搜索公眾號(hào)：潘一粟的學(xué)習(xí)筆記，回復(fù)“線性代數(shù)”獲得后面的內(nèi)容

目前已更新高數(shù)前兩章和線代前三章（一定會(huì)在今年內(nèi)更完）

1.1矩陣

矩陣：mxn個(gè)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，稱(chēng)為mxn矩陣

系數(shù)矩陣：只由線性方程組系數(shù)組成的矩陣

增廣矩陣：在系數(shù)矩陣的基礎(chǔ)上加上常數(shù)，記作A-(橫在A上方)

同型矩陣：行數(shù)和列數(shù)分別相等的兩個(gè)矩陣

相等矩陣：元素完全相同的兩個(gè)矩陣

行向量：一個(gè)1xn矩陣

列向量：一個(gè)mx1矩陣

方陣：行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣，n階方陣記作An

主對(duì)角線：a11,a22,a33…即從左上角到右下角的一系列元素

對(duì)角矩陣：只有主對(duì)角線上有元素的方陣，記作diag(d1,d2,d3,…dn)

數(shù)量矩陣：主對(duì)角線上元素都相等的對(duì)角矩陣

單位矩陣：主對(duì)角線上元素都為1的對(duì)角矩陣，n階單位矩陣記作En

三角矩陣：當(dāng)方陣A的主對(duì)角線下（上）方的元素都是0時(shí)，稱(chēng)A為上（下）三角矩陣

對(duì)稱(chēng)矩陣：a i j =a j i（就是關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱(chēng)）

反對(duì)陳矩陣：a i j=- a j i

轉(zhuǎn)置：將矩陣的行列互換，原來(lái)的第一行變成第一列，以此類(lèi)推,記作A^T

(A^T)^T=A

負(fù)矩陣（兩個(gè)矩陣之間的關(guān)系）：bij=-aij，記作-A

推論：當(dāng)A=-A^T時(shí)，A為反對(duì)稱(chēng)矩陣。

1.2矩陣的運(yùn)算

加法

A+B=B+A（交換律）

A+(B+C)=(A+B)+C（結(jié)合律）

A+O=A

一定存在B，使A+B=O

數(shù)乘

1A=A

λ(A+B)=λA+λB

(λ+μ)A=λA+μA

λ(μA)=(λμ)A

乘法（C=AB）

1.只有A的列數(shù)等于B的行數(shù)時(shí)，AB才有意義（從行列數(shù)的角度來(lái)看，乘法就是mxn X nxq=mxq）

2.計(jì)算方式：C的第i行第j列的元素等于第一個(gè)矩陣A的第i行與第二個(gè)矩陣的第j列的對(duì)應(yīng)元素乘積的和

一般來(lái)說(shuō)：AB≠BA（注：若滿足AB=BA，那么C一定是對(duì)稱(chēng)矩陣）

存在A≠O,BO，但AB=O的情況

推論：AB=AC不能得到B=C

乘法規(guī)律有以下幾條：

1.（AB）C=A（BC）

2.λ（AB）=（λA）B=A（λB）

3.A（B+C）=AB+AC,（B+C）A=BA+CA

4.（A+B）^T=A^T+B^T,（λA）^T=λA^T,(AB)^T=B^TA^T（注意反過(guò)來(lái)了）

A^m記作A的m次方冪，A^0=En

1.3矩陣的分塊

分塊矩陣的原理很簡(jiǎn)單，類(lèi)似于中學(xué)的視作整體法，所以不贅述，講一個(gè)該節(jié)的結(jié)論

AA^T=O的充分必要條件是A=O

1.4方陣的行列式（detA）

只有方陣有行列式，行列式是數(shù)

排列：由1~n的n個(gè)數(shù)排成的有序數(shù)組（一個(gè)數(shù)只出現(xiàn)一次）

12……n稱(chēng)為自然排列

逆序：觀察任意兩個(gè)數(shù)，如果前面的數(shù)大于后面的數(shù)，即為逆序

逆序數(shù)：一個(gè)排列逆序的數(shù)量，記作τ（i1i2i3……in）

奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列，偶排列同理

對(duì)換：交換兩個(gè)數(shù)的位置

定理1：排列經(jīng)過(guò)一次對(duì)換后其奇偶性改變

定理2：任一排列可由自然排列n次對(duì)換得來(lái)，且n與τ（i1i2i3……in）的奇偶性相同

行列式定義為數(shù)Σ（-1）^τ（i1i2i3……in）x a1j1a2j2a3j3……anjn

看公式很容易看不懂，大致來(lái)說(shuō)就是在每一行取一個(gè)元素（不能多去）相乘，再乘以這些元素列數(shù)組成的逆序數(shù)，最后把所有情況相加，這種方法著實(shí)難算，基本只用于123階方陣

