眾所周知，用滲濾壺煮咖啡就是一個(gè)讓熱水沒過咖啡豆再流出來的簡(jiǎn)單（但不完全簡(jiǎn)單的）過程。

有沒有一種可能，人的學(xué)習(xí)過程，可以類比于熱水沖浸咖啡豆的過程呢？去年的一篇文獻(xiàn)給出了肯定的答案。

文獻(xiàn)題為 Students’ difficulties with solving bound and scattering state problems in quantum mechanics. 其中使用了“逾滲”模型來描述學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。而逾滲過程，正是一個(gè)類似于咖啡流過滲濾壺的過程，同時(shí)也是一個(gè)描述流體的流動(dòng)行為、描述相變和臨界現(xiàn)象的一個(gè)重要的物理概念。接下來，我們就來看看，逾滲究竟是什么吧。

一、什么是逾滲

逾滲（percolation）這個(gè)詞匯是由數(shù)學(xué)家 J.M. Hammersley 在1957年創(chuàng)造的，其目的是為了描述流體在無序介質(zhì)中作隨機(jī)的擴(kuò)展和流動(dòng)。這種流動(dòng)與通常的擴(kuò)散是不同的。擴(kuò)散過程是指粒子在介質(zhì)中作隨機(jī)行走，就象在液體中分子作無規(guī)熱運(yùn)動(dòng)一樣，它的無規(guī)性來自于運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性。而逾滲中的無規(guī)性是來自介質(zhì)本身所具有的無序結(jié)構(gòu)，流體的流動(dòng)行為可以類似于咖啡通過滲濾壺（percolator），所以 Hammersley 稱這種過程為逾滲過程。

作為對(duì)于常規(guī)的點(diǎn)陣上的逾滲過程，一個(gè)例子是破壞的網(wǎng)絡(luò)。在一個(gè)假想實(shí)驗(yàn)中，有一個(gè)相互連接的規(guī)則正方點(diǎn)陣網(wǎng)絡(luò)，如它代表通訊網(wǎng)絡(luò)，一個(gè)瘋漢手拿剪刀，邊走邊無規(guī)地剪斷某些聯(lián)線。問題是，當(dāng)剪斷多大百分?jǐn)?shù)的聯(lián)線或聯(lián)鍵時(shí)，兩指揮臺(tái)站之間的通訊會(huì)被中斷。逾滲理論不但可以給上述問題以確定的回答，而且這個(gè)問題正是逾滲模型的中心內(nèi)容，即當(dāng)系統(tǒng)的成分或某種廣義的密度變化達(dá)到一定值（稱為逾滲閾值）時(shí)突然發(fā)生存在一個(gè)尖銳的轉(zhuǎn)變。在轉(zhuǎn)變點(diǎn)，系統(tǒng)的長(zhǎng)程連接性突然消失或是突然出現(xiàn)，許多重要的物理性質(zhì)將以“是”或者“否”的方式發(fā)生性質(zhì)上的突變。

二、逾滲的分類

一個(gè)點(diǎn)陣由點(diǎn)（頂點(diǎn)，鍵之間的交點(diǎn)）和鍵（邊，聯(lián)線）組成，點(diǎn)陣上的逾滲過程有兩種基本類型：鍵逾滲和座逾滲。對(duì)于鍵逾滲過程，每條鍵（bond）或者是連接的，或者是不連接的。連接的概率為 p ，不連接的概率為 1?p ，常用流體流動(dòng)中的暢通或堵塞這些詞來代替連接或不連接。對(duì)于座逾滲，每條鍵都是連接的，但座（site）是無規(guī)連接性的：每一個(gè)座或者是被占據(jù)的（連接的、暢通的），或者是不被占據(jù)的（不連接的、堵塞的），相應(yīng)的概率分別為 p 和1?p 。

因此，鍵逾滲過程可以看成是某種廣義的流體流過一種由許多相互連接的水管組成的介質(zhì)，其中有些水管的閥門被隨機(jī)地關(guān)上了。座逾滲也可用這樣一種水管系統(tǒng)類比，只是現(xiàn)在閥門是放在水管網(wǎng)路的接頭處，而不是在管子中間。顯然還可以考慮混合逾滲過程，即閥門既放在管子中間也放在接頭處，這種逾滲稱為座一鍵逾滲。

