前篇專欄我們用控制變量法求解了幾道含幾何背景的多變量問題，那么在代數(shù)(以函數(shù)形式為主)中控制變量法又如何使用呢？這是此專欄的探討重點(diǎn)。

先看一道題：

求二元函數(shù)的最小值？

如果能從這個式子中發(fā)掘出幾何意義，那么問題可以迎刃而解。就是求點(diǎn)(cosa,sina)與點(diǎn)(b,-2)間距離的平方的最小值，也即求距離的最小值，那么就可以轉(zhuǎn)化為上一篇專欄的第一題來做：

具體的過程就再簡單復(fù)述一遍好了，具體過程參考前一篇專欄。

先固定B，則BC的最小值為B到直線l的垂線段長

即每一個特定的B，對應(yīng)的BC的最小值都是該點(diǎn)到直線的距離

那么求出B到直線距離的最小值即可

由于直線水平，當(dāng)B位于圓的最低點(diǎn)時取得最小值1

奇妙的比喻就是先選班級(先固定B)，后挑矮子(找出BC的最小值，垂線段長)，最后將每個班里最矮的人組成的群體中找出最矮的即為所求(找垂線段長的最小值)

(純屬舉例無貶義[doge]，上一篇專欄也有提及)

回到此題，上文使用幾何意義的轉(zhuǎn)化求解，那么直接從函數(shù)角度著手又如何求解呢？答案也是：使用控制變量法

控制a不變，那么函數(shù)可以看成以b為自變量的函數(shù)

(標(biāo)紅的就是自變量)

這是以b為自變量的二次函數(shù)的頂點(diǎn)式

當(dāng)時取最小值

再求的最小值即可

當(dāng)時取最小值

不妨作出函數(shù)圖像來輔助理解

控制a，那么函數(shù)圖像就是以a為參變量，b為自變量的運(yùn)動的曲線(隨參數(shù)a運(yùn)動)

此時就是一運(yùn)動的二次函數(shù)(以b為自變量)，對于一特定的參數(shù)a，對應(yīng)的二次函數(shù)的最低點(diǎn)為

那么調(diào)整參數(shù)a，找到這個最低點(diǎn)的最低位置即可

當(dāng)sina=-1時，取得最小值1

奇妙的比喻：選定一特定的參數(shù)a就相當(dāng)于選定了一個班級，此時圖像上的點(diǎn)就是這個班級的無數(shù)的學(xué)生，最低點(diǎn)對應(yīng)的就是這個班級里最矮的學(xué)生。

每一個參數(shù)a都對應(yīng)一個班級，圖像反應(yīng)這個班里學(xué)生的身高情況

為找出最小值，需找出每個班最矮的學(xué)生研究（就是找出含參的最低點(diǎn)）

最后找出這群矮人中最矮的即為所求(對應(yīng)找最低點(diǎn)的最低位置)

同理，控制b不變，那么函數(shù)可以看成以a為自變量的函數(shù)

(標(biāo)綠的就是自變量)

這是以a為自變量的函數(shù)，形式比較復(fù)雜，經(jīng)化簡得：

此時發(fā)現(xiàn)這是以a為自變量的三角函數(shù)

運(yùn)用輔助角公式可得，其最小值為

再求的最小值即可

令

對稱軸為t=1，當(dāng)時遞增，故當(dāng)t=2時取最小值1

再作出以a為自變量,b為參變量的函數(shù)圖像

控制b，那么函數(shù)圖像就是以b為參變量，a為自變量的運(yùn)動的曲線(隨參數(shù)b運(yùn)動)

此時就是一運(yùn)動的三角函數(shù)(以a為自變量)，對于一特定的參數(shù)b，對應(yīng)的三角函數(shù)的最低點(diǎn)縱坐標(biāo)為

那么調(diào)整參數(shù)b，找到這個最低點(diǎn)的最低位置即可

也就是求的最小值

奇妙的比喻：選定一特定的參數(shù)b就相當(dāng)于選定了一個班級，此時圖像上的點(diǎn)就是這個班級的無數(shù)的學(xué)生，最低點(diǎn)對應(yīng)的就是這個班級里最矮的學(xué)生。

每一個參數(shù)b都對應(yīng)一個班級，圖像反應(yīng)這個班里學(xué)生的身高情況

為找出最小值，需找出每個班最矮的學(xué)生研究（就是找出含參的最低點(diǎn)）

最后找出這群矮人中最矮的即為所求(對應(yīng)找最低點(diǎn)的最低位置)

再來欣賞下二元函數(shù)在空間直角坐標(biāo)系下的幾何意義

我們知道單元函數(shù)可以在平面直角坐標(biāo)系中由點(diǎn)坐標(biāo)繪制出曲線圖像。

而雙元函數(shù)有兩個自變量，比單變量多了一個自由度，所以點(diǎn)坐標(biāo)可繪制出一曲面。

上圖是雙元函數(shù)的曲面圖像

取一特定的x值，那么z就是以y為自變量的函數(shù)，對應(yīng)坐標(biāo)系中相當(dāng)于作一平面與之相交，該平面//z-o-y平面

(類比單元函數(shù)中作x軸垂線與函數(shù)相交，交點(diǎn)就是函數(shù)值)

比如取x=0，那么，也就是對應(yīng)的圖中曲線(曲面與平面的交線)的表達(dá)式

實(shí)際上，此時對應(yīng)前面的控制以x為參變量，以y為自變量的函數(shù)就是這條交線在平面上的投影曲線

取定的每一個特定的x對應(yīng)每一塊“剖面圖”，所有這些“剖面圖”構(gòu)成即可反映原曲面的整體

平面過曲面最低點(diǎn)時，所截得的曲線自然也是所有最低點(diǎn)中最低的

取定y也同理

此時平面//z-o-x平面，所截得的曲線則是三角函數(shù)圖

比如取y=-1.5，那么，也就是對應(yīng)的圖中曲線(曲面與平面的交線)的表達(dá)式

此時對應(yīng)前面的控制以y為參變量，以x為自變量的函數(shù)就是這條交線在平面上的投影曲線

同樣，所截得的曲線也是所有最低點(diǎn)中最低的

我們對比發(fā)現(xiàn)，前面的控制變量其實(shí)就是選定平行于z-O-y或平行于z-O-x的平面進(jìn)行平移，用所截得的剖面圖中的曲線來反映曲面的情況

下面再來練習(xí)一道題

求二元函數(shù)的最小值

思路一：控制y不變，則

(標(biāo)紅的為自變量)

當(dāng)時取得最小值

當(dāng)y=-1時取得這些最小值中的最小值7

思路二：控制x不變，則

(標(biāo)綠的為自變量)

當(dāng)時取得最小值

當(dāng)x=-2時取得這些最小值中的最小值7

下面再結(jié)合圖像以欣賞下上述思路的幾何意義。

作出上述二元函數(shù)的曲面圖：

思路一和思路二分別對應(yīng)平行于z-O-y平面和平行于z-O-x平面作剖面圖

以上主要講解了控制變量法在求解二元函數(shù)最值中的應(yīng)用，以及其在空間直角坐標(biāo)系中幾何意義(作曲面的剖面圖)。由于篇幅有限，專欄得繼續(xù)出補(bǔ)充的文章，下篇專欄會以偏導(dǎo)數(shù)為主要內(nèi)容對控制變量法展開論述。