二階行列式=a11a22-a12a21

三階行列式=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33

三角矩陣的行列式就是主對(duì)角線元素相乘

推論：detA=det(A^T)

行列式性質(zhì)：

1.若方陣有兩行（列）相同或成比例，則detA=0

2.detE=1

3.方陣A有零行，則detA=0

矩陣的初等行變換：倍乘變換，倍加變換，交換變換

定理3

detA(kri)=kdetA（倍乘變換）

detA(rj+kri)=detA（倍加變換）

detA(ri?rj)= -detA（交換變換）

通過(guò)初等變換可以把矩陣化成上下三角形式，這樣計(jì)算行列式只要對(duì)角線相乘就可以了

推論 det kA=k?det A(這個(gè)在后面簡(jiǎn)化求特征值的時(shí)候會(huì)用到)

余子式：元素aij的余子式指方陣劃去aij所在行和列后形成的新的矩陣的行列式，記作Mij

代數(shù)余子式Aij=(-1)^(i+j)Mij

計(jì)算行列式的方法2：行列式等于某一行的元素與其代數(shù)余子式乘積之和

例如四階矩陣，我們可以通過(guò)初等變換，把第一行變成1 0 0 0，這樣就可以降階變成求三階行列式。

推論 一行的元素與另一行相應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零

k階子方陣：n階方陣中位于第i1,…ik行（k≤n）和第j1,…jk列交叉處的元素按照它們?cè)贏中的相對(duì)位置構(gòu)成的方陣。其行列式為detA的一個(gè)k階子式

該概念可以看作，原來(lái)的余子式是原方陣去掉了一個(gè)1x1的元素，而現(xiàn)在可以去掉2x2及以上的元素，剩下來(lái)的也可以看作余子式

Laplace定理：任意取定行列式的某k行，位于這些行上的所有可能的C(k,n)個(gè)k階子式與各自的代數(shù)余子式乘積之和，等于原行列式

定理4 detAB=detAdetB

范德蒙德行列式：第n行是第二行的n-1次方，detA=Π（ai-aj）（i>j）

1.5逆矩陣

對(duì)于矩陣A，如果存在B，使AB=BA=E，則稱(chēng)A可逆，記B=A^(-1)，為A的逆矩陣；否則就稱(chēng)A不可逆（注意，只由AB=BA，推不出可逆，必須要等于E）

定理1 逆矩陣唯一

只有A為方陣時(shí)才討論可逆性

E的逆矩陣是他本身

定理2 若A可逆，則AB=AC可以推出B=C

伴隨矩陣：伴隨矩陣看圖反而容易看錯(cuò)，跟著我的口述畫(huà)圖理解更佳。即矩陣A的每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式按原來(lái)的對(duì)應(yīng)位置排列，這時(shí)候還不是伴隨矩陣，再將該矩陣轉(zhuǎn)置一下，這才是伴隨矩陣。很多同學(xué)忘記轉(zhuǎn)置了，所以就會(huì)錯(cuò)誤。

伴隨矩陣記作A*

定理3 AA*=A*A=丨A丨E（若detA=1,A*也是可逆矩陣）

所以，A^(-1)=A*/detA

推論 若A可逆，則det A^(-1)=1/detA

另外 detA*=（detA）^(n-1)

（AB）^(-1)=B^(-1)A^(-1)，這個(gè)形式與之前的轉(zhuǎn)置十分類(lèi)似

A可逆則A^T也可逆

1.6矩陣的初等變換

初等變換之前已經(jīng)講過(guò)了

階梯形矩陣:1.零行在非零行的下面2.每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素（主元）位于上一行的第一個(gè)主元的右邊。

