人的一生難免會遇到很多尷尬的時(shí)候……

比如，上廁所沒有紙了

其實(shí)這種欲哭無淚的情況還有很多，什么排隊(duì)的時(shí)候我在哪條隊(duì)伍哪條隊(duì)伍就更慢，在電梯里突然肚子告急想要來一個(gè)忍無可忍的屁……今天我們就來聊一聊廁所里這件避無可避的尷尬的事情……

　　

廁紙

提起廁所，我們離不開廁紙。廁紙的制造過程其實(shí)很普通的紙張并沒有太大的區(qū)別，但是因?yàn)橛猛静煌?，廁紙以及其他紙巾被設(shè)計(jì)地極其薄而且極其地脆弱，從而提供人們?nèi)粘２潦闷つw?擦屁股?以及清潔物品表面等用途。

在古代，紙還不那么地普及，只能用來書寫的時(shí)候，人們普遍用可以重復(fù)使用的東西來清理自己的屁屁，比如我們熟悉的廁籌，還有動物毛皮，布??手等東西?。但是隨著時(shí)代變遷，紙?jiān)絹碓狡占?。我們熟悉的劉姥姥在大觀園突然覺得要拉肚子，都是「忙的拉著一個(gè)小丫頭，要了兩張紙」。

現(xiàn)在，人們一般認(rèn)為是蓋耶提（Joseph C. Gayetty）發(fā)明了現(xiàn)代意義上的商品化的衛(wèi)生紙。1850 年代是家庭清潔的黃金十年，洗碗機(jī)和洗衣機(jī)都在這段時(shí)期問世，但這兩項(xiàng)發(fā)明都不如商品化的衛(wèi)生紙那么具革命性。在此之前的美國人一般都用玉米殼以及從報(bào)紙、雜志和型錄（匯集了商品信息的冊子）上撕下來的紙，既好用又沒花多少錢。美國一些型錄出版商甚至開始在角落打個(gè)洞，像是默認(rèn)他們的產(chǎn)品注定會掛在茅坑，當(dāng)衛(wèi)生紙用。

一般我們用濕韌強(qiáng)度代表紙張?jiān)谕耆珴櫇駹顟B(tài)下的韌性指標(biāo)。面巾紙一般要求具有濕韌性，畢竟不能一擦臉上的水，紙全變成渣渣糊在臉上了。而廁用衛(wèi)生紙一般不允許具有濕韌性，就是為了防止在使用后紙張不易分解而堵塞衛(wèi)生化糞池。丟入馬桶很快就能分解掉。如果你家?guī)驗(yàn)槟闳舆M(jìn)去紙??而不是拉得太多??而堵了，那說明：你用錯(cuò)紙了。

紙巾紙的國家標(biāo)準(zhǔn)是 GB/T20808-2011，其中衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)是 GB15979，而衛(wèi)生紙的標(biāo)準(zhǔn)是 GB/T20810-2006。一般包裝反面會有標(biāo)準(zhǔn)號，可以通過這個(gè)辨別。你也可以自己做實(shí)驗(yàn)，把紙巾丟到清水中，看是否會變成渣渣來辨認(rèn)。

包租婆，廁所又沒紙啦！

為了避免廁所沒紙的尷尬，在裝修家里的衛(wèi)生間時(shí)，我們可以安裝一個(gè)廁所雙紙巾架。大多數(shù)家庭廁所只有一個(gè)獨(dú)立的紙巾架。不管怎么說，只有一卷紙巾實(shí)在是沒啥安全感，萬一前面一個(gè)人用的紙巾多了一點(diǎn)，而又來不及換下一卷紙巾的時(shí)候，就只能面對無紙可用的窘境。很多人有一個(gè)好********快要用完的時(shí)候，會在馬桶水箱上放一個(gè)新的。但是既然如此，我們?yōu)樯恫蛔鲆粋€(gè)可以放兩卷紙的支架呢？

不過目前多了一卷紙并沒有徹底解決無紙可用的問題。萬一兩卷紙都在同一時(shí)間用完了，怎么辦？雖然紙巾清空比起之前多了一倍的時(shí)間，但是我們還是遇到同樣的問題：包租婆，廁所又沒紙啦！在廁所擁有兩卷紙巾以后，我們的問題其實(shí)變得復(fù)雜了一些，選擇哪卷衛(wèi)生紙作為我們的「擦屁屁紙」，成為了整個(gè)問題的關(guān)鍵。

經(jīng)過一段不長的思考和實(shí)踐以后，我們可以使用三種不同的「擦屁屁紙選擇算法」：大策略，小策略以及隨機(jī)策略。

• 大策略：始終從最大的卷中取紙（如果一樣大，就選近的那個(gè)）；

• 小策略：始終從最小的卷中取紙（如果一樣大，就選近的那個(gè)）；

• 隨機(jī)策略：放棄思考，隨機(jī)選擇。

不知道你平時(shí)是哪一種策略呢？

隨機(jī)策略是最自然的，但是如果我們的選擇真的是隨機(jī)的話，我們會平等地選擇兩個(gè)卷，所以它們會被幾乎同時(shí)地清空……所以為了后來進(jìn)入廁所的人，也為了我們自己，我們不能草率地做出用哪一卷紙的決定。

如果我們使用大策略，假設(shè)我們有 A 和 B 兩個(gè)卷，但是 A 更大一點(diǎn)，那么這種情況下，我們會先用大的那一卷 A，直到 A 和 B 兩個(gè)卷一樣大。所以 A 和 B 兩個(gè)卷幾乎是勻速地減少，也就是……我們依舊沒有辦法擺脫兩卷紙同時(shí)被用完的宿命……

