時間序列分析的方法有許多，深度學(xué)習中有LSTM算法，機器學(xué)習中有XGBoost算法，這里我們主要討論經(jīng)典的時間序列算法ARIMA算法。

時間序列指的是一系列時刻所對應(yīng)的離散的一組觀測變量x，且這組變量與時間變化呈現(xiàn)較大的關(guān)系即f=x(t)，時序分析就是根據(jù)過往收集到的信息預(yù)測未來的某一時刻的觀測變量值。

一、適用條件

ARIMA模型要求數(shù)據(jù)滿足平穩(wěn)性且非白噪聲。

原因為ARIMA模型的原理可以簡化為，簡單來說可以理解為每一天都沒有什么大變化，那么明天的情況就應(yīng)該是今天的情況在加上一個隨機誤差產(chǎn)生的。因此平穩(wěn)性就是要求每一天的變化與前一天的變化基本成線性關(guān)系，不能是平方或?qū)?shù)等更為復(fù)雜的關(guān)系；白噪聲就是再要求每天的數(shù)據(jù)與之間的數(shù)據(jù)有關(guān)，并非單純隨機的一個結(jié)果。

二、平穩(wěn)性要求

時間序列的平穩(wěn)性分為嚴平穩(wěn)和弱平穩(wěn)：

嚴平穩(wěn)：對于一切時間間隔k和時間點均存在與的分布均相同，則稱嚴平穩(wěn)。簡單地可以理解為，在每一個時刻與之前任意時刻的檢測值均相差一個固定值。

弱平穩(wěn)：滿足均值函數(shù)在所有時間上為常數(shù)（或變化不大）；任意兩點的相關(guān)系數(shù)只與間隔有關(guān)與起始點無關(guān)，不嚴謹?shù)乜梢岳斫鉃?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=X(t%2Bk)-X(t)%3Df(k)" alt="X(t%2Bk)-X(t)%3Df(k)">而且這個差值與初始值x(t)無關(guān)。

一般地，由于嚴平穩(wěn)的數(shù)據(jù)都很難得到，所以數(shù)據(jù)得到弱平穩(wěn)或處理后得到弱平穩(wěn)就可以適用ARIMA算法了。

三、平穩(wěn)性檢驗

數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗一般采用ADF算法（當然也可以憑肉眼直接看 (^?^)），也叫作單位根檢驗。其全稱叫作Augmented Dickey-Fuller test即 增廣?Dickey-Fuller檢驗。

1、原理

假設(shè)一個時序分析的回歸模型結(jié)果為，前面我們說在弱平穩(wěn)狀態(tài)下我們希望每個時間的測量值均與初始值X(t)無關(guān)，可以發(fā)現(xiàn)當β=1時，每一個時間的值均與其之前的值有關(guān)，因此數(shù)據(jù)不平穩(wěn)，只有當β<1時才能將前述的影響主鍵削平，數(shù)據(jù)平穩(wěn)。

2、實現(xiàn)

ADF檢驗也是依賴于假設(shè)檢驗進行實現(xiàn)的（原假設(shè)H0：原序列中至少存在一個單方根），由于算法成熟很多平臺都有直接的包可以調(diào)用，這里以Python為例：

返回的結(jié)果為(adf,pvalue,usedlag,nobs,icbest,resstore)

adf: t檢驗的檢驗統(tǒng)計量

pvalue:置信區(qū)間

usedlag:使用的滯后數(shù)

nobs:使用的觀測值數(shù)目

icbest:完整的假設(shè)回歸值

resstore:結(jié)果的dummy

舉例：

(-15.436,2.906e-28,0,198,{'5%':-2.876,'1%':-3.464,'10%':-2.575},1165.155)

顯然-15.436<5%的拒絕域-2.876，且p值也很小因此要拒絕原假設(shè)，該序列平穩(wěn)。

四、數(shù)據(jù)穩(wěn)態(tài)化

當數(shù)據(jù)為非穩(wěn)定的序列，可以通過差分的方式將序列穩(wěn)定化（順帶提一句ARIMA中的I就代表差分，一般差分的階數(shù)用d表示），差分即為由t時刻的值減去t-1時刻的值，此時獲得的新序列就是原序列的一階差分；此序列再進行一次差分運算獲得的新序列就是原序列的二階差分，以此類推經(jīng)過d次差分后序列平穩(wěn)就是d階差分。

