一、本節(jié)整體

對(duì)于多元函數(shù)連續(xù)性的定義需要深刻把握；

對(duì)于利用三角形不等式放縮的技巧要爐火純青，加一項(xiàng)減一項(xiàng)要有眼力；

對(duì)于一些不等式以及求極限的能力要有所準(zhǔn)備，常練多練，掌握更多技巧。

二、需要復(fù)習(xí)掌握的

1、一元函數(shù)連續(xù)及其一致連續(xù)的定義，如何敘述要清晰

2、多元函數(shù)連續(xù)及其一致連續(xù)的定義，如何敘述要清晰

3、一個(gè)極限的運(yùn)算（3次根號(hào)下∞-∞類(lèi)型）可以借此復(fù)習(xí)極限運(yùn)算的各種類(lèi)型。

4、一個(gè)補(bǔ)充的不等式（今年華東師大真題有用到）

推論：

三、具體題目

1、（華南理工）（課本有原型）

想要證明二元函數(shù)開(kāi)域連續(xù)，用定義。去湊，加一項(xiàng)減一項(xiàng)，注意拆成兩項(xiàng)后，第一項(xiàng)的x并非固定量，所以繼續(xù)利用y單調(diào)遞減，把會(huì)動(dòng)的y變?yōu)椴粫?huì)動(dòng)的y,利用單調(diào)性，f(x,y)∈（f(x,y0+δ），f(x,y0-δ））（因?yàn)閥是單調(diào)遞減的）；

然后使得|f(x,y)-f(x0,y0)|≤|f(x,y0±δ）-f(x0,y0)|,對(duì)這個(gè)式子再拆，拆出來(lái)的兩項(xiàng)分別關(guān)于單變量x,y連續(xù)，所以各自小于ε，即證得。

2（同濟(jì)大學(xué)）（課本原題的變形）

充分考察開(kāi)集的定義以及連續(xù)的定義書(shū)寫(xiě)，還有原象與象的關(guān)系。

先考慮必要性：利用f連續(xù)，先設(shè)出一個(gè)開(kāi)集A，記A的原象為S=f^-1(A).

對(duì)S分類(lèi)討論.

S為空集（利用空集即為開(kāi)集又為閉集的性質(zhì)），S為開(kāi)集；

S不為空集，任取x0∈S，于是f(x0)∈A（利用象和原象的關(guān)系）；再結(jié)合A是開(kāi)集的定義；再使用f在x0的連續(xù)性的定義，得到S為開(kāi)集。

再考慮充分性：先找一個(gè)開(kāi)集，說(shuō)他的原象集也是開(kāi)集；再利用開(kāi)集定義，象就在之前找的開(kāi)集上面，得出f在x0連續(xù)的結(jié)果，再利用x0的任意性得出f的連續(xù)性。

（這道題要多寫(xiě)幾遍，有助于更好理解開(kāi)集的定義、象與原象關(guān)系以及對(duì)連續(xù)定義的書(shū)寫(xiě)）

3（四川大學(xué)）

①先利用閉域上連續(xù)必然一致連續(xù)的性質(zhì)

②寫(xiě)出一致連續(xù)的定義

③利用題干

④取上確界，用一下相關(guān)放縮

⑤利用x0的任意性，得出在【0，1】上連續(xù)。

注：書(shū)寫(xiě)過(guò)程②中非常容易漏掉一點(diǎn)：“當(dāng)（x',y'）,(x'',y'')∈【0，1】?【0，1】”，這一句不能漏?。?！

（下面還有一個(gè)這道題在三元情況下的原型，本題為二元情況，思路一致，只不過(guò)根據(jù)題干不同作出不同書(shū)寫(xiě)罷了）

4（華東師大）

考察一致連續(xù)和不一致連續(xù)的定義書(shū)寫(xiě)

關(guān)鍵在觀察題干中有一個(gè)導(dǎo)數(shù)有界，自然會(huì)想到使用中值定理；

第一問(wèn)：先寫(xiě)出Lagrange中值定理，利用題干條件放縮之后，對(duì)于二維空間中的任意兩點(diǎn)，利用二元函數(shù)連續(xù)性的定義，函數(shù)值作差，需要利用一個(gè)不等式（見(jiàn)本專(zhuān)欄二、4），然后寫(xiě)出連續(xù)的定義即可

第二問(wèn)：仍然利用Lagrange中值定理，不過(guò)先記出函數(shù)g(x,y)=f(x^3+y^3),考慮兩個(gè)點(diǎn)列相減極限為0，但是函數(shù)值相減的極限不等于0，說(shuō)明不一致連續(xù)。（求點(diǎn)列極限相減極限為0，詳見(jiàn)本專(zhuān)欄二、3）利用一下Lagrange中值定理，得到函數(shù)值相減為|f'(η)|≥A，而A由題干知道是大于0的正數(shù)，所以極限不為0，因此不一致連續(xù)。