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來自: Strongart(真才實學(xué)的國民教授)

2010-02-17 14:44:56?

如果你喜歡數(shù)學(xué)，那么上大學(xué)就一定要報數(shù)學(xué)專業(yè)，其他專業(yè)即使是理工科的，學(xué)的高等數(shù)學(xué)之類也僅僅是一層皮毛。除非你能夠頑強的自學(xué)，否則你的數(shù)學(xué)生涯就GAME OVER了。當(dāng)然，即使你報了數(shù)學(xué)專業(yè)，到最后還是要依靠自學(xué)。從這個意義上來說，報什么專業(yè)就真的無所謂了，只要負(fù)擔(dān)輕就OK了。?

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? ? 下面的圖表簡單羅列了高中以后的數(shù)學(xué)到底可以走到哪里（并未涉及數(shù)論、集合論之類的另類領(lǐng)域）,也許你會感到有點恐怖，其實我大學(xué)時數(shù)學(xué)大致就學(xué)了這些：因為那時候沒有人交流，也不是太懂得節(jié)約時間?？蛇z憾的是有些不怎么認(rèn)真數(shù)學(xué)專業(yè)研究生，也無非是在一兩個方向入門罷了：?

? ? 高中以后的數(shù)學(xué)（當(dāng)然是專業(yè)的）課程要大致由三個部分組成，分析、代數(shù)和幾何，但我認(rèn)為現(xiàn)行的教育安排是非常失衡的。大致說來是，數(shù)學(xué)分析太臃腫，高等代數(shù)沒前途，解析幾何又太狹隘。下面我就結(jié)合自己的經(jīng)歷來談?wù)勥@個問題：

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? ? 先來看分析，很多同學(xué)都認(rèn)為數(shù)學(xué)分析難學(xué)，因為它涉及的東西太多太瑣碎了。既有各種初級計算技巧，甚至包括近似估計；又有深刻的理論推導(dǎo)，有時還一些先進的思想壓縮到初步的理論中，卻不能充分展開。我那時就是疲于應(yīng)付，最后還是不得不退化為微積分，卻又往往有所顧及，不像頭腦簡單的時候可以肆無忌憚的享受著計算的快樂。其實實數(shù)公理部分的不少證明細(xì)節(jié)得到平面點集拓?fù)洳拍艹浞终归_（畢竟圓盤的覆蓋要比區(qū)間的覆蓋更加直觀一些），又如像一致收斂這樣的概念到函數(shù)空間中用確界范數(shù)才能自然理解的，而這一切都被壓縮到數(shù)學(xué)分析之中。

? ? 要解決這個困難，比較方便的辦法的把數(shù)學(xué)分析分成兩個部分，初等的部分相當(dāng)于稍微嚴(yán)格的微積分，還可以把初步的微分方程與曲線曲面理論放入其中，重在對具體問題的解決與計算技術(shù)的熟練化（以后就用不著再害怕計算了）。我想，在徹底嚴(yán)格化之前先做一番計算練習(xí)，這應(yīng)該是非常有趣的。等有了這樣的微積分基礎(chǔ)之后，同時嚴(yán)格抽象的思想也已經(jīng)從代數(shù)學(xué)中建立起來，這是就可以把它們匯合起來，向分析的主干挺進。此時的自由度也相應(yīng)提高，再介紹一點初等拓?fù)?、范?shù)內(nèi)積、Lebesgue積分、外微分什么的也都是不錯的課題，對多變量的情形也可以用向量來統(tǒng)一處理，甚至還可以把關(guān)于復(fù)函數(shù)的初步理論吸收進來。

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? ? 然后看代數(shù)，高等仿佛沒有什么后續(xù)課程的支持，矩陣論似乎往往與近似計算結(jié)合起來，從而更側(cè)重應(yīng)用。所以如果說到基礎(chǔ)的話，無無疑應(yīng)該是抽象代數(shù)才對。如果四年學(xué)下來，就大致了解一些群、環(huán)、域，沒看到后面更加精彩的內(nèi)容，恐怕就非?？上Я?。我認(rèn)為為高等代數(shù)應(yīng)該被吸收到抽象代數(shù)里，數(shù)學(xué)專業(yè)的代數(shù)學(xué)一開始就應(yīng)該講群，讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是怎樣抽象出來的，也能熟悉如何在抽象的基礎(chǔ)上分析問題。這里選代數(shù)作為培養(yǎng)抽象思想的突破口是因為它比較純潔，不像分析那樣依賴很多計算，而且也不用多少背景知識。如果以后再處理初等材料的話，自然就有居高臨下的優(yōu)越感，而線性代數(shù)的主要部分自然可以在模的角度來統(tǒng)一處理（高等線性代數(shù)），具體依賴數(shù)域的部分則可以作為專題——有所得就有所失，抽象也不是萬能的啊！此外，先介紹群還可以作為幾何學(xué)的預(yù)備知識。當(dāng)然，一開始的介紹不宜太深入，作為基礎(chǔ)至多到Sylow定理就可以了，后面還有專門的異常豐富的抽象代數(shù)課程呢。

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? ? 幾何的話，很多人認(rèn)為入門的幾何就是解析幾何，但現(xiàn)有解析幾何往往只是在熟悉常見曲面方程。其實，解析幾何的概念可以推廣至微分幾何之前幾何（包括現(xiàn)在所謂高等幾何中非介紹性的部分），其要點在于強調(diào)群作用觀點與射影空間的直觀。群作用觀點可以給出幾何學(xué)的大體的框架，讓我們知道自己是在什么舞臺上活動，這樣的舞臺可以一直滲透到微分幾何中。射影空間則可以與熟悉歐式空間相類比，對以后的代數(shù)幾何也是一種直觀，否則我們往往無從得知自己的把什么東西在代數(shù)化。比如我那時沒注意射影幾何，看到“P^2的任意兩條直線都是相交的”的時候，就感到無所適從了。

? ? 微分幾何一定要盡早介紹流形，其實放到第一章也是無妨的。在熟悉了平直的歐式空間之后（多變量分析），推廣到一般的流形上也是大勢所趨，并沒有什么太大的跳躍。此后就可以在這樣框架下介紹直線與曲面，其實R^3中的很多問題在一般的空間中一樣可以處理（比如測地線方程之類都是差不多的），像高中那樣用兩年時間研究平面二次曲線（還不包括一般理論）實在是太奢侈了。如果在R^3中有趣的東西都可以專門處理，也可以讓大家清楚到底它們?yōu)槭裁词怯腥さ摹Ｓ浀梦夷菚rR^3的微分幾何都忘得差不多了，黎曼幾何不也一樣在學(xué)嘛。

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? ? 其實，有些觀點高的東西并不一點是難學(xué)的，有的東西難學(xué)恰恰是用低觀點來解決高級領(lǐng)域的問題造成的。也許又有人會談基礎(chǔ)的重要性，但真要強調(diào)基礎(chǔ)的話，各人的基礎(chǔ)都是相對有差異的，不排除某些牛人能把范疇同調(diào)之類的作為他自己的基礎(chǔ)。合理的學(xué)習(xí)路徑應(yīng)該是從最容易入手的地方切入，看看最后究竟能夠走到哪里，所以不要讓我們的學(xué)生長時間滯留那些初等的領(lǐng)域。只要有可能，就要盡可能的擴展與深入，然后才能找到自己的基礎(chǔ)，并且在這樣基礎(chǔ)上繼續(xù)前進，畢竟上面的那張宏偉的圖表也僅僅是入門而已。

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? ? 圖片參見原文地址：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_486c2cbf010098ma.html