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近年來，期權(quán)交易變得非常流行。 在這篇文章中，您將學(xué)習(xí)一種期權(quán)交易策略，可以用來以較低的價格購買自己喜歡的股票。期權(quán)是一種衍生工具。衍生物被譽為20世紀后期的金融革命。衍生產(chǎn)品類型為遠期，期貨，掉期和期權(quán)。衍生工具是從另一項基礎(chǔ)資產(chǎn)中獲取價值的工具。對于股票期權(quán)，其價格取決于標的股票。?

在本文的第一篇中，我們將建立兩個期權(quán)定價模型。第一個是著名的Black Scholes期權(quán)定價模型，第二個是Cox-Ross-Rubinstein期權(quán)定價模型。之后，我們還將討論什么是期權(quán)，以及如何對隱含波動率進行建模。我們還將討論為什么在實踐中將這兩種期權(quán)定價公式反向用于計算隱含波動率而不是期權(quán)價格。?

?我們將使用R進行分析。您應(yīng)該已經(jīng)安裝了R和RStudio。我建議您安裝Microsoft R Open，執(zhí)行程序速度更快。Quantmod是提供技術(shù)分析的重要R包。?

如上所述的期權(quán)從標的股票中驅(qū)動價值。問題是我們不知道期權(quán)合約是否會被行使。當(dāng)我們嘗試對股票期權(quán)合約定價時，這就帶來了一定程度的復(fù)雜性。Black Scholes公式假定連續(xù)的隨機過程，而Cox-Ross-Rubinstein模型假定離散的隨機過程。因此，讓我們從Black Scholes Options的定價公式開始。?

Black Scholes股票期權(quán)定價公式

Black Scholes期權(quán)定價公式作了一些假設(shè)。首先是市場沒有套利。這意味著不可能有價格差異。第二個假設(shè)是基礎(chǔ)資產(chǎn)價格遵循布朗運動。第三個假設(shè)表明基礎(chǔ)股票不支付任何股息。第四個假設(shè)是不涉及交易成本，并且可以以任何分數(shù)進行基礎(chǔ)股票的買賣。最后一個假設(shè)是我們知道短期利率，并且該利率隨時間是恒定的?，F(xiàn)在，我們不需要詳細討論如何數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)該公式。當(dāng)我們知道用于計算股票期權(quán)價格的不同參數(shù)時，將使用R來計算股票期權(quán)價格。下面我們使用R來計算3個月到期的Apple AAPL股票看漲期權(quán)價格。蘋果AAPL股票價格為130美元，股票期權(quán)合約行使價為140美元。

1. > library(fOptions)

2. Loading required package: timeDate

3. Loading required package: timeSeries

4. Loading required package: fBasics

5. 


6. > GBSOption(TypeFlag = "c", S = 130, X =140, Time = 1/4, r = 0.02,

7. + ? ? ? ? ? sigma = 0.22, b = 0.02)

8. 


9. Title:

10. Black Scholes Option Valuation

11. 


12. Call:

13. GBSOption(TypeFlag = "c", S = 130, X = 140, Time = 1/4, r = 0.02,

14. b = 0.02, sigma = 0.22)

15. 


16. Parameters:

17. Value:

18. TypeFlag c

19. S ? ? ? ?130

20. X ? ? ? ?140

21. Time ? ? 0.25

22. r ? ? ? ?0.02

23. b ? ? ? ?0.02

24. sigma ? ?0.22

25. 


26. Option Price:

27. 2.382111

28. 


29. Description:

30. Sun May 07 18:12:25 2017

首先我們加載fOptions庫，c表示看漲期權(quán).S是股票價格，即每股130美元。X是股票行使價，每股140美元。短期利率為2％。隱含波動率假設(shè)為22％。蘋果股票的看漲期權(quán)價格為2.38美元。這就是它的工作方式。蘋果目前的股價為每股130美元。我們購買看漲期權(quán)。我們認為蘋果股票的價格將會上漲，因此我們購買了看漲期權(quán)為140美元的蘋果股票3個月到期的看漲期權(quán)。如果價格超過140美元，我們可以每股140美元的價格購買AAPL股票。目前，蘋果股票的交易價格為每股148美元。因此，您可以看到我們可以便宜地購買Apple股票。我們將以140美元的價格行使蘋果股票看漲期權(quán)合約，然后以148美元的價格在市場上出售股票，從而實現(xiàn)每股8美元的利潤。由于價格是2美元。每100股38股，我們獲得了可觀的利潤。 假設(shè)我們的行使價為135美元。

1. 


2. Title:

3. Black Scholes Option Valuation

4. 


5. Call:

6. GBSOption(TypeFlag = "c", S = 130, X = 135, Time = 1/4, r = 0.02,

7. b = 0.02, sigma = 0.22)

8. 


