撰文 | 曹則賢（中國科學(xué)院物理研究所）

偏離天道者翻車！注釋[1]

——厄米特

摘要 ?厄米特，一位令人萬分敬仰的數(shù)學(xué)巨人，在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都留下了不可磨滅的足跡。厄米特高中畢業(yè)即成為一流數(shù)學(xué)家但卻幾經(jīng)波折于6年后才得以大學(xué)畢業(yè)，入選法國科學(xué)院13年后依然是個(gè)大學(xué)改作業(yè)的助教，研究成果譽(yù)滿天下27年后才當(dāng)上教授。他是為數(shù)不多的把自己的姓氏活成形容詞的人，hermitian后面可以加上的數(shù)學(xué)概念不勝枚舉，每一個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)、學(xué)物理的人都略知一二。他是一位好老師，其學(xué)生之一是震爍古今的全才學(xué)者龐加萊。

1引子

作為一個(gè)物理系的學(xué)生，筆者是在大二的數(shù)學(xué)課上首次接觸到厄米特 (Charles Hermite, 1822-1901) 這個(gè)名字的。厄米特矩陣 (Hermitian matrix) 是其轉(zhuǎn)置共軛等于自身的矩陣， A=A+，寫成 (復(fù)數(shù)) 矩陣元的形式則為

。厄米特矩陣，如同實(shí)對(duì)稱矩陣，其本征值總為實(shí)數(shù)！若 A 是 n×n 的厄米特矩陣， v 是n-維矢量，則二次型

總是個(gè)實(shí)數(shù)。后來學(xué)量子力學(xué)，課本說這樣的矩陣對(duì)應(yīng)自伴隨算符 (self-adjoint)，也就是厄米特算符。這樣的算符，以及對(duì)應(yīng)的矩陣，是厄米特的，因?yàn)楸菊髦凳菍?shí)的，故這樣的算符可以對(duì)應(yīng)可測(cè)量物理量。

在數(shù)學(xué)物理方程和量子力學(xué)課上， 筆者還學(xué)到了厄米特多項(xiàng)式 (Hermite polynomials)，

， ?

，具體列出來有如下的三角形形式， 很美的：

厄米特多項(xiàng)式有正交關(guān)系，對(duì)于 m≠n ，有

，可以看到這里的關(guān)鍵是一個(gè)加了權(quán)重因子

的空間里的故事。它可以用于解量子諧振子的薛定諤方程。

以當(dāng)時(shí)我能注意到的數(shù)學(xué)、物理著作里的名人來說，僅憑這兩項(xiàng)厄米特也算是名列前茅了。這是個(gè)什么樣的人呢？

圖1. Charles Hermite (1822-1901)

2 厄米特小傳

厄米特出生于1822年 (圖1)，是父母七個(gè)孩子中的老六，右足有嚴(yán)重的殘疾。在他7歲的時(shí)候，厄米特全家從洛林地區(qū)搬到了法國名城南希。厄米特可說是上了最好的中學(xué)，他先是上了Collège de Nancy，后又轉(zhuǎn)往巴黎的Collège Henri IV，1840-1841從Lycée Louis-le-Grand (路易大公中學(xué)) 畢業(yè)，這是伽羅華15年前學(xué)習(xí)過的學(xué)校，指點(diǎn)厄米特?cái)?shù)學(xué)的是著名數(shù)學(xué)家卡塔蘭 (Eugène Charles Catalan，1814–1894)。注意，在法語中Lycée是中學(xué)，Collège也可以是中學(xué)，école (school) 可以是大學(xué)，而中學(xué)老師也可稱為professor（所謂授業(yè)解惑者也）。據(jù)說和他的學(xué)長(zhǎng)伽羅華一樣，厄米特喜歡閱讀歐拉、高斯和拉格朗日的著作。對(duì)一個(gè)要成為真正學(xué)者的人來說，早點(diǎn)遇到大學(xué)者很重要啊，閱讀經(jīng)典很重要啊，它其實(shí)是必由之路。

