八、可以擴(kuò)展我們的記號(hào)到有兩個(gè)參數(shù)n和m的情形，其中的n和m可以按不同速率獨(dú)立地趨于無窮。對(duì)于給定的函數(shù)g(n, m)，用O(g(n, m))來表示以下函數(shù)集：

O(g(n, m)) = { f(n, m): 存在正常量c、和，使得對(duì)所有n>=n0或m>=m0，有 0<=f(n,m)<=cg(n,m)}

對(duì)Ω(g(n, m))和θ(g(n, m))給出相應(yīng)的定義。

文心一言：

chatgpt：

類比于單個(gè)參數(shù)的情形，我們可以定義類似的記號(hào)：

• ??O(g(n, m)): 表示一個(gè)函數(shù)集合，其中的函數(shù)在 n 和 m 分別趨向正無窮時(shí)，上界為 g(n, m) 的某個(gè)常數(shù)倍。

• ??Ω(g(n, m)): 表示一個(gè)函數(shù)集合，其中的函數(shù)在 n 和 m 分別趨向正無窮時(shí)，下界為 g(n, m) 的某個(gè)常數(shù)倍。

• ??θ(g(n, m)): 表示一個(gè)函數(shù)集合，其中的函數(shù)在 n 和 m 分別趨向正無窮時(shí)，既存在一個(gè)上界為 g(n, m) 的某個(gè)常數(shù)倍，也存在一個(gè)下界為 g(n, m) 的某個(gè)常數(shù)倍。

具體地說，對(duì)于 f(n, m) 屬于 O(g(n, m))，意味著存在正常量 c 和 N，使得當(dāng) n>=N 或 m>=M 時(shí)，f(n, m) ≤ c * g(n, m)。類似地，對(duì)于 f(n, m) 屬于 Ω(g(n, m))，意味著存在正常量 c 和 N，使得當(dāng) n>=N 或 m>=M 時(shí)，f(n, m) ≥ c * g(n, m)。對(duì)于 f(n, m) 屬于 θ(g(n, m))，意味著存在正常量 c1、c2 和 N，使得當(dāng) n>=N 或 m>=M 時(shí)，c1 * g(n, m) ≤ f(n, m) ≤ c2 * g(n, m)。

一、證明：若f(n)和g(n)是單調(diào)遞增的函數(shù)，則函數(shù)f(n)+g(n)和f(g(n))也是單調(diào)遞增的，此外，若f(n)和g(n)是非負(fù)的，則f(n)·g(n)是單調(diào)遞增的。

文心一言：

chatgpt：

首先證明 f(n)+g(n) 是單調(diào)遞增的：

設(shè) n1 < n2，由于 f 和 g 都是單調(diào)遞增的函數(shù)，則有 f(n1) ≤ f(n2) 和 g(n1) ≤ g(n2)，兩邊分別加起來得到 f(n1) + g(n1) ≤ f(n2) + g(n2)，即 f(n) + g(n) 也是單調(diào)遞增的。

接下來證明 f(g(n)) 是單調(diào)遞增的：

設(shè) m1 < m2，由于 g 是單調(diào)遞增的函數(shù)，則有 g(m1) ≤ g(m2)，又因?yàn)?f 是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以有 f(g(m1)) ≤ f(g(m2))。因此 f(g(n)) 也是單調(diào)遞增的。

最后證明 f(n)·g(n) 是單調(diào)遞增的：

設(shè) n1 < n2，由于 f 和 g 都是非負(fù)單調(diào)遞增的函數(shù)，則有 f(n1) ≤ f(n2) 和 g(n1) ≤ g(n2)，兩邊相乘得到 f(n1)·g(n1) ≤ f(n2)·g(n2)，即 f(n)·g(n) 也是單調(diào)遞增的。

綜上所述，根據(jù)以上證明，當(dāng) f(n) 和 g(n) 均為單調(diào)遞增的函數(shù)時(shí)，f(n)+g(n)、f(g(n))、f(n)·g(n) 均為單調(diào)遞增的函數(shù)。