第 一章? 函數(shù)與極限

第四節(jié) 無窮小與無窮大

一、無窮小

概念——

• 無窮小：如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)的極限為零，那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)的無窮小。

• 數(shù)列的無窮小：以零為極限的數(shù)列{xn}稱為n→∞時(shí)的無窮小。

• 無窮大：設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義（或|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義），如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M（不論它多么大），總存在正數(shù)δ（或正數(shù)X），只有x適合不等式0<|x-x0|<δ（或|x|>X），對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)總滿足不等式|f(x)|>M，則稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)的無窮大。

定理——

1. 在自變量的同一變化過程x→x0（或x→∞）中，函數(shù)f(x)具有極限A的充分必要條件是f(x)=A+a，其中a是無窮小。

2. 在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則1/f(x)為無窮??；反之，如果f(x)為無窮小，且f(x)≠0，則1/f(x)為無窮大。

第五節(jié) 極限運(yùn)算法則

定理——

• 有限個(gè)無窮小的和也是無窮小。

• 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。

• 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。

• 有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小。

• 如果lim f(x)=A，lim g(x)=B，那么

• 如果lim f(x)存在，而c為常數(shù)，則lim[c f(x)]=c lim f(x)。

• 如果lim f(x)存在，而n為正整數(shù)，則

• 設(shè)有數(shù)列{xn}和{yn}，如果
  

????——那么

• 如果φ(x)>=ψ(x)，而limφ(x)=a，limψ(x)=b，那么a>=b。

• （復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]是由u=g(x)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合而成，f[g(x)]在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，若
  

第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限

準(zhǔn)則I：如果數(shù)列{xn}、{yn}及{zn}滿足下列條件——

準(zhǔn)則II：

1. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

2. 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)左鄰域內(nèi)單調(diào)并且有界，則f(x)在x0的左極限必定存在。

柯西（Cauchy）極限存在準(zhǔn)則：數(shù)列{xn}收斂的充分必要條件是：對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，存在著這樣的正整數(shù)N，使得m>N，n>N時(shí)，就有|xn-xm|<ε.

兩個(gè)重要極限：

第七節(jié) 無窮小的比較

概念——

• 高階的無窮小：如果lim(β/α)=0，就說β是比α高階的無窮小，記作β=o(α)。

• 低階的無窮小：如果lim(β/α)=∞，就說β是比α低階的無窮小。

• 同階無窮小：如果lim(β/α)=c≠0，就說β是比α同階無窮小。

• k階無窮小：如果lim(β/α^k)=c≠0，就說β是關(guān)于α的k階無窮小。

• 等價(jià)無窮小：如果lim(β/α)=1，就說β與α是等價(jià)無窮小，記作α~β。

定理——

1. β與α是等價(jià)無窮小的充分必要條件為β=α+o(α)。

2. 設(shè)α~α'，β~β'，且lim(β'/α')存在，則lim(β/α)=lim(β'/α')。