三、逾滲與重整化群

有下列三個(gè)不同 p 值下的逾滲圖。

可以明顯地看出，p=0.2時(shí)，集團(tuán)未連通，而p=0.59及p=0.8時(shí)，集團(tuán)是連通的。前文說過，當(dāng)系統(tǒng)的成分或某種廣義的密度變化達(dá)到一定值（稱為逾滲閾值）時(shí)突然發(fā)生存在一個(gè)尖銳的轉(zhuǎn)變。在轉(zhuǎn)變點(diǎn)，系統(tǒng)的長(zhǎng)程連接性突然消失或是突然出現(xiàn)，許多重要的物理性質(zhì)將以“是”或者“否”的方式發(fā)生性質(zhì)上的突變。很明顯，上圖的逾滲閾值應(yīng)在0.2~0.59之間。那么，如何尋找逾滲閾值的準(zhǔn)確值呢？我們可以使用重整化過程。

重整化過程在這里可以粗略地理解為“拉遠(yuǎn)視角”。如果我們將一片鍵（或座）的集團(tuán)看作一個(gè)鍵（或座），以集團(tuán)的連通與否確定這個(gè)集團(tuán)的連通與否，反復(fù)做下去，我們便可以將整個(gè)系統(tǒng)不斷“縮小”，從而計(jì)算得到逾滲閾值。

在這個(gè)過程中，如果p小于逾滲閾值，那么圖像會(huì)逐漸變“空白”，如果p大于逾滲閾值，那么圖像會(huì)逐漸變“藍(lán)”。仿佛p在向0或1“流動(dòng)”。

因此，對(duì)于一個(gè)確定的重整化方式，令集團(tuán)的連通概率p=R(p)，解得的p即為逾滲閾值。

下面展示一下得到正方格子點(diǎn)陣上鍵逾滲的逾滲閾值的過程。

選取如下圖所示的元胞為最小單元，則：

元胞可以在空間中無限平移，并置形成完整的正方網(wǎng)格，因此，這樣選擇的元胞是合理的。點(diǎn)陣為沒有鍵連接的元胞。

對(duì)元胞中的鍵進(jìn)行標(biāo)記，考慮元胞中有效的通路，有：

經(jīng)過分析，得到：

最終得到：

四、逾滲與學(xué)習(xí)

看過上面的內(nèi)容，相信你已經(jīng)大概可以猜到逾滲和學(xué)習(xí)的關(guān)系了：如果我們把一個(gè)個(gè)知識(shí)的要點(diǎn)想象成逾滲過程中的鍵或者座，那么，當(dāng)我們掌握的知識(shí)（用一種抽象的密度來衡量）超過了“逾滲閾值”所代表的抽象密度，那么，我們就相當(dāng)于掌握了這一部分的知識(shí)。

實(shí)際上，逾滲還可以應(yīng)用在美國(guó)大選上。美國(guó)大選的神奇制度（州內(nèi)計(jì)票，贏者通吃）完美契合逾滲過程。隨著計(jì)票的進(jìn)行，搖擺州在一次重整化中，由紅藍(lán)計(jì)票的比例變?yōu)槿t或全藍(lán)；而整個(gè)美國(guó)在二次重整化中，由州票數(shù)的合計(jì)變?yōu)榧t或者藍(lán)。

五、原文獻(xiàn)相關(guān)

以下是蔻享學(xué)術(shù)中的新聞稿：

物理教育研究是物理學(xué)的一個(gè)新興領(lǐng)域，特別是量子物理方面的教育研究，被諾貝爾物理獎(jiǎng)得主C.Wieman稱為“只是露出了冰山一角”。中國(guó)科大物理學(xué)院的涂濤副教授、李傳鋒教授、許金時(shí)教授和郭光燦院士等老師組成的團(tuán)隊(duì)，及時(shí)地關(guān)注和進(jìn)入到這一新興前沿領(lǐng)域。

物理教育研究領(lǐng)域有兩大研究學(xué)派：一派是以諾貝爾物理獎(jiǎng)得主G.Parisi為代表，重視數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，從復(fù)雜性科學(xué)的視角分析，另一派是以諾貝爾物理獎(jiǎng)得主C.Wieman為代表，重視實(shí)證調(diào)查，從教育學(xué)的視角分析。中國(guó)科大的研究團(tuán)隊(duì)綜合運(yùn)用了上述兩種研究方法，通過對(duì)物理學(xué)院6年時(shí)間周期、406名本科生的樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，研究了學(xué)生對(duì)于量子物理中束縛態(tài)和散射態(tài)的思維流程圖，成功構(gòu)建了Activation-Construction-Execution-Reflection的理論框架和基于Overgeneralization的思維機(jī)制模型。