9. Parameters:

10. Value:

11. TypeFlag c

12. S ? ? ? ?130

13. X ? ? ? ?135

14. Time ? ? 0.25

15. r ? ? ? ?0.02

16. b ? ? ? ?0.02

17. sigma ? ?0.22

18. 


19. Option Price:

20. 3.88815

21. 


22. Description:

23. Sun May 07 18:22:29 2017

在這種情況下，股票期權(quán)的價格提高到了$ 3.88?，F(xiàn)在，如上所述，我們不需要知道如何得出Black Scholes期權(quán)定價公式。我們只需要在公式中插入不同的參數(shù)，例如看漲/賣出期權(quán)，股票價格，執(zhí)行價格，短期利率，隱含波動率等?，F(xiàn)在的問題是我們沒有任何方法可以計算隱含波動率。我們只是假設(shè)了隱含波動率公式。

我們還可以計算看跌期權(quán)的價格。使用R時也非常容易。以下是看跌期權(quán)價格的計算。我們在公式中將c更改為p。蘋果股價為130美元?？吹跈?quán)的行使價為135美元。有效期為3個月。短期利率為2％。隱含波動率為22％。

1. > GBSOption(TypeFlag = "p", S = 130, X =135, Time = 1/4, r = 0.02, sigma

2. + ? ? ? ? ? = 0.22, b = 0.02)@price

3. [1] 8.214834

現(xiàn)在，如上所述，Black Scholes期權(quán)定價公式很大程度上取決于隱含波動率。隱含波動率是我們所不知道的。因此，實際上我們不能使用此Black Scholes股票期權(quán)價格公式。在大多數(shù)情況下，我們使用相反的公式。我們在公式中插入股票期權(quán)價格并計算隱含波動率。我們可以使用GARCH模型來計算波動率。?

Cox-Ross-Rubinstein股票期權(quán)定價公式

Cox-Ross-Rubinstein公式也稱為CRR公式，與Black Scholes股票期權(quán)定價公式不同。CRR公式中的基本假設(shè)是標的股票價格遵循離散的二項分布。這意味著股票價格在每個時期要么上升一定量，要么下降一定量。二叉樹正在重組。這意味著在兩個時期內(nèi)，價格可以先漲后跌，或者在相同的最終價格下漲跌。以下是使用與Black Scholes公式相同的行使價，隱含波動率和短期利率來計算Apple股票期權(quán)價格。

1. >

2. [1] 4.033903

3. >

4. [1] 8.360588

您可以看到使用Cox-Ross-Rubinstein公式的期權(quán)價格與Black Scholes公式相似但不相同，現(xiàn)在無需對CRR公式進行復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。我們還可以繪制上述看漲期權(quán)公式以及看跌期權(quán)公式二項式樹3個周期。以下是看漲期權(quán)二項式樹的代碼。

通過將ce更改為pe，我們還可以繪制看跌期權(quán)二叉樹。 以下是看漲期權(quán)二叉樹圖。

?

以下是看跌期權(quán)二叉樹。

?

現(xiàn)在您看到了兩個公式之間的期權(quán)價格差異。價格差異不大。Black Scholes計算的看漲期權(quán)價格為3.88美元，而Cox-Ross-Rubinstein公式計算的看漲期權(quán)價格為4.03美元。差別不是很大，但確實存在。這是由于兩個公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)不同。在Black Scholes公式中，我們假設(shè)一個連續(xù)的隨機公式，而在Cox-Ross-Rubinstein公式中，我們假設(shè)一個離散的二項式公式。W可以通過減少Cox-Ross-Rubinstein公式中的時間步長來減少價格差異。

如何計算期權(quán)？

希臘人衡量期權(quán)合約對不同市場因素的敏感性。例如，delta是對基礎(chǔ)股票價格的敏感性。Gamma是對基礎(chǔ)股票價格變化的敏感性。您可以將伽瑪三角洲稱為三角洲。Theta對時間敏感，而rho對無風(fēng)險利率敏感。最后，vega是對隱含波動率的敏感度。用數(shù)學(xué)術(shù)語來說，所有希臘語都是偏導(dǎo)數(shù)，用于衡量某些參數(shù)的變化率。下面我們使用R計算 。

1. >

2. delta ? ? ? gamma ? ? ? ?vega ? ? ? theta ? ? ? ? rho

3. 0.4041424 ? 0.0270888 ?25.1790377 -12.0517840 ?12.1625922

您可以看到R在計算時非?？臁？缇嘟灰资侵匾钠跈?quán)交易策略。我們通過同時購買看跌期權(quán)和看漲期權(quán)來構(gòu)造一個跨步。以下是跨度的增量計算。

1. 


2. > plot(100:200, rowSums(straddles), type='l',

3. + ? ? ?xlab='Price of the underlying (S)', ylab = 'Delta of straddle')

計量經(jīng)濟學(xué)是許多交易者都不知道的重要主題。 以下是使用蘋果股票看跌期權(quán)和看漲期權(quán)的跨式期權(quán)構(gòu)建的增量圖。

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