1．函數(shù)零點(diǎn)的概念

對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，x∈D，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)，x∈D的零點(diǎn).（函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)，而不是點(diǎn)，是方程f(x)＝0的實(shí)根，零點(diǎn)一定在定義域內(nèi)）

2.函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)

（1）當(dāng)函數(shù)的圖像通過(guò)零點(diǎn)且穿過(guò)x軸時(shí)，函數(shù)值變號(hào)；

（2）兩個(gè)函數(shù)把x軸分為三個(gè)區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值保持不變。

3.函數(shù)零點(diǎn)的求法

（1）代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根；

（2）幾何法：對(duì)于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以將它與函數(shù)y=f(x)的圖像聯(lián)系起來(lái)，圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)。

4．函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系

函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的橫坐標(biāo)，所以方程f(x)＝0有實(shí)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)f(x)有零點(diǎn)．

5．零點(diǎn)存在性定理

（1）函數(shù)零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，并且f(a)f(b)<0，（即在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)），則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）中存在零點(diǎn)，即存在x。∈（a，b）,使得f(x。)=0.

（2）分類(lèi)：①變號(hào)零點(diǎn)：函數(shù)圖像通過(guò)零點(diǎn)時(shí)穿過(guò)x軸；

②不變號(hào)零點(diǎn)：函數(shù)圖像通過(guò)零點(diǎn)時(shí)沒(méi)有穿過(guò)x軸。

注意：（1）一個(gè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)必須滿足兩個(gè)條件：

①函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線；

②f(a)f(b)<0。

（2）①由函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如下圖所示．所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件．事實(shí)上，只有當(dāng)函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)(不是偶次零點(diǎn))時(shí)，函數(shù)值才變號(hào)，即相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的函數(shù)值同號(hào)．

②零點(diǎn)存在性定理只能判斷零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．若函數(shù)在某區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則該函數(shù)在該區(qū)間上至多有一個(gè)零點(diǎn)．

6．二次函數(shù)圖象與零點(diǎn)的關(guān)系

判斷二次函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是判斷一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的實(shí)根個(gè)數(shù)，一般由判別式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0完成．

7.二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值

（1）二分法的定義：對(duì)于在區(qū)間［ a , b ］上連續(xù)不斷且 f ( a ) f ( b )<0的函數(shù) y = f ( x )，通過(guò)不地把函數(shù) f ( x ）的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．

（2）利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟

①需依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間［ m , n ]（一般采用估計(jì)值的方法完成）.

②取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù) c ，計(jì)算 f ( c )，確定有解區(qū)間是［ m , c ］還是［ c , n ]，逐步縮小區(qū)間的"長(zhǎng)度"，直到區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)符合精確度要求，終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值．

注意：二分法的實(shí)質(zhì)是通過(guò)"取中點(diǎn)"，不斷縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的范圍．使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn)近似值。

1．已知實(shí)數(shù)a，b滿足2a＝3,3b＝2，則函數(shù)f(x)＝ax＋x－b的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(　　)

A．(－2，－1)　　　　　　 B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)

解析：選B　∵2a＝3,3b＝2，∴a＞1,0＜b＜1，又f(x)＝ax＋x－b是單調(diào)遞增函數(shù)，∴f(－1)＝a(1)－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，∴f(x)在區(qū)間(－1,0)上存在零點(diǎn)．故選B.

2．函數(shù)f(x)＝ln x－x(2)的零點(diǎn)所在的大致范圍是(　　)

A．(1,2) B．(2,3)

C.，1(1)和(3,4) D．(4，＋∞)

解析：選B　易知f(x)為增函數(shù)，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－3(2)＞0，得f(2)·f(3)＜0.故選B.

3．函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：選B　函數(shù)f(x)＝ex＋3x在R上是增函數(shù)，

∵f(－1)＝e(1)－3＜0，f(0)＝1＞0，

∴f(－1)·f(0)＜0，

∴函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)，且在(－1,0)內(nèi)，故選B.