冪級(jí)數(shù)展開||數(shù)理方法

2021-01-23 16:01 作者:湮滅的末影狐 0人讀過 | 我要投稿

//仍然是以一個(gè)物理新手的角度，更多關(guān)注概念與應(yīng)用，對(duì)于嚴(yán)格的證明我也無法非常準(zhǔn)確描述，所以還是盡量做到嚴(yán)謹(jǐn)。

//開始吧

3.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

設(shè)有復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)

$%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20w_k%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20u_k%2B%5Cmathrm%20i%20%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20v_k%5C%3B(u_k%2Cv_k%20%5Cin%20%5Cmathbb%20R)$

其收斂性的問題可以歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性問題。類比高數(shù)中相關(guān)理論，有柯西收斂判據(jù)：這一級(jí)數(shù)收斂的充要條件是 $%5Cforall%5Cepsilon%3E0%2C%20p%20%5Cin%20%5Cmathbb%20N%5E%2B%2C%20%5Cexists%20N%3E0$ ，使得

$n%3EN%20%5CRightarrow%20%5Cleft%7C%5Csum_%7Bk%3D%20n%7D%5E%7Bn%2Bp%7Dw_k%5Cright%7C%3C%5Cepsilon$

而如果級(jí)數(shù)

$%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20%7Cw_k%7C$

收斂，則稱前面的復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。絕對(duì)收斂則必收斂。

接下來討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：

$%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20w_k(z)%3Dw_0(z)%2Bw_1(z)%2B...%2Bw_k(z)%2B...$

若在區(qū)域 $B$ (或曲線 $l$ )上每一點(diǎn)該級(jí)數(shù)都收斂，則該函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。如果對(duì)每一點(diǎn)運(yùn)用前述柯西收斂判據(jù)，存在與該點(diǎn)無關(guān)的 $N$ 滿足判據(jù)，則稱為一致收斂。

雖然自從我見到一致收斂這個(gè)概念以來從來就不知道它有什么數(shù)學(xué)以外的用途，但是按照這個(gè)定義我覺得它的意思大概是對(duì)這個(gè)區(qū)域的所有點(diǎn)，級(jí)數(shù)收斂速度是"一致"的。

和一致收斂的相關(guān)性質(zhì)，這里直接放教材截圖↓

3.2 冪級(jí)數(shù)

冪級(jí)數(shù)形如下式，各項(xiàng)都是冪函數(shù)：

$%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20a_k(z-z_0)%5Ek%20%5C%3B(*)$

另考慮將(*)各項(xiàng)取模得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)：

$%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20%7Ca_k%7C%7Cz-z_0%7C%5Ek%20%5C%3B(%5C%23)$

運(yùn)用比值判別法，如果級(jí)數(shù)(#)滿足極限 $%5Clim%20_%7Bk%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%5Cleft%7C%5Cfrac%7Ba_%7Bk%7D%7D%7Ba_%7Bk%2B1%7D%7D%5Cright%7C$ 存在，且

$%5Clim%20_%7Bk%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Cleft%7Ca_%7Bk%2B1%7D%5Cright%7C%5Cleft%7Cz-z_%7B0%7D%5Cright%7C%5E%7Bk%2B1%7D%7D%7B%5Cleft%7Ca_%7Bk%7D%5Cright%7C%5Cleft%7Cz-z_%7B0%7D%5Cright%7C%5E%7Bk%7D%7D%3D%5Clim%20_%7Bk%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%5Cleft%7C%5Cfrac%7Ba_%7Bk%2B1%7D%7D%7Ba_%7Bk%7D%7D%5Cright%7C%5Cleft%7Cz-z_%7B0%7D%5Cright%7C%3C1$

則級(jí)數(shù)(#)收斂，(*)絕對(duì)收斂。如果定義

$R%3D%5Clim%20_%7Bk%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%5Cleft%7C%5Cfrac%7Ba_%7Bk%7D%7D%7Ba_%7Bk%2B1%7D%7D%5Cright%7C$