如果把階梯形矩陣左下角的0看作臺(tái)階，它就是一級(jí)一級(jí)向下向右的

行最簡(jiǎn)形矩陣：在階梯形矩陣矩陣的基礎(chǔ)上，每行的主元為1，且主元所在列的其余元素都為0

標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：左上角為單位矩陣，其余元素全為0

定理1 任意矩陣均可通過(guò)初等變換變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形矩陣

引理：若方陣A與B等價(jià)（即可以通過(guò)初等變換相互變）則A可逆當(dāng)且僅當(dāng)B可逆

換句話說(shuō)，初等變換不改變矩陣的可逆性

定理2 矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)其行最簡(jiǎn)形矩陣是單位矩陣

推論 方陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)它是有限個(gè)初等矩陣的乘積

也就是左乘行變右乘列變，例如ABC，A矩陣如何從單位矩陣行變換變來(lái)的，這些行變換就會(huì)映射到B身上，C是如何從單位矩陣列變換變來(lái)的，這些列變換也會(huì)映射到B身上

求逆矩陣的新辦法，將矩陣(A,E)通過(guò)行變換變?yōu)椋‥,A^（-1））

解矩陣方程AX=B的方法：1.X=A^(-1)B

2.A^（-1）(A,B)=(E,A^(-1)B)，就是對(duì)（A,B）進(jìn)行初等行變換，變成(E,A^(-1)B)，去掉左邊的單位矩陣，右邊的就是解

1.7矩陣的秩

矩陣的秩：矩陣A的不等于零的子式的最高階數(shù)，記作rank(A)

基本結(jié)論：

1.若A是mxn矩陣，則秩≤min{m,n}

2.n階方陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)rank(A)=n

3.rank(A)=rank(A^T)

引理：階梯形矩陣的秩等于其非零行的個(gè)數(shù)

定理1：初等變換不改變矩陣的秩

定理2：兩個(gè)同型矩陣等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)它們秩相等

相關(guān)性質(zhì)：

1.rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}

2.若AmxnBnxl=O,則rank(A)+rank(B)≤n

3.max{rank(A),rank(B)}≤rank(A,B)≤rank(A)+rank(B)

4.rank（A+B）≤rank(A)+rank(B)

線性方程組有解的判定定理：設(shè)n元線性方程組的增廣矩陣為A▔

1.無(wú)解當(dāng)且僅當(dāng)rank(A)<rank(a▔)< span="">

2.有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)rank(A)=rank(A▔)=n

3.有無(wú)窮多解當(dāng)且僅當(dāng)rank(A)=rank(A▔)<n< span="">

自由未知量：可以自由取值的未知量，只有rank(A)<n時(shí)才會(huì)出現(xiàn)，其它未知量都可以由自由未知量表示，無(wú)窮多解時(shí)自由未知量個(gè)數(shù)為n-rank(a)< span="">

齊次線性方程組一定有零解，當(dāng)rank(A)=n時(shí)只有零解。若為方陣，則detA≠0時(shí)只有零解

這樣就有了解齊次線性方程基本步驟：

1.寫(xiě)出增廣矩陣，用虛線隔開(kāi)未知量系數(shù)和常數(shù)，這樣就能同時(shí)處理兩個(gè)矩陣了

2.初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣

3.重新寫(xiě)成方程組的形式，右邊都是自由未知量。具體怎么寫(xiě)呢？以第一行為例，如果第一行是10010，就先寫(xiě)成x1+x4=0，再把左邊只保留x1（主元），變成x1=-x4，每一行都這么處理，顯然x4是自由未知量

4.自由未知量依次取值，比如自由未知量有x1,x2,x3。那么就依次取值為(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1),得到若干列向量，每個(gè)前面乘以一個(gè)系數(shù)kn，再相加即可

非齊次線性方程的解法只要在最后一步做出一點(diǎn)修改，添加一個(gè)不乘以系數(shù)的自由未知量全取0的常數(shù)列向量就可以了，最后是一個(gè)經(jīng)典的解=特解+齊次版本的通解形式，這個(gè)形式在微分方程也會(huì)涉及

克拉默法則：

方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相同可用

設(shè)A=aij是n階方陣，則n元線性方程組AX=β有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)detA≠0.此時(shí)，xi=detAi/detA

其中Ai是將矩陣A的第i列用β替代得到矩陣

這樣解方程變成了算行列式，變簡(jiǎn)單了很多，但很少用到