對(duì)勾復(fù)對(duì)勾（2019課標(biāo)Ⅱ圓錐曲線）
2022-08-15 12:10 作者:數(shù)學(xué)老頑童 | 我要投稿
（2019課標(biāo)Ⅱ，21）已知點(diǎn)
、
，動(dòng)點(diǎn)
滿足直線
與直線
的斜率之積為
.記
的軌跡為曲線
.
（1）求
（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交
、
兩點(diǎn)，點(diǎn)
軸，垂足為
，連接
并延長交
.
（?。┳C明：
是直角三角形；
（ⅱ）求
解：（1）由題可知
，
化簡得（
），
所以的軌跡是橢圓（不含左、右頂點(diǎn)）.
（2）先畫圖
（?。┰O(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
，
則點(diǎn)、
的坐標(biāo)分別為
、
則直線的斜率
，
而，
所以……（
）
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
，
由與點(diǎn)、
、
都在橢圓上，所以
，
，
兩式相減（點(diǎn)差法）得
，
即，
即，
即，
即，
即……（
）
（此即橢圓之第三定義）
由、
可得
，
所以，
所以是直角三角形.
（ⅱ）設(shè)直線的方程為
，
與橢圓聯(lián)立，解得
，
設(shè)直線的方程為
，
與橢圓聯(lián)立得
，
所以，
所以.
所以的水平寬
.
所以
令，則
，
易知在
，所以
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即
時(shí)，取得最大值.
補(bǔ)充一些草稿：
標(biāo)簽：
