先看一下課本上這一節(jié)開始的思考題

對(duì)于一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)，它的圖象與坐標(biāo)軸、t時(shí)刻的輔助線圍成了一個(gè)矩形，根據(jù)矩形面積公式，面積=底×高，從圖中看就是S=v·t。等式的右邊剛好就是物體在這段時(shí)間內(nèi)的位移，所以我們說勻速直線運(yùn)動(dòng)的v-t圖像與 t 軸圍成的面積=位移。

再來看一下勻變速直線運(yùn)動(dòng)的情況。如下圖的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的圖像，與坐標(biāo)軸圍成的面積是三角形，那么這個(gè)三角形的面積和位移是什么關(guān)系呢？

為了研究這個(gè)問題，首先要知道變速直線運(yùn)動(dòng)的位移如何計(jì)算，位移=速度×?xí)r間，但是這里的速度是一直變化的，所以不能用這個(gè)公式。

整個(gè)運(yùn)動(dòng)中速度變化非常大，但如果把整個(gè)運(yùn)動(dòng)切割成許多相等的小段，讓每一段的時(shí)間Δt都非常的小，那就可以認(rèn)為在這一段非常小的時(shí)間間隔內(nèi)，物體的速度幾乎沒有發(fā)生變化，即每一段的速度記作，每一段的位移就分別是，把它們加起來就是運(yùn)動(dòng)的總位移。

如果我們把三角形也按Δt進(jìn)行分割，由于Δt非常小，所以每一份都可以看做一個(gè)非常細(xì)長(zhǎng)的矩形，矩形的底邊長(zhǎng)度就是Δt，高度就是，面積就是，因此每一段的面積就是。把它們加起來就是三角形的面積。

從以上兩個(gè)分析可以看出運(yùn)動(dòng)的位移s和三角形的面積S是一樣的。也就是說勻變速直線運(yùn)動(dòng)的v-t圖像與 t 軸圍成的面積=位移。

一般的，這個(gè)結(jié)論不光對(duì)勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻變速直線運(yùn)動(dòng)成立，對(duì)變加速直線運(yùn)動(dòng)也是成立的。

從圖像上選兩點(diǎn)，然后從這兩點(diǎn)向時(shí)間軸做垂線，則圖像與時(shí)間軸和這兩條垂線所圍成的面積表示這一段時(shí)間內(nèi)物體的位移。

以上所用的分析方法實(shí)際上是數(shù)學(xué)中的微積分思想——分割累加。

總結(jié)

在v-t圖像中，圖像與時(shí)間軸所圍成的面積就是物體運(yùn)動(dòng)的位移。