提前聲明，這個(gè)投稿幾乎沒(méi)有價(jià)值，因?yàn)檎嬗龅搅寺闊┑拈_(kāi)方，你一定會(huì)用計(jì)算器而不是手算，也就是說(shuō)，事實(shí)上我這個(gè)投稿沒(méi)什么大的價(jià)值。

平常的時(shí)候，我會(huì)把一些奇怪的想法記下來(lái)，如果是涉及到數(shù)學(xué)/物理的問(wèn)題，有時(shí)候我會(huì)動(dòng)手算算，記下來(lái)，僅供娛樂(lè)而已。（說(shuō)實(shí)話，備考期間，除了備考什么都有意思? ?嘿嘿）

大概有一年多了，一年前看到一個(gè)關(guān)于如何快速開(kāi)平方的視頻，于是我動(dòng)手研究了一下。這份手稿完成之后壓在其他手稿中，直到今天。閑話少說(shuō)，開(kāi)始正題吧。（我還是不會(huì)用高端的符號(hào)插入和公式插入，難受）

本文研究的內(nèi)容是：快速開(kāi)平方的評(píng)價(jià)以及使用范圍。

核心思想是：

當(dāng)x足夠大而Δx相對(duì)足夠小時(shí)，便可忽略不計(jì)，這樣我們的計(jì)算方法就來(lái)了，操作如下：

1. 首先針對(duì)你要開(kāi)方的對(duì)象，比如數(shù)字 N，你需要先找到 []（其中 [x]函數(shù)定義為：向下取整數(shù)），將其記為。

2. 計(jì)算 ，將其記為，那么最終的結(jié)果可記為:

舉個(gè)例子，由計(jì)算器可知=10.39230485，帶入上述式子中得到：

對(duì)比可得，確實(shí)如此，10.4≈10.39......，通過(guò)計(jì)算器計(jì)算，二者誤差為0.074%，很不錯(cuò)的精度。

以上就是開(kāi)方的使用方法。

下面討論開(kāi)方的使用范圍。由于我們假定了，那么在差距不大的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)明顯的誤差。那么問(wèn)題來(lái)了，假定我需要一個(gè)精度，那么上述的快速開(kāi)方法的使用下線在哪里呢？我們現(xiàn)在來(lái)研究研究。

為了方便研究，我們需要事先定義幾個(gè)量。

為開(kāi)方對(duì)象，，，如此便能表示為:。

我們?cè)俣x:，。如此便有

定義一個(gè)精度函數(shù)，其含義為：快速開(kāi)方的約數(shù)與開(kāi)方的精準(zhǔn)的數(shù)之比。顯然，即為相對(duì)誤差。

很好，前置工作已經(jīng)完成，現(xiàn)在我們的問(wèn)題在于：假如我現(xiàn)在需要一個(gè)精度，比如最多1%的誤差，那么對(duì)應(yīng)的或最小為多少？

現(xiàn)在取誤差為1%，即

現(xiàn)在我們需要對(duì)精度函數(shù)進(jìn)行一個(gè)展開(kāi)：

這里需要提一嘴，由于快速開(kāi)方的特性，所以有，各位有興趣的小伙伴可以自己去想想為什么哦。所以對(duì)應(yīng)于誤差1%，我們?nèi)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=D(N)%5Cleq%201.01" alt="D(N)%5Cleq%201.01">（極限條件）。

解得

由于，所以舍去后面一個(gè)答案。

故

而我們也知道，

可得：

然后就得到了：

很顯然，當(dāng)，即左逼近時(shí)，誤差會(huì)到達(dá)最大，也就是說(shuō)，這又是一個(gè)極限情況，令，此時(shí)

解得，取個(gè)整數(shù)吧，還要考慮到是個(gè)平方數(shù)，就取。

也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，我們能保證快速開(kāi)方法的誤差保持在1%內(nèi)。

讓我們來(lái)演算一下吧，

%

%

%

和我們的結(jié)論有點(diǎn)點(diǎn)小出入，但是問(wèn)題不大，就目前來(lái)看在時(shí)，確實(shí)能夠保持1%(左右)內(nèi)的誤差，能用就行要啥自行車??！

