歐幾里得109、第一次數(shù)學(xué)危機簡介，畢達(dá)哥拉斯悖論

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2016.12.19，網(wǎng)友“大穎（yǐng）子”發(fā)表名為《第一次數(shù)學(xué)危機簡介》的文章。

…穎：形聲字，最早見于《說文（說文解字）》小篆（zhuàn）。形構(gòu)從禾、頃聲。從禾，表示與稻禾相關(guān)；頃聲，表示音讀。其本義是禾穗（suì）的尖端。長在植物尖端的一般都是嫩芽，所以“穎”引申指草木的嫩芽。引申泛指物體的尖端。

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字義：1.稻、麥等禾谷子實帶芒的外殼。

2.錐子桿兒前端固定針的金屬環(huán)。也指某些小而細(xì)長東西的尖端：脫～而出。

3.聰明：～悟…

[…形聲：一種造字法…是說字由“形”和“聲”兩部分合成，形旁和全字的意義有關(guān)，聲旁和全字的讀音有關(guān)。如由形旁“氵（水）”和聲旁“工、可”分別合成“江、河”…

…形聲字：用形聲造字法造出來的字…]

文章內(nèi)容：

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公元前六世紀(jì)，在古希臘學(xué)術(shù)界占統(tǒng)治地位的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，其思想在當(dāng)時被認(rèn)為是絕對權(quán)威的真理。

…真、理、真理：見《歐幾里得43》…

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畢達(dá)哥拉斯學(xué)派倡導(dǎo)的是一種被稱為“唯數(shù)論”的觀點，他們認(rèn)為宇宙的本質(zhì)就是數(shù)的和諧。

…本、質(zhì)、本質(zhì)：見《歐幾里得22》…

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他們認(rèn)為萬物皆數(shù)，而數(shù)只有兩種，就是正整數(shù)和可通約的數(shù)（即分?jǐn)?shù)——兩個整數(shù)的比），除此之外不再有別的數(shù)，即是說世界上只有整數(shù)或分?jǐn)?shù)。

…通約：通分，約分，簡稱“通約”…見《歐幾里得107》…

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畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在數(shù)學(xué)上的一項重大貢獻(xiàn)是證明了畢達(dá)哥拉斯定理，也就是我們所說的勾股定理。

勾股定理指出直角三角形三邊應(yīng)有如下關(guān)系：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

然而不久畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一個學(xué)生希帕索斯發(fā)現(xiàn)了問題。

…希帕索斯：見《歐幾里得17》…

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他發(fā)現(xiàn)邊長相等的正方形其對角線長不能用整數(shù)或整數(shù)之比（分?jǐn)?shù)）表示。

假設(shè)正方形邊長為1。設(shè)其對角線長為d，依勾股定理有d2=12+12=2（d的平方=1的平方+1的平方=2），即d2=2（d的平方=2），那么d是多少呢？

顯然d不是整數(shù)，那它必是兩整數(shù)之比。

希帕索斯花了很多時間來尋找這兩個整數(shù)之比，結(jié)果沒找著，反而找到了兩數(shù)不可通約的證明。

…不可通約：不能通分，約分…

“通分需分子分母同時乘一個數(shù)，約分需分子分母同時除一個數(shù)…”一位愛學(xué)習(xí)的女生說。

“什么數(shù)不能通分約分？不能化成分?jǐn)?shù)的數(shù)不能通分約分?！迸又f。

邊長為1的正方形，對角線長為d。d如果是兩整數(shù)之比，則兩整數(shù)不可通約。

用反證法證明如下：設(shè)直角△ABC兩直角邊為a=b，斜邊為c，依勾股定理有c2=2a2（c的平方=2×a的平方）。

…反、證、法、反證法：見《歐幾里得72》…

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∵?a和c可通約

∴?設(shè)已將a和c中的公約數(shù)約去，即a、c是互質(zhì)的整數(shù)

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∵?c2=2a2（c的平方=2×a的平方）

∴?c為偶數(shù)，a為奇數(shù)

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不妨令c=2m，則有：（2m）2=2a2[（2m）的平方=2×a的平方]

（2m）2=2a2化簡一下得2×m2=a2（2×m的平方=a的平方），于是a為偶數(shù)。

這與前提a為奇數(shù)矛盾。

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這一發(fā)現(xiàn)歷史上稱為畢達(dá)哥拉斯悖（bèi）論。

…悖、論、悖論：見《歐幾里得27》…

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“順便說一下證明上述對角線長度是無理數(shù)的方法：”中學(xué)生說。

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證明上述對角線長度是無理數(shù)的方法：

∵?“a既是奇數(shù)、又不是奇數(shù)”不符合數(shù)學(xué)事實

∴?“a既是奇數(shù)、又不是奇數(shù)”為假

…事、實、事實：見《歐幾里得6、7》…

…∵：數(shù)學(xué)符號“因為”…見《歐幾里得77》…

…∴：數(shù)學(xué)符號“所以”…見《歐幾里得77》…

…假：不符合事實…見《歐幾里得75》…

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“a和c可通約”能推導(dǎo)出“a既是奇數(shù)、又不是奇數(shù)”的推論。

…推、導(dǎo)、推導(dǎo)：見《歐幾里得7》…

…論、推論：見《歐幾里得66》…

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∵?推導(dǎo)方法正確，推論假，推導(dǎo)出推論的命題必為假（邏輯關(guān)系）

∴?“a和c可通約”為假

…命、題、命題：見《歐幾里得70》…

…邏、輯、邏輯：見《歐幾里得5》…

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∵?兩個互相矛盾的命題，不可能同時為真，必有一假（矛盾律）

…矛盾律：見《歐幾里得73》…

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∴?“a和c可通約”“a和c不可通約”必有一假

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∵?兩個互相矛盾的命題，不可能同時為假，必有一真（排中律）

…排中律：見《歐幾里得72~74》…

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∴?“a和c可通約”為假時，“a和c不可通約”為真

∴?a和c不可通約

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“畢達(dá)哥拉斯悖（bèi）論的出現(xiàn)，對畢達(dá)哥拉斯學(xué)派產(chǎn)生了沉重的打擊，“數(shù)即萬物”的世界觀被極大的動搖了，有理數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)，因此也影響到了整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，使數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了極度的思想混亂，歷史上稱之為第一次數(shù)學(xué)危機。

請看下集《歐幾里得110、世、界、世界，觀，世界觀，哲、學(xué)、哲學(xué)》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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