在花了整整一年時(shí)間備考以后，1842年厄米特考入了著名的巴黎工科學(xué)校(l’école polytechnique)。這是一所帶有軍事性質(zhì)的學(xué)校，因其數(shù)學(xué)教育而聞名于世。然而，根據(jù)法國教育當(dāng)局1843年新年實(shí)行的一道命令：“身體不健全者不得進(jìn)入工科學(xué)系”，厄米特被拒絕入學(xué)。后來，雖經(jīng)其父母周旋，1843年2月重又被批準(zhǔn)入學(xué)，但到開學(xué)時(shí)厄米特并未回到學(xué)校，后又于1844年新年退學(xué)。據(jù)說經(jīng)過了五年的自修 (after spending five years working privately towards his degree)，厄米特終于在1847年7月1日通過了文學(xué)學(xué)士(baccalauréat ès lettres) 考試，當(dāng)月12日通過了數(shù)學(xué)學(xué)士 (baccalauréat ès sciences mathématiques) 考試，最終于1848年5月9日獲得了數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)證書 (licence ès sciences mathématiques)。畢業(yè)后，厄米特被巴黎工科學(xué)校聘用為改作業(yè)的助教和入學(xué)考試監(jiān)考老師 (répétiteur et examinateur d'admission)。

厄米特1842年就發(fā)表了“五次代數(shù)方程不可解的證明”這樣的一流數(shù)學(xué)成果，1856年當(dāng)選法國科學(xué)院 (Académie des Sciences) 成員。然而，遲至1869年他才被母校和巴黎大學(xué)聘為數(shù)學(xué)教授，那時(shí)他的數(shù)學(xué)研究成果已是鋪天蓋地了。他1876年從母校退休，但在巴黎大學(xué)工作到辭世，其間于1862-1873年在巴黎高師兼職講師。厄米特70歲生日時(shí)被授予法國“榮譽(yù)軍團(tuán)”高級(jí)軍官銜。

3 厄米特的數(shù)學(xué)成就

很難具體談?wù)摱蛎滋氐臄?shù)學(xué)成就，因?yàn)樗臄?shù)學(xué)成就太多。簡(jiǎn)單羅列一下以他的名字命名的部分?jǐn)?shù)學(xué)概念，就足以讓人們大為震驚。以Hermite 命名的數(shù)學(xué)概念包括但不限于以下諸條：Cubic Hermite spline (一類三次樣條)Gauss–Hermite quadrature (二次型)Hermite distribution (分布函數(shù))Hermite–Lindemann theorem (關(guān)于超越數(shù)的定理)Hermite constant (與格點(diǎn)幾何有關(guān)的一個(gè)常數(shù))The Hermite–Hadamard inequality (關(guān)于凸函數(shù)及其積分的不等式)Hermite interpolation (插值法)Hermite normal form (矩陣形式)Hermite numbers(與厄米特多項(xiàng)式關(guān)聯(lián)的整數(shù))

Hermite polynomials (多項(xiàng)式)Hermite reciprocity (關(guān)于二項(xiàng)式不變量的互反律)Hermite ring (環(huán))Hermite's cotangent identity (余切恒等式)Hermite's identity (關(guān)于實(shí)數(shù)之整數(shù)倍的小數(shù)部分的恒等式)Hermite's problem (表述實(shí)數(shù)的問題)Hermite's theorem (只有有限多個(gè)數(shù)域有小于給定值的判別式)Einstein–Hermitian vector bundle (矢量叢)Hermitian adjoint (伴隨算符)Hermitian connection (多聯(lián)絡(luò))Hermitian form (特殊的六線性形式)

Hermitian function (函數(shù))Hermitian manifold/structure (多流形)

Hermitian matrix (矩陣)Hermitian operator (算符)Hermitian symmetric space (對(duì)稱空間)

Hermitian transpose (轉(zhuǎn)置)

Hermitian variety (簇，對(duì)四次型的推廣)

開篇我已經(jīng)說了，對(duì)于物理愛好者來說，Hermitian operator (算符)，Hermitian matrix (矩陣)，Hermitian transpose (轉(zhuǎn)置)， Hermitian adjoint operator (伴隨算符) Hermite polynomials (多項(xiàng)式)，Hermitian function (函數(shù)) 這幾個(gè)概念大家一般都很熟悉。厄米算符，即自伴隨算符，對(duì)應(yīng)的矩陣表示為厄米矩陣，即轉(zhuǎn)置復(fù)共軛等于自身的矩陣；厄米矩陣的本征值為實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征矢量作為一組完備正交基構(gòu)成一個(gè)矢量空間。這是初等量子力學(xué)的關(guān)鍵內(nèi)容。

