? ? ? ? 這是專欄CV17472164中試卷的詳細解答與試卷分析。

? ? ? ? 這里給出UP主認為需要詳解的題目解析，若您尚有存疑的其他題目，可于評論區(qū)中說明，UP主將不斷完善此專欄。

? ? ? ? 試卷分析部分中試題難度將記作，，，，五個等級，按數(shù)值從小到大依次對應小學題，初中題， 高中題，競賽題，釣魚題。

? ? ? ? 部分題目后有注解，用于補充相關問題。

1.難度：，本題看似簡單，實則簡單。略

2.難度：，

解析：即a>0,b>0,ab(a+b)=4,求2a+b最小值?？紤],這需要,解出即可。

3.難度：，這是一個很有意思的問題，參考評分意見CV17502559即可。

注：關于等冪求和，有一個有趣的問題：

記,易證是n的k+1次多項式。證明：.

4.難度：，

解析：不難得出，如果注意力渙散，無法注意到x=3為一解，可先發(fā)現(xiàn)其實數(shù)解必滿足x>0，耐心猜根嘗試。最后不要忘記解分式方程需檢驗。

5.難度：，深入理解相關知識即可。

提示：設與是兩個群，映射稱為群到的同構，是指對于且是一一對應（雙射）。

那么素數(shù)階群均與循環(huán)群同構，4階群僅兩種且均為Abel群。

注：在同構意義下，我們不加證明地給出小階群的結構如下：

6.難度：，本題考察公式記憶，若公式遺忘，可用定積分進行推導。略

注：定積分在長度，面積，體積公式推導上用途廣泛。嘗試用定積分證明：

7.難度：，本題考查幾何問題代數(shù)化，只需做出長的線段，便可得到72°的角。參考評分意見CV17502559即可。

注：數(shù)形結合百般好。通過幾何問題代數(shù)化，我們可以將著名的三等分角問題轉化為對數(shù)域的討論，從而解決這一“世界難題”。

嘗試證明：不可能用有限次尺規(guī)作圖三等分任意角。

8.難度：，本題考察創(chuàng)造力，略

9.難度：，本題考查微積分思想，略

10.難度：，本題看似考察圖論，實則考察計數(shù)。參考評分意見CV17502559即可。

11.難度：，本題為綜合題，參考評分意見CV17502559即可。

12.難度：，本題考察互質(zhì)，對接新高考。略

注：關于互質(zhì)，有一個有趣的問題：

已知，歐拉公式，求任取兩個正整數(shù)互質(zhì)的概率。

13.難度：，

解析：先證x無奇素數(shù)因子，設p為奇素數(shù)，且p不整除

據(jù)二項式定理，①，則x整除y,從而p整除y，令且p不整除.

對,設,即得在中p冪次至少為d=b+ai-c。

若c=0,則d>a+b;若c>0,則，故d>b+a+c(a-1)≥a+b,總之d≥a+b+1。

這意味著,又，故①式左邊含p冪次為a+b。

又,則①左右兩端含p冪次不等，矛盾！

從而x必為形式的數(shù)，剩余部分證明留作習題。

14.難度：，

解析：存在至少三種方法：

①據(jù)Dirichlet定理，trivial !

②假設有限個，記為,令,考慮的任一素因子q，q整除左邊得或。

若則，而顯然，從而p=q。但是p整除a，故p不整除，矛盾！

從而，q即為更大的符合要求的數(shù)。?

③假設有限個，取并大于其中最大者，顯然a>p,則。

記，兩邊取歐拉函數(shù)，知存在i使得,但易證p不等于任一個，這樣就構造出了新的，與有限矛盾！

15.難度：，參考評分意見CV17502559即可。

16.難度：，參考評分意見CV17502559即可。

17.難度：，

提示：枚舉法構造策略。本題并不難，入手點是11倍數(shù)的性質(zhì)。

再提示：記,，則.結合，有?.

18.難度：，參考評分意見CV17502559即可。

19.難度：，參考評分意見CV17502559即可。

注：這是奧昆向薩哈羅夫提出的經(jīng)典問題。關于這個問題，有一個有趣的結論：

記?，證明?

20.難度：，考察復變函數(shù)知識的運用，深入理解相關知識即可。

注：關于復變函數(shù)，我們有以下有趣的多值性問題：

設關于的方程有解，記，其中是多值的。

1.求：和

2.不妨取，求和

3.利用，求的表達式

4.復平面內(nèi)是否有滿足的點？

21.難度：，深入理解相關知識即可。

提示：本題具有物理背景。

22.難度：，深入理解相關知識即可。

提示：利用材料中引理，推導矛盾。

注：關于位置計數(shù)法，有一個有趣的問題：

易證，利用n個q進制數(shù)碼可以寫出個不同的數(shù)。現(xiàn)設自變量x為自然數(shù)，考慮函數(shù)，比較不同進制計數(shù)法的經(jīng)濟性。

一個可能的分數(shù)線：90分鐘限時內(nèi)

小學生：0-18分

初中生：19-30分

高中生：31-50分

數(shù)競生：50分以上

歡迎作答，歡迎交流，我們共同進步，希望大家在小升初中創(chuàng)造輝煌。

需要說明的是，因為本卷問題的難度與開放性均較大，總分固然能反映水平，但其中某一道題若提供特別出彩的解法也可以展示能力，為小學生提供了發(fā)揮的舞臺。