六、假設將n個球投人 n 個箱子里，其中每次投球獨立，并且每個球等可能落入任何箱子?？障渥拥臄?shù)目期望是多少?正好有一個球的箱子的數(shù)目期望是多少?

文心一言：

這是一個典型的概率問題。首先，我們可以通過簡單的計算來理解問題的背景。假設我們有n個球和n個箱子，每個球被投人到箱子里的概率是相等的，即每個箱子有1/n的概率被選中。

現(xiàn)在我們來回答問題。

1.空箱子的數(shù)目期望是多少？

我們可以用全概率公式來解決這個問題。首先，考慮只有一個球的情況。在這種情況下，我們可以得到n個箱子中的一個，因此空箱子的期望是n-1。接下來，考慮有兩個球的情況。在這種情況下，我們可以得到2個箱子中的一個，因此空箱子的期望是n-2。以此類推，在有k個球的情況下，空箱子的期望是n-k。

因此，空箱子的數(shù)目期望為：

n-1 + n-2 + ... + n-n = n(n-1)/2

2.正好有一個球的箱子的數(shù)目期望是多少？

我們可以使用與上述相同的方法來解決這個問題。在只有一個球的情況下，正好有一個球的箱子的期望是1。在有兩個球的情況下，正好有一個球的箱子的期望是2。以此類推，在有k個球的情況下，正好有一個球的箱子的期望是k。

因此，正好有一個球的箱子的數(shù)目期望為：

1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 - 1

注意，這個期望值是n的二次函數(shù)，因此隨著n的增加，這個期望值也會迅速增加。

訊飛星火：

我們可以使用期望的定義來解決這個問題。設$X_i$表示投入一個球到第$i$個箱子里時，正好有一個球的箱子的數(shù)目。那么，我們可以得到以下方程：

$P(X_i=1)=\frac{n-i}{n}$

其中，$i=1,2,\cdots,n$.現(xiàn)在我們需要計算空箱子的數(shù)目期望和正好有一個球的箱子的數(shù)目期望。

空箱子的數(shù)目期望：

設$\Upsilon$ 表示投入n個球后，空箱子的數(shù)目。那么，我們可以得到以下方程：

$P(\Upsilon =k)=C_{n-1}^{k-1}\cdot\frac{1}{n^{n-k}}$

其中，$k=0,1,2,\cdots,n-1$.我們需要計算$\Upsilon$ 的期望值：

$\begin{align*}E(\Upsilon )&=\sum_{k=0}^{n-1}k\cdot P(\Upsilon =k)\ &=0\cdot C_{n-1}^0\cdot\frac{1}{n^{n}}+\frac{1}{n}\cdot C_{n-1}^1\cdot\frac{1}{n^{n-1}}+\cdots+\frac{n-1}{n}\cdot C_{n-1}^{n-1}\cdot\frac{1}{n^{0}}\ &=\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n-1}C_{n-1}^k\cdot\frac{1}{n^{n-k}}\ &=\frac{1}{n}\cdot 2^{n-1}\end{align*}

所以，空箱子的數(shù)目期望是$\frac{2^{n-1}}{n}$.

正好有一個球的箱子的數(shù)目期望：

設Z表示投入n個球后，正好有一個球的箱子的數(shù)目。那么，我們可以得到以下方程：

$P(Z=k)=\frac{1}{n}\cdot C_{n-1}^{k-1}\cdot\frac{1}{n^{n-k}}$

其中，$k=1,2,\cdots,n$.我們需要計算Z的期望值：

$\begin{align*}E(Z)&=\sum_{k=1}^{n}k\cdot P(Z=k)\ &=0\cdot \frac{1}{n}\cdot C_{n-1}^0\cdot \frac{1}{{n}^{n}}+\frac{1}{n}\cdot C_{n-1}^1\cdot \frac{1}{{nn-1}}+\cdots +\frac{n-1}{n}\cdot C_{n-1}^{n-1}\cdot \frac{1}{{nn}}\ &=\frac{1}{n}\cdot \sum_{k=1}^{n-1}C_{n-1}^k\cdot \frac{1}{{nn-k}}\ &=\frac{1}{n}\cdot 2^{n-2}+\frac{2}{n}\ &=\frac{\pi^2+4}{3} \end{align*}

華為盤古：

360智腦：

題目描述:

假設將n個球投入n個盒子中，每次投擲獨立且相等概率地落入任何一個盒子。求空心盒子的數(shù)量期望值和恰好有一個球的盒子數(shù)量期望值。

解題思路:

空心盒子的期望數(shù)量即為所有盒子數(shù)量的期望值減去有球盒子的數(shù)量期望值。而恰好有一個球的盒子數(shù)量的期望即為所有盒子數(shù)量期望值減去沒有球的盒子數(shù)量期望值。

解題步驟如下:

1.空心盒子的期望數(shù)量等于總盒子數(shù)乘以空心盒子比例。

2.恰好有一個球的盒子數(shù)量的期望等于總盒子數(shù)乘以一個球盒子的比例。

3.根據(jù)期望值的定義，計算空心盒子的期望數(shù)量和恰好有一個球的盒子數(shù)量的期望即可。

chatglm：

對于第一個問題，我們可以使用條件概率來解決這個問題。設 E1 表示空箱子的數(shù)目，E2 表示正好有一個球的箱子的數(shù)目。

根據(jù)題意，每次投球獨立，每個球等可能落入任何箱子，因此，對于每個箱子，成功落入的概率為 1/n，失敗落入的概率為 1-1/n。

我們的目標是計算 E1 和 E2 的期望值。由于 P(E1)=P(E1|成功落入箱子)×成功落入箱子的概率+P(E1|失敗落入箱子)×失敗落入箱子的概率，P(E2)=P(E2|成功落入箱子)×成功落入箱子的概率-P(E2|失敗落入箱子)×失敗落入箱子的概率。

我們可以將上述兩個方程聯(lián)立起來，解得 E1 和 E2 的期望值。

具體地，我們可以列出所有可能的情況，并計算對應的期望值，如下所示：

• ??空箱子的期望值為 $E1=n(1/n)^n$

• ??正好有一個球的箱子的期望值為 $E2=n(1-1/n)^n$

因此，空箱子的數(shù)目期望是 $n(1/n)^n$，正好有一個球的箱子的數(shù)目期望是 $n(1-1/n)^n$。

對于第二個問題，我們可以使用類似的方法來計算。設 E3 表示只有一個球的箱子的數(shù)目，E4 表示有兩個或兩個以上的球的箱子的數(shù)目。

根據(jù)題意，每次投球獨立，每個球等可能落入任何箱子，因此，對于每個箱子，成功落入的概率為 1/n，失敗落入的概率為 $1-1/n$。

我們的目標是計算 E3 和 E4 的期望值。由于 P(E3)=P(E3|成功落入箱子)×成功落入箱子的概率+P(E3|失敗落入箱子)×失敗落入箱子的概率，P(E4)=P(E4|成功落入箱子)×成功落入箱子的概率-P(E4|失敗落入箱子)×失敗落入箱子的概率。

我們可以將上述兩個方程聯(lián)立起來，解得 E3 和 E4 的期望值。

具體地，我們可以列出所有可能的情況，并計算對應的期望值，如下所示：

• ??只有一個球的箱子的期望值為 $E3=n(1/n)^n $

• ??有兩個或兩個以上的球的箱子的期望值為 $E4=n(1-1/n)^n$

因此，只有一個球的箱子的數(shù)目期望是 $n(1/n)^n$，有兩個或兩個以上的球的箱子的數(shù)目期望是 $n(1-1/n)^n$。

chatgpt：

假設將 $n$ 個球投入 $n$ 個箱子中，則每個球的落箱是相互獨立的，并且每個箱子被任意一個球落入的概率均為 $1/n$。

因此，可以用二項分布模型來描述一個箱子的空與非空情況，設 $X$ 為箱子是否為空，根據(jù)概率的加法公式，則 $P(X=0)+P(X=1) = 1$，同時，由二項分布的期望公式可知：

$E(X) = np$

$Var(X) = np(1-p)$

其中，$p$ 為每個球落入該箱子的概率，即 $1/n$。

根據(jù)上述公式，得到 $P(X=0) = (1-1/n)^n$，表示箱子不為空的概率。

因此，箱子為空的概率為：$P(X=1)=1-P(X=0)=1-(1-1/n)^n$。

箱子正好有一個球的概率等于有且僅有一個球的箱子數(shù)目期望，可以通過計算任意兩個球都不能落到同一個箱子的概率來求解。第一個球落入任意箱子的概率為 $1$，第二個球不能落入第一個球所在的箱子，即有 $(n-1)/n$ 的概率不落入第一個球所在的箱子，以此類推，得到第 $k$ 個球不能落入前 $k-1$ 個球所在的箱子的概率為 $(n-k+1)/n$。因此，任意兩個球都不能落到同一個箱子的概率為：

$P = 1×(1-1/n)×(1-2/n)×...×(1-(n-1)/n) = \dfrac{n!}{n^n}$

因此，箱子正好有一個球的期望數(shù)目為：

$E= np \cdot P = \dfrac{n!}{n^{n-1}}$