【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過(guò)這套叢書卻很適合像我這樣已接受過(guò)基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語(yǔ)】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教中學(xué)甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開(kāi)課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開(kāi)課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。

第六章比和比例?

§6-8成反比例的量

【01】在算術(shù)里，我們也學(xué)習(xí)過(guò)成反比例的量?，F(xiàn)在來(lái)復(fù)習(xí)一下。

【02】成反比例的量：兩種相關(guān)聯(lián)的量，在其他條件不變時(shí)，如果其中的一種量擴(kuò)大幾倍，另一種量反而縮小相同的倍數(shù)，一種量縮小幾倍，另一種量反而擴(kuò)大相同的倍數(shù)，那么這兩種量就叫做成反比例，它們之間的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。

例1.為從甲地到乙地，一車以平均速度每小時(shí) 12 公里行駛，4 小時(shí)到達(dá)。如果第二車以平均速度每小時(shí) 24 公里行駛，要幾小時(shí)到達(dá)？如果第三車要在1小時(shí)內(nèi)到達(dá)，平均速度應(yīng)該多少？

【解】這里有兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種是速度，另一種是時(shí)間。這里有一個(gè)不變的條件，就是甲地到乙地的距離。我們現(xiàn)在把三輛車子的兩種量的數(shù)值，列表如下（要求的未知量，分別用字母 x 與 y 來(lái)表示）：

????????同一車的兩種量的數(shù)值，叫做一組對(duì)應(yīng)的值，如 12 和 4，24 和 x， y 和 1，都是對(duì)應(yīng)值。
????????我們知道，如果距離不變，那么速度和時(shí)間這兩種量是成反比例的量，即第一種量擴(kuò)大或縮小幾倍，第二種量反而縮小或擴(kuò)大同樣的倍數(shù)。
????????(1) 拿速度來(lái)說(shuō)，第二車對(duì)第一車擴(kuò)大的倍數(shù)是 24:12? 。拿時(shí)間來(lái)說(shuō)，第二車對(duì)第一車縮小的倍數(shù)是 4:x? 。 因?yàn)楸稊?shù)相等，得比例?24:12＝4:x? 。
????????解比例，?24x＝12×4，x＝12×4÷24＝2? 。
答： 第二車 2 小時(shí)可到。
????????(2) 拿速度來(lái)說(shuō)，第三車對(duì)第一車擴(kuò)大的倍數(shù)是 y:12? 。拿時(shí)間來(lái)說(shuō)，第三車對(duì)第一車縮小的倍數(shù)是 4:1? 。因?yàn)楸稊?shù)相等，得比例?y:12＝4:1? 。
????????解比例，?y＝12×4，y=48? 。
答： 第三車的速度應(yīng)該是每小時(shí) 48 公里。
【注意】在判定成反比例的量時(shí)，必須注意兩點(diǎn)：
????????(1) 其他條件不變。如這里的路程相同。
????????(2)?倍數(shù)相同。如果只知道一種量擴(kuò)大時(shí)另一種量縮小，而倍數(shù)不同，那末這兩種量就不能說(shuō)是成反比例的量。
【03】因?yàn)閮蓚€(gè)同類的量的倍數(shù)就是它們的比，所以我們對(duì)成反比例的量，也可以作這樣的敘述：

【04】兩種相關(guān)聯(lián)的量，在其他條件不變的時(shí)候，如果一種量的任意兩個(gè)數(shù)值的比總等于另一種量的兩個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)值的比的反比，那么這兩種量就叫做成反比例的量。

【05】如果我們把一種量的一些數(shù)值用字母 a?，a?，a?，…來(lái)表示，把另一種量的對(duì)應(yīng)的數(shù)值用字母?b?，b?，b?，…來(lái)表示，如下表：

【06】那么如果這兩種量成反比例關(guān)系，就有比例：a?:a?＝b?:b?，a?:a?＝b?:b?，…。

【07】現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)看這些量里有負(fù)值時(shí)的情況。

