【菲赫金哥爾茨微積分學教程精讀筆記Ep106】Bolzano-Cauchy判別法
今天介紹類似于數(shù)列極限中學習到的柯西準則的Bolzano-Cauchy判別法的證明。
58Bolzano-Cauchy判別法
證明x趨向于有限值a的情形——
a.必要性
x趨向于a時，lim f（x）=A，即對任意ε>0，存在δ>0，當0<|x-a|<δ，|f（x）-A|<ε/2；
對0<|x'-a|<δ，|f（x'）-A|=|A-f（x'）|<ε/2；
由1、2，對任意ε>0，存在δ>0，當0<|x-a|<δ，0<|x'-a|<δ，
|f（x）-f（x'）|=|f（x）-A+A-f（x'）|<=|f（x）-A|+|A-f（x'）|<ε，證畢。
b.充分性?
存在性——
已知，對任意ε>0，存在δ>0，當0<|x-a|<δ，0<|x'-a|<δ，|f（x）-f（x'）|<ε；
{xn}是任意收斂于a的數(shù)列，則對δ>0，存在N，當n，n'>N時，0<|xn-a|<δ，0<|xn'-a|<δ；
由1，2，|f（xn）-f（xn'）|<ε，由柯西準則，數(shù)列{f（xn）}有極限A。
唯一性——
{yn}是另一個收斂于a的數(shù)列，同理，數(shù)列{f（yn）}有極限B；
將{xn}，{yn}的元素交替排列成數(shù)列{zn}：x1，y1，x2，y2，……xN，yN，xN+1，yN+1，……，顯然，數(shù)列{zn}也是一個收斂于a的數(shù)列，則數(shù)列{f（zn）}有極限C，數(shù)列極限具有唯一性，{xn}，{yn}都是數(shù)列{zn}}的子列，則lim f（x）=A=B=C。
到這里！
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