【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)Ep11】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識：
stolz公式——
對于*/∞型的數(shù)列xn/yn，其中——
存在自然數(shù)N"，使得n>N"時(shí)，yn是單增數(shù)列，即，yn+1>yn；
在已知lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]為有限值或趨向于無窮的情況下；
公式lim（xn/yn）=lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]成立。
lim n^（1/n）=1。
如果向量e1，e2，e3不共面，那么空間任意向量r可以由向量e1，e2，e3線性表示，或者說空間任意向量r可以分解成e1，e2，e3的線性組合，即r=xe1+ye2+ze，并且其中系數(shù)x，y，z被e1，e2，e3，r唯一確定。
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析教程》（常庚哲 史濟(jì)懷 編）
《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)分析教程（常庚哲 史濟(jì)懷?編）》）——
計(jì)算極限：lim（n?。（1/n^2）
解——
ln?（n?。（1/n^2）=（ln 1+ln 2+……+ln n）/n^2；
分子為單增數(shù)列，則根據(jù)stolz公式：
lim[（ln 1+ln 2+……+ln n）/n^2]
=lim{ln n/[n^2-（n-1）^2]}
=lim{ln?n/（2n-1）}
=lim ln n^[1/（2n-1）]
=lim ln [n^（1/n）]^[1/（2-1/n）]
=lim?[1/（2-1/n）]*lim??ln [n^（1/n）]
=（1/2）*0=0
lim（n?。（1/n^2）
=lim e^[ln?（n?。（1/n^2）]
=e^lim[ln?（n?。（1/n^2）]
=e^0=1.
解析幾何——
例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——
已知OA=r1，OB=r2，OC=r3是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的平行六面體的三條邊，又該平行六面體過點(diǎn)O的對角線與平面ABC的交點(diǎn)為P，求向量OP.
解：記該平行六面體過點(diǎn)O的對角線為OQ，點(diǎn)P在平行六面體的對角線OQ上，即存在實(shí)數(shù)λ，使得OP=λOQ——
OP=λOQ=λ（OA+OB+OC）=λ（r1+r2+r3）=λr1+λr2+λr3；
向量AP在平面ABC，即為由向量AB，AC所決定的平面上，所以由共面條件得知存在實(shí)數(shù)ɑ，β，使得——
AP
=ɑAB+βAC
=ɑ（OB-OA）+β（OC-OA）
=ɑ（r2-r1）+β（r3-r1）；
即
OP-OA=ɑ（r2-r1）+β（r3-r1）；
整理得：OP=（1-ɑ-β）r1+ɑr2+βr3；
則，λ=1-ɑ-β=ɑ=β，解得λ=1/3；
OP=（r1+r2+r3）/3.
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——
如果向量β可以由向量組ɑ1，……，ɑs線性表出，則表出方式唯一的充分必要條件是ɑ1，……，ɑs線性無關(guān)。
證明：設(shè)β=b1ɑ1+……+bsɑs
a.充分性
設(shè)ɑ1，……，ɑs線性無關(guān)。
如果還有β=c1ɑ1+……+csɑs，
那么b1ɑ1+……+bsɑs=c1ɑ1+……+csɑs，
從而（b1-c1）ɑ1+……+（bs-cs）ɑs=0，
由于ɑ1，……，ɑs線性無關(guān)，因此有
b1-c1=……=bs-cs=0，即b1=c1……bs=cs，
因此β由ɑ1，……，ɑs線性表出的方式唯一。
b.必要性
假如β由ɑ1，……，ɑs線性表出的方式唯一。
假如ɑ1，……，ɑs線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)k1，……，ks，使得
k1ɑ1+……+ksɑs=0，
于是β=（b1+k1）ɑ1+……+（bs+ks）ɑs，
由于k1，……，ks，不全為0，
因此（b1+k1，……，bs+ks）與（b1，……，bs）不相等，
于是β由ɑ1，……，ɑs線性表出的方式至少有兩種，這與表出方式唯一矛盾，
因此ɑ1，……，ɑs線性無關(guān)。
就到這里！
