20｜幾何學(xué)：為什么是數(shù)學(xué)中最古老的分支？ - 得到APP (dedao.cn)

引：從幾何早期的發(fā)展史，反映出人類認(rèn)知進(jìn)步過程【幾何學(xué)史】

第一階段是從懵懂的感性認(rèn)識上升到量化的感性認(rèn)識的過程。

幾何最初源于對土地的丈量（geometry），現(xiàn)在文明的標(biāo)志是城市，早期人類文明的標(biāo)志則是農(nóng)業(yè)，而無論是農(nóng)耕還是建筑，都離不開土地丈量、基本圖形尺寸的測量和計算。

為了更好的從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，古埃人要計算河水在一年不同時間的邊界，而在沒有準(zhǔn)確的計時工具之前，這是個困難的數(shù)學(xué)問題，當(dāng)時的人們只能通過觀測星象（太陽和天狼星）來確定時間。【時間感】

第二個階段是美索不達(dá)米亞人發(fā)明了角度量化的度量。

平面幾何需要度量的最主要的對象是長度和角度，前者比較直觀容易，后者比較難。美索不達(dá)米亞對幾何學(xué)最大的貢獻(xiàn)在于發(fā)明了360度的原則和角度上的60進(jìn)位來量化角度。

這是起源與早期的天文學(xué)，因為天上的星空的位置，對應(yīng)著地球上特定的時間，而這個時間又與植物和動物的生長繁衍階段有關(guān)，因此古人就把天上的星星和地上的事情聯(lián)系起來了。【占星術(shù)】

而由于一年可以劃分為12份，一月又大概為30天，所以一年分為了12x30=360份，并把這個劃分方法用在了角度的量化上，為了簡便，他們選用了它的1/6，60為進(jìn)位單位就這樣產(chǎn)生了。

第三個階段就是用書記錄他們所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。這樣知識就便于傳播。

今天存世最早的幾何書是古埃及的《萊茵德紙草書》（BC1650），而代數(shù)學(xué)的出現(xiàn)則要到1000年后的古希臘了。在美索不達(dá)米亞出土的泥板上，也記錄了很多幾何學(xué)知識。

這些幾何學(xué)知識隨后傳到了古希臘，到了公元前4世紀(jì)—公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得等人完成了對幾何學(xué)公理化體系的構(gòu)建，并且寫成了《幾何原本》一書。

總結(jié)：個人在學(xué)習(xí)研究時，也應(yīng)該學(xué)會這個認(rèn)識過程，從具體到抽象，從簡單事實，到完整理論。我們?nèi)送ǔＨ钡氖堑诙?，對新的事物不知道如何定義度量單位，而沒有這一步，總結(jié)出來的知識就難以準(zhǔn)確描述，只能大概定量描述。

為什么是古希臘人，而不是更早的古巴比倫人完成了幾何學(xué)理論的構(gòu)建呢？【古希臘】

一般認(rèn)為，希臘人對物質(zhì)生活要求很低，把大部分時間用于了理性的思考和辯論，這讓他們能夠從知識點中抽象出概念，然后形成體系。

另外，古希臘沒有強權(quán)的政治，這讓學(xué)者可以仁者見仁，智者見智，這才有利于科學(xué)的發(fā)展。這兩點也給了我們一些啟發(fā)。

21｜公理體系：幾何的系統(tǒng)理論從何而來？ - 得到APP (dedao.cn)

知識體系化的重要意義【知識體系】

清朝末年，中國當(dāng)時的數(shù)學(xué)家們估算圓周率還比不上1000多年前的祖沖之，類似的，同時期阿拉伯學(xué)者的水平，也未必能超過他們1000年前的祖先花拉子密。

其實類似的情況舉不勝舉，古代東方文明經(jīng)常是后人不如前人，很多研究都得一遍遍從頭再來，這導(dǎo)致了科學(xué)研究在上千年的時間里原地踏步。

而西方的科學(xué)之所以能積累起來，是因為古希臘人這種建立在公理和邏輯基礎(chǔ)之上的學(xué)科體系，后人可以不斷在前人基礎(chǔ)上進(jìn)步，并且能事半功倍，《幾何原本》就是典型的例子。

事實上，現(xiàn)代的很多學(xué)科，包括人文學(xué)科，都受益于這種公理化體系的特點。

知識體系化的完美范例：《幾何原本》

幾何學(xué)大廈的地基：五條一般性的公理 + 五條幾何學(xué)公理

一般性的公理

如果a=b, b=c, 那么a=c；

如果a=b，c=d，那么a+c=b+d;

如果a=b，c=d，那么a-c=b-d;

彼此能重合的物體（圖形）是全等的;

整體大于部分。

幾何學(xué)公理

由任意一點到另外任意一點可以畫直線（也稱為直線公理）；

一條有限直線可以繼續(xù)延長；

以任意點為心，以任意的距離（半徑）可以畫圓（圓公理）；

凡直角都彼此相等（垂直公理）；

過直線外的一個點，可以做一條，而且僅可以做一條該直線的平行線（平行公理）。至于平行線，就是平面上永不相交的兩條線

有了五條基本公理和五條幾何公理，歐幾里得又定義了一些基本的幾何學(xué)概念，比如點、線、夾角等等，在這些基礎(chǔ)之上，他把當(dāng)時所知的所有幾何學(xué)知識都裝進(jìn)了一個極為嚴(yán)密的知識體系。

公理化幾何學(xué)的構(gòu)建過程：

首先，遇到一個具體問題，要作相應(yīng)的定義，比如什么是夾角；

其次，從定義和公理出發(fā)，得到相關(guān)的定理；

然后，再定義更多的概念，用公理和定理推導(dǎo)出更多的定理；

具體案例：

該筆記已整合入個人知識體系，詳見： [筆記1](http://wangc.site/cbrain/share?nodeid=c57c99c26f450e21)