常微分方程

積分就是求導(dǎo)的一個(gè)逆向計(jì)算過程

有多少撇就有多少階，一般就只有一撇或者兩撇，有兩撇的就二階微分方程，

通解一般要加任意常數(shù)C（0、1、2、3……等等都是常數(shù)），C本質(zhì)上沒啥意義，加上去就是了。

一階導(dǎo)求解就三種形式，二階導(dǎo)求解就一種形式，先分類是哪種形式再具體求解。

區(qū)分的辦法就是將y'單獨(dú)表示出來。

第一種求解形式、可分離變量

y'可以寫成dy/dx的形式（dy除dx形式），可分離變量的特點(diǎn)是能寫成f(x)*g(y),f(x)的意思就是只含有x的分式（任意寫法都行，不含其他未知數(shù)就可以了）、g(y)跟f(x)同種表達(dá)就是只含有y的分式，換種表達(dá)用來區(qū)分而已

第一步將帶y的和帶x的分別移到兩邊去，就是簡(jiǎn)單的乘除或者移項(xiàng)而已

第二步就是求積分（這步要背寫常用的求積分等式，不多，背就完事了）

可分離變量例題1

等式兩邊同乘y^2后左邊的1/y^2會(huì)被消掉，最后的結(jié)果是y'=(x+1)(y^2),(x+1)就是只含有x的分式f(x)，(y^2)就是只含有y的分式g(y)，所以符合可分離變量的特征。

按照解法，先移項(xiàng)，然后求積分就可以了

先回想常數(shù)求導(dǎo)的形式ax^n（a乘x的n次方）=a*(n)*x^(n-1),就是把右上的次方數(shù)n提到前面去（作為乘數(shù)），然后n變成n-1作為次方數(shù)就行了

1/y^2(1除y方)=y^-2，有1除次方數(shù)的相當(dāng)于在次方數(shù)的前面加個(gè)負(fù)號(hào)就行了，譬如2^-2=1/4,2的負(fù)二次方就是等于1/2的平方=1/4，

y^-2，y的負(fù)二次方，回想下常數(shù)求導(dǎo)的形式，怎樣的分式求導(dǎo)之后才會(huì)變成這種形式，首先將-2代入成n-1，那么求導(dǎo)前的分式的次方數(shù)就應(yīng)該是-2+1，也就是-1，然后-1作為次方數(shù)在求導(dǎo)的時(shí)候會(huì)作為乘數(shù)放到分式前，所以求積分就方向算，除以-1就可以了，1/(-1)=-1，所以y^-2的求積分就是-y^-1,可以寫成分子形式，就是-1/y，

同理自己想下(x+1)怎么推導(dǎo)成1/2*x^2+x+C

可分離變量例題2

先判斷是哪種形式

復(fù)雜一點(diǎn)的也就例題2這種形式了，

但是基本步驟還是不變的，先移項(xiàng)之后再求積分，例題中的兩項(xiàng)積分都是公式直接套用的，分別用到下圖中的第6跟第15式，基本的求導(dǎo)公式死記就好了，

一般出現(xiàn)e的lny次方，e跟ln相消變成y就可以了

第二種求解形式、齊次

特征是存在y/x的形式，

第一步寫死的，就是換元，因?yàn)閡是個(gè)未知數(shù)，記住公式就是前導(dǎo)后不導(dǎo)加上后導(dǎo)前不導(dǎo)

下面的步驟都是一樣的、聯(lián)立方程、之后就可以用上可分離變量的解法，求出u之后再回代，這個(gè)時(shí)候u應(yīng)該是個(gè)只包含x或是u的等式，之后再回代就可以求出y了

齊次的識(shí)別就兩種形式，

1、分子分母中各項(xiàng)總次數(shù)相同且不含常數(shù)項(xiàng)，y^2跟x^2都是2次，x = x^1, y=y^1, 所以x*y也是兩次，(可能有疑惑為什么要除x^2，想下怎么化出y/x就能明白了)，各項(xiàng)的次數(shù)都相同，那就是齊次

2、log或者ln的相減形式也可以寫成相除形式。

齊次解法例題1

記住步驟，1換元，2聯(lián)立方程、3整理成一邊是u'的形式，然后套用可分離變量的解法

指數(shù)的次方數(shù)的加減法，可以寫成是指數(shù)間的乘法形式，-lnu=ln(1/u)

ln的相關(guān)公式

ln(MN)=lnM +lnN （相乘變相加）

ln(M/N)=lnM-lnN （相除變相減）

ln（M^n)=nlnM （次方數(shù)可以提到前面做乘子）

ln1=0

lne=1

注意，拆開后,M,N需要大于0

根據(jù)ln（M^n)=nlnM所以理解-lnu的時(shí)候，就是ln (u^-1)也就是ln (1/u)

最后一項(xiàng)沒寫完，最后結(jié)果是(1/u)*(e^u)

最后一步回代就可以了

其次解法，例題2

他這里寫錯(cuò)了，應(yīng)該是u'*x=u*lnu

不定積分湊微分來解，ln u求導(dǎo)=1/u，所以1/(u*ln u)du等于1/(ln u) dln u

第三種求解形式，線性方法求解

太難的話可以跳過，這里要拿分的話只能背公式

公式也很好記，先分清楚，P(x)就是y前面的系數(shù)（或者說是跟y的乘子），等號(hào)右邊的就是Q(x)，第1跟第3項(xiàng)都是p(x)的積分且都帶e，第2項(xiàng)是Q(x)的積分，第一項(xiàng)積分前面要加個(gè)負(fù)號(hào) ,第2項(xiàng)積分包含第3項(xiàng)積分，并且后面補(bǔ)個(gè)C

一階既不是可分離也不是其次的話，那就是線性了

特征是如形式一或形式二，公式1跟公式2是一樣的，只是將x跟y互調(diào)。

公式會(huì)出現(xiàn)三個(gè)的積分的項(xiàng)，第1跟第3項(xiàng)出現(xiàn)lnx時(shí)不加絕對(duì)值符號(hào)，第2項(xiàng)出現(xiàn)lnx時(shí)要加上絕對(duì)值符號(hào)，就是ln x要寫成ln |x|

線性解法，例題1

第三個(gè)等號(hào)的結(jié)果，同時(shí)出現(xiàn)兩項(xiàng)x的項(xiàng)，先看兩項(xiàng)是否存在可導(dǎo)關(guān)系，有可導(dǎo)關(guān)系就用湊微分來解

線性解法，例題2

當(dāng)既不是可分離、不是齊次、也不能寫成第一種公式的形式的時(shí)候，試下對(duì)y'求倒數(shù)能得到x'的公式

二階常微分方程解法

這部分也是靠記公式

特征方程的推導(dǎo)是靠，假設(shè)y=e^rx推導(dǎo)的

特征根的通解，是高中的一元二次方程的通解來的

這部分也是靠背，先分出哪部分是p哪部分是q就可以了

特征根根號(hào)里面的，分出正數(shù)還是負(fù)數(shù)還是0，然后套公式就可以了

二階常微分，例題1

簡(jiǎn)單的就是這種，單根情況

二階常微分，例題2

兩根情況

簡(jiǎn)單用十字相乘法分解，求出對(duì)應(yīng)的跟，套用公式，然后代入即可

二階常微分，例題3

無效跟的情況

無效跟直接套公式，i^2代替-1

常微分死記硬背比較多，背完之后，套用公式比較多，還是比較好拿分的