好的，問(wèn)題又來(lái)了，0.1%的精度呢？更好的精度呢？我也能解決！

假設(shè)目標(biāo)精度為10^t，其中t=-n, n為大于零的整數(shù)，也就是10^(-n)的誤差。

取到小數(shù)點(diǎn)后n位，wtm直接帶入！(為什么我要繞個(gè)圈子呢？因?yàn)橹笖?shù)符號(hào)后面只能帶一個(gè)符號(hào)，而 -n 不會(huì)把n帶上，就很難受)

解得

極限條件下，令,有

代入中，有

得到：

則在精度10^(-n)，即取小數(shù)點(diǎn)后n位的要求下，

開(kāi)方數(shù),

或者說(shuō)

其中t=-n，n為大于0的整數(shù)。

很好，最重要的工作已經(jīng)完成，現(xiàn)在就是需要代入具體的數(shù)字來(lái)一波演算（懶得算，直接給結(jié)果）。

n=2時(shí)，，取7，和上面的結(jié)論是一致的。

n=3時(shí)，，取22

現(xiàn)在你想要的精度你可以直接得到了，有意思吧

至于開(kāi)立方么，我這寫完平方之后就沒(méi)寫下去了，估計(jì)感覺(jué)煩了就不寫了吧。但是我應(yīng)該可以給出一個(gè)好的“指導(dǎo)”：

是開(kāi)立方的整數(shù)，，則估算值就是

如果是開(kāi)k次方呢？簡(jiǎn)單！

/[^]? ?(還是和上面一樣的問(wèn)題，我搞不來(lái)??！)

在開(kāi)k次方的情況下要求誤差小于（t=-n，n為正整數(shù)）呢？簡(jiǎn)單！

直接取極限條件，令，化簡(jiǎn)可得：

可見(jiàn)，我們得到了一個(gè)一元k次方程，有億點(diǎn)難度......

我的某個(gè)m開(kāi)頭數(shù)學(xué)軟件罷工了，表示算不出來(lái)，那算了，我這里探討一下解的存在性問(wèn)題。

令

導(dǎo)一下，并令導(dǎo)數(shù)為0，解得：。

如果觀察導(dǎo)函數(shù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)這應(yīng)該是個(gè)單調(diào)遞增有零點(diǎn)的函數(shù)，顯然：

由于題設(shè)k為正整數(shù)，所以一定有

又有?以及?，所以得到結(jié)論：至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解。考慮到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到最終結(jié)論：有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解。（當(dāng)然，我這里并不想考慮復(fù)數(shù)解的存在的意義）。這一結(jié)論與前面的推導(dǎo)是一致的。值得注意的是，由于α>1，所以解一定取的是右邊的那個(gè)解。

所以，解是肯定存在的，但是我算不出來(lái)而已。

那我就束手無(wú)策了嗎？

大錯(cuò)特錯(cuò)！我不是還有python嗎?。。?！

編程目的：找到一個(gè)整數(shù)N，使得在使用快速開(kāi)方法后滿足誤差在10^-n以內(nèi)而整數(shù)N-1不滿足。

核心思想：上面提到的算式。

輸入有：開(kāi)方根次k，誤差度n。

以上就是代碼，但是有一個(gè)問(wèn)題：經(jīng)過(guò)試驗(yàn)，當(dāng)你輸入的n和k稍微大一點(diǎn)點(diǎn)的時(shí)候，10000的循環(huán)上線就不夠用了，你要是加大數(shù)量的話，那必然運(yùn)行半年都出不來(lái)。

突然想到，這個(gè)結(jié)果是滿足單調(diào)性的，因?yàn)橹灰獫M足了某一個(gè)值，那么后面的值都會(huì)滿足，那么這個(gè)可以用二分枚舉?。『?！來(lái)！（我不是學(xué)計(jì)算機(jī)，也不是專門學(xué)算法的，如果名字叫錯(cuò)了請(qǐng)見(jiàn)諒）

完成辣！但是有一個(gè)小毛病，我遇到一點(diǎn)bug：開(kāi)二次根號(hào)任意精度都不會(huì)出問(wèn)題，但是只要開(kāi)三次根號(hào)就出問(wèn)題，沒(méi)有輸出，我也不知道是為什么。

我去，從10：30碼字到14：32（中間吃了個(gè)飯，代碼也是現(xiàn)碼的），整整四個(gè)小時(shí)的跨度，真刺激，午睡去了。