粗略來說，“可微性”≈“?切空間”——從幾何的角度來看即存在一個切平面。但是，分析學(xué)中還跟了一個“小尾巴”，即函數(shù)的變量Δf與其微分df之間相差一個高階無窮小o(|dr|)，注意是高階無窮小、而非無窮小o(1)。

在上面的要求下，切平面由偏導(dǎo)數(shù)完全決定、即“可微性”?“偏導(dǎo)數(shù)存在”，但是“偏導(dǎo)數(shù)存在”?“可微性”。在這個例子中(0,0)處的df=0、|Δf|的增長上界與|dr|同階，它的偏導(dǎo)數(shù)在(0,0)處附近是發(fā)散的，而之所以f'(0,0)存在是因為補充了f(0,0)的定義。

可以證明“偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)”?“可微性”。由于導(dǎo)函數(shù)具有介值性、且只有第二類間斷點(Darboux定理)，故偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微的點只能是孤立點，可以稱為“奇點”。另一方面，“可微性”?“偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)”。在下面的例子中，可微函數(shù)f(x,y)=r2被作用了一個有界因子sin(r?2)、且補充了f(0,0)的定義，故不影響其可微性；但是sin(r?2)在(0,0)處卻是“震蕩”的，從而破壞了偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。

總結(jié)：“?偏導(dǎo)數(shù)”≈“可微性”，兩者的差異僅體現(xiàn)在某些孤立的“奇點”處，此處的偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)、而可微性不確定。不過，微分的“鄰域性”無法反映孤立奇點附近的性質(zhì)，即可微性在奇點處不是一個“好”的性質(zhì)。

注：Jacobian的張量記號請參考https://zhuanlan.zhihu.com/p/488260717