一般地，d=1進行一次差分即可，每進行一次差分原序列都會損失一定的數(shù)據(jù)。

五、自相關(guān)系數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)系（PACF）

1、概念

自相關(guān)系數(shù)：前k時間間隔的值X(t-k)對現(xiàn)在時刻X(t)產(chǎn)生的影響，即比較X(t-k)與X(t)的相關(guān)程度。公式為：

如果時序分析是p階的自相關(guān)的，即當前的X(t)受到前p個值影響，這樣的模型成為AR(p)：

偏自相關(guān)系數(shù)：前k時間間隔的值X(t-k)對現(xiàn)在時刻X(t)產(chǎn)生的影響，但要去除X(t)與X(t-k)之間的X(t-1)至X(t-k+1)的k個數(shù)的影響。公式為：

由于X(t)不僅僅只對X(t-k)產(chǎn)生影響，也會對X(t+1)等產(chǎn)生影響，自相關(guān)系數(shù)相當于把這些影響因素累加了，而偏相關(guān)系數(shù)是排出了累加的影響，直接判斷二者之間的相關(guān)程度。

[注：雖然我們希望序列是平穩(wěn)的，即X(t)不產(chǎn)生影響，但實際上很難，平穩(wěn)只是希望這樣的影響程度很弱即可]

如果時序分析受到前q階偏相關(guān)影響，即X(t)與前q個值的移動平均有關(guān)，這樣的模型稱為MA(q)：

如果時序分析即收到自相關(guān)影響，又收到偏相關(guān)影響，只需要綜合二者即可，模型為ARMA(p,q):

2、繪圖定階

根據(jù)上述的分析，我們看到確定時序分析需要確定p和q的值，這里我們可以通過繪制acf圖和pacf圖來進行（即繪制X(t)與之前k個點的相關(guān)系數(shù)值），在python中有成熟的方法可以直接調(diào)用：

圖像結(jié)果的判斷如圖：

拖尾：單調(diào)遞減或者震蕩衰減

截尾：在某一階后突然衰減到0附近

舉例，上圖為ACF圖，下圖為PACF圖：

在這張圖中ACF拖尾，PACF1階截尾，應(yīng)當選用MA(1)或者說ARMA(0,1)

3、AIC和BIC準則

上述的判斷過程具有主觀偏向性，客觀來說可以使用AIC和BIC準則對參數(shù)選取進行判斷。在已知回歸方程的基礎(chǔ)上判斷參數(shù)選擇的優(yōu)良性并盡量減少過擬合。當AIC和BIC計算結(jié)果最小時，結(jié)果更優(yōu)。

式中k為模型復(fù)雜度（參數(shù)數(shù)量），L為似然函數(shù)，n為樣本數(shù)量，BIC適合于樣本數(shù)量較多的數(shù)據(jù)。

在python中的調(diào)用如下：

結(jié)果將返回AIC和BIC推薦的p、q值。

六、白噪聲檢驗

1、自相關(guān)圖（ACF）

白噪聲檢驗應(yīng)當在平穩(wěn)性檢驗之后就進行，但如果不做直接進行時序分析問題也不大(*′ー`)，白噪聲是指序列完全隨機，進行分析的意義不大，根據(jù)定義我們可以看到此時ACF的圖就會呈現(xiàn)出“0階截尾”即只有自己與自己相關(guān)其他都無關(guān)的狀態(tài)。（換句話說不做白噪聲檢驗，進行到這里會發(fā)現(xiàn)自己之前的分析都白費了罷了 ?? ????? ）

2、Ljung-Box檢驗

總體思路與ACF圖十分相近，我們知道當一個序列為白噪聲時，其延遲任意間隔的自相關(guān)系數(shù)相等且均等于0，因此我們可以構(gòu)造一個假設(shè)檢驗，原假設(shè)H0為所有自相關(guān)系數(shù)相等且等于0。python代碼如下：

式中x為測試序列，lags為測試最大的延遲間隔，boxpierce為是否返回boxpierce測試的值，該測試方法時lb測試的前身，lb測試優(yōu)化了對于小樣本的改進，return_df表示是否返回dataframe還是返回tuple.

結(jié)果返回為(lbstart,lb_pvalue,bp_start,bp_pvalue)分別為lb的檢驗值，p值，bp測試的檢驗值，p值。如果所有的p值始終大于5%，則可以說明為白噪聲，否則就為非白噪聲。