(fā)散，是真空能。可以重新設(shè)定能量零點(diǎn)從而把這一項(xiàng)扔了。（量子場(chǎng)論中需要經(jīng)常處理這種無(wú)窮。）
類似諧振子，量子場(chǎng)這里也有：
用產(chǎn)生、湮滅算符構(gòu)造激發(fā)態(tài)：
首先真空就是，也就是滿足湮滅算符作用于真空就徹底沒了：
用產(chǎn)生算符作用于真空態(tài)，可以得到單粒子態(tài)、多粒子態(tài)...這些都是哈密頓量的本征態(tài)。
所以，ω_p 就是動(dòng)量p對(duì)應(yīng)的能量，以后用 E_p 表示。
* 總動(dòng)量算符：
該算符是用Noether定理給出的守恒流推出的能動(dòng)量張量（見上次筆記#01），仿照前面的計(jì)算得到的，它給出場(chǎng)的總動(dòng)量。它滿足：
* 玻色愛因斯坦統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)，產(chǎn)生算符的對(duì)易關(guān)系有所不同：
* 單粒子歸一化
如果非相對(duì)論，
現(xiàn)在希望尋找洛倫茲不變的一個(gè)歸一化。
為了洛倫茲不變，聯(lián)系上能量是合理的，qft中的歸一化條件為：
歸一化之后的單粒子態(tài)為
其含義是一個(gè)動(dòng)量為 p 的單粒子。
*理解場(chǎng)算符的物理含義：作用于真空得到的相當(dāng)于位置的一個(gè)本征態(tài)。
這是一個(gè)對(duì)全動(dòng)量空間的積分。可以對(duì)比一下非相對(duì)論量子力學(xué)中，用動(dòng)量表象表示的位置本征態(tài)：
總結(jié)：
量子場(chǎng)論中，x 只是坐標(biāo)，量子力學(xué)中有坐標(biāo)算符，但是qft中只有場(chǎng)算符，坐標(biāo)永遠(yuǎn)只是坐標(biāo)，這是因?yàn)橐芙Y(jié)合狹義相對(duì)論，必須給坐標(biāo)賦予和時(shí)間一樣的地位。?
于是這里不討論二次量子化，而是直接把經(jīng)典場(chǎng)進(jìn)行量子化。
Heisenberg匯景下的K-G場(chǎng)
等時(shí)量子化實(shí)際上就是薛定諤繪景，約定了算符不含時(shí)、態(tài)含時(shí)。
海森堡繪景下：算符含時(shí)。差一個(gè)?exp[iHt] 因子。H繪景、S繪景的算符關(guān)系是
算符應(yīng)當(dāng)滿足
H繪景場(chǎng)算符：
也引入時(shí)間依賴的產(chǎn)生、湮滅算符：
于是有含時(shí)的場(chǎng)算符、動(dòng)量密度算符：
很類似平面波的分解。注意這里指數(shù)上的p，x是4-矢量，已經(jīng)把時(shí)間演化乘進(jìn)去了。
* QFT對(duì)原先相對(duì)論波動(dòng)力學(xué)中負(fù)能解、負(fù)幾率、因果律問題的解決：
不再出現(xiàn)負(fù)能，負(fù)頻的解依然具有正的能量；
不再使用波函數(shù)，也就不會(huì)有負(fù)幾率的問題；
因果性的解決：定義兩點(diǎn)的關(guān)聯(lián)函數(shù)：從y點(diǎn)產(chǎn)生粒子到x點(diǎn)湮滅。(注意這里xy都是時(shí)空坐標(biāo)，是4矢量。)
可以試圖證明這個(gè)D是一個(gè)洛倫茲不變量，從而滿足了因果律。
事實(shí)上，對(duì)于 x,y 是類時(shí)間隔的情況，是可以證明 D 是洛倫茲不變的。
但如果是類空間隔，并不能成立。
但是，這還沒有違反因果律，因果律要求的是：對(duì)于類空的間隔 x-y，對(duì)兩處場(chǎng)的測(cè)量應(yīng)當(dāng)彼此互不影響。即對(duì)于兩點(diǎn)的任意算符，
經(jīng)過(guò)一通計(jì)算會(huì)有些很有意思的結(jié)果。
因果律的要求：必須存在反粒子；正反粒子質(zhì)量相等。
K-G 傳播子
這東西比較抽象，先提一下，后面涉及相互作用還會(huì)用
兩類傳播子：推遲傳播子(類似推遲勢(shì))、費(fèi)曼傳播子
...好吧這塊比較怪，我不好說(shuō)自己理解得怎么樣，后面有空再整理吧