厄米特的成名一戰(zhàn)是1842年關(guān)于一元五次代數(shù)方程不可解證明。但是因?yàn)橛邪⒇悹?、伽羅華的工作作為對(duì)比，故而厄米特的這項(xiàng)成就，雖說是在上大學(xué)前就做出來的，也未為他帶來多少學(xué)術(shù)聲譽(yù)。然而，厄米特偉大的地方在于他能破能立。證明五次方程代數(shù)不可解是一類工作，為其找到其它可能的解表達(dá)式是另一類性質(zhì)的工作。1858年，厄米特給出了五次代數(shù)方程的橢圓函數(shù)解，詳情參見拙著《云端腳下》。

能證明e是超越數(shù)的人自然會(huì)瞄上π是超越數(shù)的證明。但是，這類問題的證明太耗費(fèi)心神了。以筆者愚見，若證明過程沒帶來新的數(shù)學(xué)，這樣的證明也就是個(gè)游戲而已。在一封給朋友的信中，厄米特寫道: “我可不想證明π的超越性了。如果有別人從事這項(xiàng)事業(yè)，沒有比我會(huì)更為他們的成功感到高興的了。但是，請(qǐng)相信我，我的朋友，這絕對(duì)會(huì)讓他們大費(fèi)周折。(Je ne me hasarderai point à la recherche d'une démonstration de la transcendence du nombre π. Que d'autres tentent l'entreprise, nul ne sera plus heureux que moi de leur succès, mais croyez-m'en, mon cher ami, il ne laissera pas que de leur en co?ter quelques efforts.)” 1882年，德國人林德曼(Ferdinand von Lindemann，1852-1939) 成功證明了π的超越性。

4 ?厄米特的秉性

厄米特生來右足殘疾，這讓他的父母非常為他擔(dān)心。據(jù)說，小時(shí)候的厄米特天性開朗，招人疼愛。1842年入巴黎工科學(xué)校一事遭遇不順，但在這期間他卻同法國數(shù)學(xué)家伯特蘭(Joseph Bertrand, 1822-1900)，劉維爾 (Joseph Liouville， 1809-1882)，德國數(shù)學(xué)家雅可比 (Carl Gustav Jacob Jacobi，1804-1851) 建立了深厚的私交，并頻繁地交流學(xué)術(shù)思想。他1848-1869年間在巴黎工科學(xué)校做了21年的助教和輔助入學(xué)考官，期間還于1856年入選法國科學(xué)院，可見其成就是為同時(shí)期的法國數(shù)學(xué)界認(rèn)可的?；蛟S是命運(yùn)決定心情，厄米特終究心有不平吧，他的文字總散發(fā)著謙卑，而且還有隨時(shí)準(zhǔn)備維護(hù)他發(fā)現(xiàn)有優(yōu)點(diǎn)的同事的意愿 (his willingness to fight for colleagues whose merit he discerns)。厄米特確實(shí)贏得了后輩數(shù)學(xué)家的敬重，因?yàn)樗⒅財(cái)?shù)學(xué)教學(xué)，善于發(fā)現(xiàn)激勵(lì)后進(jìn)。據(jù)說他的教學(xué)不是瞄著嚴(yán)格的細(xì)節(jié)，而是奔著激發(fā)對(duì)美且簡(jiǎn)單之事物的贊賞 (but towards exciting admiration for things simple and beautiful) 去的。厄米特的講義對(duì)數(shù)學(xué)傳播有著廣泛的影響，他培養(yǎng)的學(xué)生中有震爍古今的全才龐加萊 (Henri Poincaré，1854-1912)，學(xué)生中有此一人足以引以為傲了，估計(jì)這方面和他能相提并論的物理學(xué)家僅有索末菲一人。厄米特另一個(gè)著名的學(xué)生是Thomas Stieltjes (1856-1894)， 我們學(xué)積分的時(shí)候會(huì)遇到Stieltjes積分。這個(gè)荷蘭人的姓的漢譯似乎沒有共識(shí)。

