本篇我能一站式帶你看懂菲涅爾衍射中的半波帶法與矢量圖解法。（光學(xué)考研輔導(dǎo)可私信）

惠更斯提出了子波原理，菲涅爾將其完善為：子波的疊加成干涉或衍射。

在菲涅爾時(shí)代，還沒有數(shù)值模擬衍射場(chǎng)的計(jì)算機(jī)，所以必須要施加足夠良好的幾何對(duì)稱性來進(jìn)行半定量的分析——菲涅爾半波帶法和矢量圖解法。

菲涅爾半波帶法導(dǎo)出了歷史上著名的泊松亮斑。在書上會(huì)給出如下的小圓孔的衍射裝置：

曲率半徑為R的球面波透過小孔時(shí)，孔的邊緣是b點(diǎn)，自邊緣向光軸線中心逐λ/2即半波長(zhǎng)劃分子光源，即把軸上P點(diǎn)的衍射看成是稠密的干涉，這個(gè)觀念是重要的。事實(shí)上，在惠更斯-菲涅爾原理看來，干涉是波疊加的離散求和版本，衍射是波疊加的連續(xù)積分版本。只要是足夠稠密的干涉分析，就能取得近似衍射的效果。

矢量圖解法就是更稠密的干涉。菲涅爾半波帶法可以看作矢量圖解法的一種特殊情形。

那能不能再稠密呢？——誒有同學(xué)問了，為什么一定要是λ/2半波帶呢？1/4λ行么？

——可以用1/4λ、1/3λ等其他波帶，但是麻煩一些，這是因?yàn)樵诎S近似條件下，只有半波帶可以簡(jiǎn)化處理：相鄰半波帶近似相互抵消。如下圖：

上圖這種將相位遞增的矢量疊加按照螺旋方式作圖的方法，被稱為矢量圖解法。

所以它是個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)（上下矢量箭頭）的求和，結(jié)果有兩種：

偶數(shù)個(gè)半波帶時(shí)≈0；奇數(shù)時(shí)≈半徑長(zhǎng)度=1/2倍E1，也就是自由傳播時(shí)的振幅Af。

接下來的問題就是如何計(jì)算半波帶數(shù)，它和菲涅爾數(shù)的關(guān)系是什么？如下圖：

式4.2.7或式4.2.8中的ρ2/λ是菲涅爾數(shù)（后邊還會(huì)講到），m就是菲涅爾半波帶數(shù)，它是整數(shù)是就可以直接套用半波帶法的結(jié)論，即偶0奇半；m是非整數(shù)時(shí)就需要用矢量圖解法求解合振幅矢量。

對(duì)于軸上P點(diǎn)，其菲涅爾數(shù)m會(huì)隨Zp變化而變化，因而呈現(xiàn)出明暗交替的現(xiàn)象。如果是圓屏衍射，遮擋住前m級(jí)只會(huì)讓矢量螺旋圓半徑收縮，是從m+1級(jí)半波帶開始自由傳播，自由傳播在矢量螺旋圓上就是一條自圓弧指向圓心的半徑矢量，這個(gè)振幅的光強(qiáng)就是泊松亮斑。如下：

這個(gè)總是有的光就是泊松亮斑。對(duì)于矢量圖解法，我們需要記住的屏狀外圍自由通光在矢量圖中的處理。對(duì)于屏幕遮擋部分，零振幅空走前m級(jí)的相位角。對(duì)于自由通光部分，剩余的m+1級(jí)后的振幅直接指向圓心，如上圖圖4.2.14(a)(b)(c)的畫法。

但考試題還可能出得比這個(gè)難，因?yàn)檫@只是課本例題，難度是小于課后習(xí)題（基本上就是各院校專業(yè)課考試題難度）的。

一些幾何對(duì)稱性仍然良好（仍能用半波帶法或矢量圖解法），孔徑是環(huán)、扇的情形，繪制矢量的關(guān)鍵是正確處理遮擋。遮擋有兩種，一種是徑向的半波帶數(shù)m的遮擋，一種是環(huán)向的同一m級(jí)次的遮擋。第一種是只零振幅空走相位角，第二種是振幅按環(huán)扇比例縮短。

最簡(jiǎn)單的是無扇、半波帶數(shù)m是整數(shù)。

從P點(diǎn)r0處開始算半波帶數(shù)m，由于是環(huán)形（無扇形），則半波帶是100%遮擋或透過。一共透過了第1、3級(jí)半波帶，不是相鄰而是隔了一級(jí)，所以相加而不是相消。

復(fù)雜一些的是有扇形或m是分?jǐn)?shù)：

先說比較簡(jiǎn)單的圖(b)。從衍射孔中心向外透過一個(gè)m=1的第一級(jí)λ/2帶，相位從底端起點(diǎn)過180°畫一個(gè)A1；然后再向外對(duì)于m=2的半波帶，其中有3λ/4-λ/2=λ/4帶是遮擋的，遮擋m按前文所述是空走相位角，直接過90°；另外λ/4帶是自由通光的，所以續(xù)上一個(gè)就地直接指向圓心的A2，再進(jìn)行疊加。

再說復(fù)雜一點(diǎn)的圖(a)。從中心，首先是透一個(gè)λ/4帶，相位從底端起點(diǎn)過90°畫一個(gè)A1；然后再向外又是一個(gè)λ/4帶，其中環(huán)向有一半是遮擋的，所以這個(gè)振幅得按比例縮到1/2，于是畫一個(gè)A2；此時(shí)已經(jīng)λ/2帶了，相位走到180°處，外側(cè)有一半是自由透過，于是就地指向圓心并縮短一半畫一個(gè)A3，最后把這仨合起來得到Ap

最后說更復(fù)雜的圖(c)。從中心，首先是一個(gè)λ/4帶透3/4，所以相位從底端起點(diǎn)過90°并按環(huán)扇比例縮至3/4；然后是一個(gè)3λ/4帶完全透光，相位從底端起點(diǎn)套一圈回到起點(diǎn)，于是畫一個(gè)A2，兩個(gè)向量共線直接相加即可，得到Ap=1/4倍A2

怎么樣，是不是抓住兩個(gè)遮擋后就把這一類題目弄懂了。

如果粉絲需求強(qiáng)烈，可以考慮更一篇夫瑯禾費(fèi)衍射中的矢量圖解法講解及解題步驟。另外，如果有想讓作者用MATLAB繪制本集相關(guān)圖像的也可私信。