例2.在東西向的公路上，甲車站在乙車站的東面。有四車在正午同時(shí)經(jīng)過(guò)乙站。第一車以平均速度每小時(shí) 12 公里向東 3 小時(shí)后到達(dá)甲站。如第二車以平均速度每小時(shí) 24 公里向東，什么時(shí)候到達(dá)甲站？如第三車以平均速度每小時(shí) 18 公里向西，什么時(shí)候經(jīng)過(guò)甲站？如第四車在 1 小時(shí)前經(jīng)過(guò)甲站，它的速度和方向怎樣？

【解】我們把向東方向作為正方向，那末速度向東是正的，向西是負(fù)的，時(shí)間方面，拿以后幾小時(shí)作為正，拿以前幾小時(shí)作為負(fù).把這四車的速度和時(shí)間，列表如下（未知的量分別用字母 x，y，z 表示）：

????????我們知道，甲乙兩站的距離不變，速度和時(shí)間這兩種量是成反比例的量，即一種量的兩個(gè)數(shù)值的比與另一種量的對(duì)應(yīng)值的比的反比相等。得比例：(1) 12:24＝x:3，(2) 12:(－18)＝y(tǒng):3，(3) 12:8＝(－1):3? 。

????????解這些比例

????????(1) 24x＝3×12，x＝3×12÷24＝?；

????????(2)－18y＝3×12，y＝3×12÷(－18)＝－2；

????????(3)－1z＝3×12，z＝3×12÷(－1)＝－36? 。

答：第一車在12小時(shí)后到達(dá)甲站，第三車在2小時(shí)前過(guò)甲站，第四車的速度是平均每小時(shí)36公里向西。

習(xí)題6-8

1、某建筑工地原采用 4 輛汽車運(yùn)土，每天運(yùn) 56 立方米，如果要每天運(yùn) 98 立方米，要用同樣的汽車幾輛？

2、某生產(chǎn)隊(duì)要收割 750 畝小麥，3 天收割了 450 畝，照這樣的速度，其余的還要幾天可以收割完？

3、一本文藝書，平均每天讀 20 頁(yè)，15 天讀完，如果每天平均讀 12 頁(yè)，幾天可以讀完？

4、一列火車 3 小時(shí)行路 150 公里。有一段路程，這列火車行了 4 小時(shí)，假定速度不變，這段路程有多少公里？

5、一列火車每小時(shí)平均行 50 公里，有一段路程，火車行駛 36 分鐘。如果另一列火車在這段路上行了 40 分鐘，第二列火車的平均速度每小時(shí)多少公里？

6、一列火車在 a 小時(shí)內(nèi)行路 b 公里，如果這列火車速度不變，在 c 小時(shí)內(nèi)行路多少公里？（答數(shù)用 a,b,c 的代數(shù)式來(lái)表示）

7、如果汽車從甲地到乙地以每小時(shí) a 公里的速度行駛 b 小時(shí)，回來(lái)時(shí)要在 c 小時(shí)內(nèi)趕回，需用怎樣的速度？

8、汽車從甲地到乙地以每小時(shí) a 公里的速度行駛 b 小時(shí)，回來(lái)時(shí)速度較去時(shí)增加 20%，回來(lái)時(shí)共需多少時(shí)間？

9、下面表內(nèi)是兩個(gè)量的一些對(duì)應(yīng)的數(shù)值，根據(jù)這些數(shù)值來(lái)判斷，它們是不是成正比例：

10、下面表內(nèi)列出了兩個(gè)量的一些對(duì)應(yīng)的數(shù)值，根據(jù)這些數(shù)值來(lái)判斷，它們是不是成反比例：

11、a 和 b 是兩種成正比例的量，求下表中未知量的值：

12、a 和 b 是兩種成反比例的量，求下表中未知量的值：

13、x 和 y 是兩種成正比例的量，求下表中的未知量：

14、x?和?y?是兩種成反比例的量，求下表中的未知量：

【答案】