厄米特涉獵極廣，故而在別人看來他的思維完全不按照邏輯運(yùn)行。據(jù)龐加萊說，“把厄米特稱為邏輯學(xué)家，沒有比這和事實(shí)更南轅北轍的了。(研究) 方法是以一種神秘的方式存在于厄米特的腦子里的。我覺得這就對(duì)了。做科學(xué)的所謂方法如果有跡可循，那要么是研究者真不會(huì)，要么是研究對(duì)象是沒價(jià)值的偽問題或者平庸問題。

5 ?多余的話

行文至此，忽然想聊聊什么是名人的問題。什么人是名人？從人之姓名演化的視角而言，粗略想來，有這么幾種情況。一是使得自己的姓名納入了某種現(xiàn)象的描述，這樣的人可算名人，比如“姜太公釣魚——愿者上鉤”中的姜尚，華佗再世里的華佗，東施效顰里的東施與西施，剪影（silhouette）一詞里的Etienne de Silhouette。二是把自己的姓氏活成形容詞的人，比如由Isaac Newton (牛頓)， Charles Hermite，Bernhard Riemann (黎曼) 的姓氏而來的newtonian, hermitian，riemannian就是數(shù)學(xué)、物理文獻(xiàn)中常用的形容詞。三是把自己的姓氏活成了名詞的人，比如由Pierre-Simon Laplace (拉普拉斯)， Joseph-Louis Lagrange (拉格朗日)，William Rowan Hamilton (哈密頓)姓氏而來的Laplacian (拉普拉斯算子)，Lagrangian (拉格朗日量)和Hamiltonian ?(哈密頓量)，這是數(shù)學(xué)、物理的基本概念，未來這幾個(gè)概念進(jìn)入小學(xué)課本也不令人驚訝。第四類是把自己的姓氏活成了動(dòng)詞的人, 比如陳省身 (S.S. Chern)。Chern姓作為名詞見于Chern number(陳數(shù))，指一類拓?fù)渲笜?biāo)，而計(jì)算一個(gè)幾何體系之陳數(shù)這個(gè)勞作有如下表達(dá)：Chern it up.

厄米特一生的遭遇可能對(duì)于我們來說尤為難以接受。他1856年入選法國科學(xué)院，是名滿天下的數(shù)學(xué)家，但還是在巴黎工科學(xué)校繼續(xù)干了13年的助教。不過有趣的是，厄米特本人似乎安之若素。其實(shí)，人家的學(xué)?？刹皇悄欠N光打鳴不下蛋的母雞。查看一下巴黎工科學(xué)校的教師和畢業(yè)生名單，厄米特這樣的杰出人物一抓一大把。再者，他們德法一帶的社會(huì)講究一碼歸一碼，一個(gè)人不會(huì)因?yàn)橐豁?xiàng)成就獲得了諾獎(jiǎng)或者當(dāng)選了某個(gè)academy, society or institution 的member or fellow (學(xué)園、學(xué)會(huì)或者機(jī)構(gòu)的成員、伙計(jì)) 就必定要給個(gè)教授加鄉(xiāng)紳的頭銜。一個(gè)在數(shù)學(xué)、物理領(lǐng)域做出過發(fā)現(xiàn)的人未必就不需要完整的受教育經(jīng)歷，未必是個(gè)合格的教授，也未必就有指導(dǎo)他人研究的能力與興趣。贏者通吃是山大王的傳統(tǒng)，是對(duì)專業(yè)的蔑視。

參考文獻(xiàn)

1.Charles Hermite，Considérations sur la résolution algébrique de l'équation du 5e degré，Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, Série 1, Tome 1329-336 (1842).

2. Emile Picard (ed.), ?uvres deCharles Hermite, Gauthier-Villars, vol. I(1905); vol.II (1908); vol. III(1912).

注釋

[1] He who strays from the paths traced by providence crashes. —Hadamard cited Hermite

厄米特：路途坎坷的天才數(shù)學(xué)家丨賢說八道