這是我在暑假期間想到的一個(gè)命題。與其說是突發(fā)奇想，不如說是學(xué)完高一不等式的證明后開拓了我思維的維度，想出了一些奇葩的命題。當(dāng)然作為一名準(zhǔn)高一的學(xué)生，這是我第一次在網(wǎng)上發(fā)表數(shù)學(xué)文章，我深知人外有人山外有山，希望大神們看了接下來的證明后如果發(fā)現(xiàn)有誤或者是有更好的方法請(qǐng)多多指教。話不多說，我開始介紹我的證明思路：

我想把它分為兩種情況：

情況一：m為大于1的正整數(shù)，這個(gè)說了跟沒說一樣，證明思路很簡(jiǎn)單，只需把(a+b)^m展開除了a^(m)+b^(m)這兩項(xiàng)外還有很多正數(shù)項(xiàng)，可以證明大于a^(m)+b^(m)

情況二：m為大于1的有理數(shù)，這個(gè)情況才是思考的重點(diǎn)，那么首先我把有理數(shù)m化成p/q;p,q為正整數(shù)且p>q,那么就要證明a^(p/q)+b^(p/q)<(a+b)^(p/q),寫在這個(gè)上面有點(diǎn)亂，我用圖展示

然而a^(p/q)可以寫成q次根號(hào)下a的p次方，話不多說，上圖：

這是七年級(jí)冪運(yùn)算的基礎(chǔ)，不了解的可以看看七年級(jí)數(shù)學(xué)教材。

但是問題來了，有理數(shù)次方運(yùn)算不像整數(shù)次方那樣能展開，有根號(hào)，不滿足二項(xiàng)式定理，那么強(qiáng)行開方只會(huì)導(dǎo)致越來越復(fù)雜，且開放次數(shù)依據(jù)q決定，而q是一個(gè)不確定的數(shù)，這更給計(jì)算增添了難度。我當(dāng)時(shí)在這里卡了很久，列了幾張凌亂的草稿最終選擇換個(gè)思路，如下：

我當(dāng)時(shí)是想將a+b當(dāng)作整體c，簡(jiǎn)化計(jì)算,那么就要證：

看到這種形式，我瞬間有了靈感，這很像勾股定理的形式：a^2+b^2=c^2，勾股定理可以衍生出很多定理，而有一個(gè)定理直接成為解決這個(gè)結(jié)論的關(guān)鍵：還是對(duì)于a^2+b^2=c^2中的正數(shù)abc，有a^3+b^3<c^3,寫到這里相信大家都有接下來的思路了吧：把特殊歸結(jié)到一般即可，有了這么多的鋪墊與分析，接下來的證明就是“春風(fēng)得意馬蹄疾”~

特殊到一般：

把2變成q,把3變成p,這樣離我們的命題得證又進(jìn)了一步，采用一樣的證明思路：設(shè)a,b,c為正數(shù)，p,q為正整數(shù)，且滿足p>q,如果a^q+b^q=c^q，那么a^p+b^p<c^p；如果這個(gè)命題成立，那么這篇文章的命題就證出來了，只要帶換一下即可，如下圖：

而a^q,b^q都是正數(shù)，滿足一開始的定義：“a,b是正實(shí)數(shù)”，那么a^q,b^q可以看成新的a,b，這個(gè)新a,b是任意的正數(shù)。這里可能會(huì)搞混，那么就把原命題改成“x^(m)+y^(m)<(x+y)^m,x,y為正實(shí)數(shù)，m為大于1的有理數(shù)”,其中x=a^q,y=b^q,由于a,b為正數(shù)，q為正整數(shù),那么a^q,b^q就是正數(shù)，滿足我們的原命題。

但是這一切的前提是“設(shè)a,b,c為正數(shù)，p,q為正整數(shù)，且滿足p>q,如果a^q+b^q=c^q，那么a^p+b^p<c^p”這個(gè)命題成立，我們接下來就是要把這個(gè)命題證明出來：

我是觀察到都是q次方，那么就可以同時(shí)除以c^q，則右邊是1，見下圖：

而由于a,b均小于c,則a/c,b/c均小于1，這個(gè)結(jié)論的證明如下：

回到(a/c)^q+(b/c)^q=1，這個(gè)等式，不難發(fā)現(xiàn)(a/c)^q，(b/c)^q又可以看成指數(shù)函數(shù):f(x)=a^x,對(duì)于(a/c)^q，(b/c)^q是0<a<1的情況，其函數(shù)圖像如下：

當(dāng)0<a<1時(shí)是單調(diào)遞減的。由于我們定義了：p>q,那么(a/c)^p>(a/c)^q,(b/c)^p>(b/c)^q,那么就有(a/c)^p+(b/c)^p<1，再同時(shí)乘上c^p,有：a^p+b^p<c^p，完成了“設(shè)a,b,c為正數(shù)，p,q為正整數(shù)，且滿足p>q,如果a^q+b^q=c^q，那么a^p+b^p<c^p”這個(gè)命題的證明，這樣再回過去就能完整證明出我們的結(jié)論了，完整證明過程如下：

這就是我的證明思路，細(xì)細(xì)想來，確實(shí)有些運(yùn)氣的成分。

下期文章我將證明我另一個(gè)自創(chuàng)的奇葩命題，敬請(qǐng)期待~

記得投幣點(diǎn)贊關(guān)注我哦~