形象地講，如果一個(gè)復(fù)雜的電路網(wǎng)絡(luò)有很多個(gè)節(jié)點(diǎn)，不同節(jié)點(diǎn)之間或者有連接，或者沒有連接。只有當(dāng)這些節(jié)點(diǎn)都能以一個(gè)連接串聯(lián)起來時(shí)，才達(dá)到所謂的渝滲閾值，整個(gè)電路網(wǎng)絡(luò)才導(dǎo)通。

類似的，一個(gè)學(xué)生的知識(shí)記憶也包含不同的節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)代表了特定物理領(lǐng)域中的不同知識(shí)片段。學(xué)生需要將節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)之間通過這些概念之間的關(guān)系相連接。當(dāng)所有的知識(shí)節(jié)點(diǎn)都以適當(dāng)?shù)姆绞酵ㄟ^一個(gè)正確關(guān)系相互連接時(shí)，學(xué)生的思維流程將達(dá)到一個(gè)渝滲閾值，這時(shí)學(xué)生才能夠正確的掌握相關(guān)物理知識(shí)，并處理相關(guān)物理問題。

這一研究成果利用上述知識(shí)模型，針對(duì)學(xué)生處理量子束縛態(tài)和散射態(tài)問題，發(fā)現(xiàn)了有趣的學(xué)生思維圖景：學(xué)生們會(huì)有激活相關(guān)概念、構(gòu)建方程式、執(zhí)行解析計(jì)算、檢查各個(gè)步驟等思維方式，并在三個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上存在推理困難：(1)難以區(qū)分含時(shí)薛定諤方程的應(yīng)用場(chǎng)景，(2)不理解確定能量常數(shù)值的意義，(3)不能夠正確使用疊加態(tài)的條件。這些發(fā)現(xiàn)不但為學(xué)生對(duì)這些量子物理問題的思維機(jī)制提供了深刻的認(rèn)識(shí)，也為這些量子物理內(nèi)容的教學(xué)提供了豐富的資源。因?yàn)槿绻麕椭鷮W(xué)生在這些關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上解決困難，那么他們的知識(shí)將從一些不相干的小塊，從只具有局部聯(lián)通性，轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂腥致?lián)通性，這才是學(xué)生學(xué)習(xí)的正確方式。

(學(xué)生處理散射態(tài)問題的思維流程圖，這是一個(gè)復(fù)雜性網(wǎng)絡(luò)，代表連接不同知識(shí)節(jié)點(diǎn)的思維通道，其大小代表相應(yīng)的幾率和閾值。)

這一成果于12月14日在線發(fā)表于物理教育研究領(lǐng)域的知名期刊Physical Review-Physics Education Research上。四位審稿人都對(duì)該論文給予了高度評(píng)價(jià)：“This is a strong manuscript; I thinkthe paper makes an excellent contribution to this particular line of research and to PER in general.（這是一篇強(qiáng)有力的文章，不但對(duì)這一特定的領(lǐng)域做出了杰出的貢獻(xiàn)，也是對(duì)整個(gè)物理教育研究的貢獻(xiàn)）”。

為縮短我國(guó)在物理教育研究領(lǐng)域與國(guó)際先進(jìn)國(guó)家的差距，中國(guó)物理學(xué)會(huì)一直致力于推動(dòng)我國(guó)在該領(lǐng)域的發(fā)展。為響應(yīng)學(xué)會(huì)號(hào)召，中國(guó)科大的團(tuán)隊(duì)在這一領(lǐng)域持續(xù)開展了系列研究，繼2020年首先在薛定諤方程的教育研究中取得突破(Phys. Rev. Physics Education Research 16, 020163 (2020))后，在量子物理的教育研究中再次取得重要進(jìn)展。本研究成果在本領(lǐng)域國(guó)際知名刊物上發(fā)表，是該校在物理教育研究領(lǐng)域的新突破，在國(guó)內(nèi)教育研究領(lǐng)域?qū)a(chǎn)生重要影響。

論文鏈接：

?https://journals.aps.org/prper/abstract/10.1103/PhysRevPhysEducRes.17.020142