則可以考慮一些幾種情況：

$%7Cz-z_0%7C%3CR$ ，則(*)絕對(duì)收斂；

$%7Cz-z_0%7C%3ER$ ，則(*)發(fā)散；

如果取等，需要根據(jù)實(shí)際情況分析，可能收斂，可能發(fā)散。

稱復(fù)平面上 $z_0$ 為圓心， $R$ 為半徑的圓為冪級(jí)數(shù)的收斂圓， $R$ 為收斂半徑。

如果應(yīng)用根值判別法，則

$R%3D%5Clim%20_%7Bk%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%5Cfrac1%7B%5Csqrt%5Bk%5D%7B%7Ca_k%7C%7D%7D$

也是收斂半徑的等價(jià)表達(dá)式。

關(guān)于這一節(jié)，我有一點(diǎn)想法...

① 如果極限 $%5Clim%20_%7Bk%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%5Cleft%7Ca_k%2Fa_%7Bk%2B1%7D%5Cright%7C$ 存在，就可以用以上方法求得收斂半徑；如果這個(gè)極限不存在，收斂與否又如何判斷？

② 如果真的 $%7Cz-z_0%7C%3DR$ ，說明相當(dāng)遠(yuǎn)處級(jí)數(shù)各項(xiàng)模長趨于相等...那么如果在滿足前面極限的條件下，各項(xiàng)的輻角可以任意取，...是不是有點(diǎn)像隨機(jī)游走？(新手的胡思亂想)

接下來的這一段讓我感到有一點(diǎn)迷惑...

看上去是借助柯西公式繞了一圈，證明了冪級(jí)數(shù)的和在收斂圓內(nèi)是解析函數(shù)？暫時(shí)沒看懂為什么要這么做，但愿期末不會(huì)考這種東西...

3.3 泰勒級(jí)數(shù)

設(shè) $f(z)$ 在 $z_0$ 為圓心的圓 $C_R$ 內(nèi)解析，則對(duì)于圓內(nèi)任意z點(diǎn)可展開為冪級(jí)數(shù)：

$f(z)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20a_k(z-z_0)%5Ek%20$

其中

$a_k%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%20%5Cmathrm%20i%7D%5Coint_%7BC_%7BR_1%7D%7D%5Cfrac%7Bf(%5Czeta)%7D%7B(%5Czeta-z_0)%5E%7Bk%2B1%7D%7D%5Cmathrm%20d%20%5Czeta%20%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7B(k)%7D(z_0)%7D%7Bk!%7D$

也就是說，其實(shí)復(fù)變函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)形式和實(shí)變函數(shù)是一樣的。

$f(z)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(k)%7D%5Cleft(z_%7B0%7D%5Cright)%7D%7Bk%20!%7D%5Cleft(z-z_%7B0%7D%5Cright)%5E%7Bk%7D%20%5Cquad%5Cleft(%5Cleft%7Cz-z_%7B0%7D%5Cright%7C%3CR%5Cright)$

稱為函數(shù)的泰勒展開，泰勒展開是唯一的。

3.4 解析延拓

考慮冪級(jí)數(shù)：

$w%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20z%5Ek%3D%5Cfrac1%7B1-z%7D%5C%3B(%7Cz%7C%3C1)$

該級(jí)數(shù)只在單位圓內(nèi)部收斂。但 $f(z)%3D1%2F(1-z)$ 是除孤立奇點(diǎn) $z%3D1$ 外全平面的解析函數(shù)。此時(shí)稱 $f(z)$ 為 $w(z)$ 的解析延拓。

解析延拓是唯一的。

3.5 洛朗級(jí)數(shù)

洛朗級(jí)數(shù)主要用來處理在某個(gè)圓環(huán)解析，但在小圓內(nèi)部存在奇點(diǎn)的函數(shù)?？紤]雙邊冪級(jí)數(shù)：