小策略實(shí)際上才是最為正確的選擇。因?yàn)槲覀兪冀K使用較小的那個(gè)卷，因?yàn)樗鼤絹碓叫?，直到耗盡，然后我們再切換到另外一個(gè)全新的卷紙。這樣的好處不言而喻，在一卷紙用完以后，另一卷紙還剩足夠長，給人們留下了充足的更換另一卷紙的時(shí)間。

建個(gè)模型吧

雖然經(jīng)過我們的證明，小策略是一個(gè)很完美的避免大家進(jìn)入廁所以后無紙可用的尷尬策略，但是現(xiàn)實(shí)往往很殘酷，并不是所有人都意識到了這一點(diǎn)。有的人依舊會選擇大的那個(gè)，有的人依舊會隨機(jī)地選擇自己用哪卷紙。

為了一般化上面的情況，我們可以定義在所有進(jìn)入廁所中的人中會有 q 的概率選擇小策略，而會有 p 概率的人選擇大策略。當(dāng)然，p + q = 1。對于隨機(jī)選擇的人，其實(shí)就對應(yīng)上面模型中的 q = 1 / 2。

怎么來衡量用紙尷尬情況發(fā)生的可能性呢？令?Mn(p)?為兩個(gè)長度均為 n 的卷紙?jiān)谝粋€(gè)卷紙用完以后，另一個(gè)卷紙的長度的數(shù)學(xué)期望。如果這個(gè)?M?越大，就意味著越安全，留給我們換一卷新的紙的時(shí)間也就越多。如果這個(gè)?M?越小……我們就只能自求多福不要遇到這種尷尬的情況了……

這個(gè)這么關(guān)系到大家生活幸福程度的事情，怎么可能沒有科學(xué)家關(guān)注過呢？在 1984 年，高德納（Donald Ervin Knuth）教授就研究過?Mn(p)?的具體表達(dá)式，以及其一些性質(zhì)。我們可以通過一些簡單的情況來熟悉分析的方法。

假設(shè)卷紙只有 1 格。那么不管用什么策略，我們都會用掉一格紙，所以?M1(p) = 1。

假設(shè)卷紙只有 2 格。我們用?(2, 2)?表示目前卷紙的狀態(tài)，那么和前面類似，不管用什么策略，我們都會用掉一格紙，所以這時(shí)變成了?(2, 1)。接下來我們有 q 的概率變成?(2, 0)，然后 p 的概率變成?(1, 1)。所以最終剩余長度的數(shù)學(xué)期望為?M2(p) = 2 * q + p = 2 - p。

一般的情況我們可以用下面的公式表示這種卷紙狀態(tài)（也就是前面的長度對）的變化情況。當(dāng)然，卷紙狀態(tài)和 M 的值是一一對應(yīng)的。

在 Knuth 的論文中，他討論了在一般的情形下，一個(gè)卷紙空了以后另一個(gè)卷紙最后剩余長度的數(shù)學(xué)期望是多少。在一個(gè)并沒有什么約定的社會中，大家如果隨便選用一個(gè)卷紙，假設(shè)卷紙總長度為 n，那么最后一卷的剩余長度會在 n 的平方根量級上。更為具體的表達(dá)式為

以常見的某國產(chǎn)品牌卷紙為例，一卷全新的卷紙長度為 240 格。在隨機(jī)策略之下，在一卷紙用完以后，另一卷紙將會平均只剩下 17.5 格。這實(shí)在是一個(gè)很不妙的信號……

如果我們模擬一下 100 格的衛(wèi)生紙?jiān)诓煌拇蟛呗允褂谜吒怕是闆r下的剩余長度，我們會發(fā)現(xiàn)，隨著小策略的人數(shù)比重的增加，一卷紙用完以后，另一卷紙的長度會快速地增加。

需要注意的是，在上面模型的討論中我們實(shí)際上是假定了每個(gè)人一次用一格紙。

結(jié)論

說了這么多，其實(shí)如何避免廁所無紙可用是一個(gè)需要大家共同努力的事情，總結(jié)起來其實(shí)就是……

卷紙千萬條，策略第一條，

選大不選小，別人兩行淚。

“ 轉(zhuǎn)發(fā)這個(gè)好習(xí)慣，就能造福你我他 ”

參考文獻(xiàn):?

[1] Donald E. Knuth. The American Mathematical Monthly. Vol. 91, No. 8 (Oct., 1984), pp. 465-470

[2]?Toilet Paper - Wikipedia??https://en.wikipedia.org/wiki/Toilet_paper

[3]?關(guān)于廁紙你不可不知的 36 件事??https://www.buzzfeed.com/jessicaprobus/36-weird-things-you-never-knew-about-toilet-paper

[4]?How does the author find?Mn(p) in the Toilet Paper Problem??https://math.stackexchange.com/questions/2770190/how-does-the-author-find-m-np-in-the-toilet-paper-problem

[5]?發(fā)明廁紙前，古人用什么擦屁股？??https://zhuanlan.zhihu.com/p/40650001

[6]?為什么國外人大多將廁紙丟進(jìn)馬桶，而中國人不習(xí)慣這樣？??http://blog.sina.com.cn/s/blog_ab9e9eef0102wmdw.html

[7]?Toilet Paper Algorithms: I didn't know you had to be a computer scientist to use toilet paper.? ?https://jnd.org/toilet_paper_algorithms_i_didnt_know_you_had_to_be_a_computer_scientist_to_use_toilet_paper/

[8]?RV Toilet Paper Test??https://www.sanidumps.com/product-testing-rvtoiletpapertest.php

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