$%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_k(z-z_0)%5Ek%5C%5C%3D...%2Ba_%7B-2%7D(z-z_0)%5E%7B-2%7D%2Ba_%7B-1%7D(z-z_0)%5E%7B-1%7D%2Ba_0%2Ba_1(z-z_0)%2Ba_%7B2%7D(z-z_0)%5E%7B2%7D%2B...$

正冪部分(右半部分)有收斂半徑

$R_1%3D%5Clim%20_%7Bk%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%5Cleft%7C%5Cfrac%7Ba_%7Bk%7D%7D%7Ba_%7Bk%2B1%7D%7D%5Cright%7C$

類似地，左半部分有

$R_2%3D%5Clim_%7Bk%5Crightarrow-%5Cinfty%7D%20%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7Ba_k%7D%7Ba_%7Bk%2B1%7D%7D%20%5Cright%7C$

只有 $%7Cz-z_0%7C%3ER_2$ 才使左半部分收斂。所以當(dāng) $R_1%3ER_2$ 時(shí)，該級(jí)數(shù)在以 $z_0$ 為圓心的圓環(huán)域內(nèi)絕對(duì)且一致收斂。

若 $f(z)$ 在前述圓環(huán)域解析，則可以展開為洛朗級(jí)數(shù)：

$f(z)%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20a_k(z-z_0)%5Ek%20$

其中，

$a_k%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%20%5Cmathrm%20i%7D%5Coint_%7Bl%7D%5Cfrac%7Bf(%5Czeta)%7D%7B(%5Czeta-z_0)%5E%7Bk%2B1%7D%7D%5Cmathrm%20d%20%5Czeta$

積分路徑是任意逆時(shí)針繞環(huán)域一圈的回路。

與泰勒級(jí)數(shù)的對(duì)比：洛朗級(jí)數(shù)多出了負(fù)冪項(xiàng)。而二者正冪項(xiàng)系數(shù)寫成回路積分的形式是相同的，但泰勒級(jí)數(shù)還可以寫成 $a_k%20%3Df%5E%7B(k)%7D(z_0)%2Fk!$ ，洛朗級(jí)數(shù)不能，因?yàn)橹挥挟?dāng)圓環(huán)的小圓內(nèi)部有奇點(diǎn)時(shí)我們才會(huì)使用洛朗級(jí)數(shù)，否則洛朗級(jí)數(shù)和泰勒級(jí)數(shù)將完全一樣。

3.6 孤立奇點(diǎn)的分類

前面多次提到奇點(diǎn)，這是指復(fù)變函數(shù)在這一點(diǎn)不可導(dǎo)。而孤立奇點(diǎn)指函數(shù)在這一點(diǎn)不可導(dǎo)，在該點(diǎn)某去心鄰域處處可導(dǎo)。

顯然，函數(shù)可以在孤立奇點(diǎn)附近展開成洛朗級(jí)數(shù)。

$f(z)%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20a_k(z-z_0)%5Ek%20$

根據(jù)展開結(jié)果，我們可以分以下幾類：

① 可去奇點(diǎn)： $%5Cforall%20k%3C0%2C%5C%3Ba_k%20%3D0$ .

此時(shí)有 $%5Clim_%7Bz%20%5Crightarrow%20z_0%7Df(z)%3Da_0$ ，函數(shù)僅在這一點(diǎn)無定義，如果將函數(shù)在這一點(diǎn)定義為 $a_0$ ，則函數(shù)將在這一點(diǎn)解析，所以稱為“可去”。可去奇點(diǎn)今后不作為奇點(diǎn)看待。

例如， $z%3D0$ 是 $%5Cfrac%7B%5Csin%20z%7D%7Bz%7D%5C%3B%5Cleft(%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7B(-1)%5Ekx%5E%7B2k%7D%7D%7B(2k%2B1)!%7D%5Cright)$ 的可去奇點(diǎn)。