在上圖中，我們能夠發(fā)現(xiàn)兩個很簡單的不等關(guān)系：

外接圓面積＞三角形面積＞內(nèi)切圓面積

外接圓周長＞三角形周長＞內(nèi)切圓周長

即S外＞S＞S內(nèi)；C外＞C＞C內(nèi)

下面，我們采用分析法證明這四個結(jié)論。

1.S外＞S

通過正弦定理，我們能夠得到外接圓半徑為

R＝a/2sinA，于是S外＝πa2/(4sin2A)

S＝bcsinA/2。欲證S外＞S，即證

πa2/(4sin2A)＞bcsinA/2

變形，即πa2＞2bcsin3A

代入正弦定理，并且由于sin2A＞0，約去，即

π/2＞sinAsinBsinC

下面只需要在△ABC中求sinAsinBsinC的最大值（就是在A+B+C＝π這個約束條件下求

sinAsinBsinC最大值）即可。

由基本不等式，

sinAsinBsinC≦[(sinA+sinB+sinC)/3]3

∵y＝sinx在(0,π)上是上凸函數(shù)，由琴生不等式

[(sinA+sinB+sinC)/3]3≦[sin(A+B+C)/3]3

＝(3?3)/8＜π/2

即sinAsinBsinC＜π。以上過程可倒推，Q.E.D.

2.C外＞C

正弦定理，R＝a/2sinA，故C外＝πa/sinA

欲證πa/sinA＞a+b+c，代入正弦定理，得

π＞sinA+sinB+sinC，而π＞3，因此

π＞3≧sinA+sinB+sinC，這個結(jié)論是明顯的，Q.E.D.

這個結(jié)論還可以更簡單地證明：由“兩點之間線段最短”可知弧AB，弧BC，弧AC的長度是比AB，BC，AC更長的，利用不等式的可加性加起來即得到三角形外接圓周長大于三角形周長。

3.S內(nèi)＜S，C內(nèi)＜C

我們知道三角形有一個面積公式S＝Cr/2，

其中C為三角形周長，r為三角形內(nèi)接圓半徑。因此我們能夠得到r=2S/C。

欲證S內(nèi)＜S，即4πS2/C2＜S，化簡，得

4πS＜C2，而S=Cr/2，代入并化簡，得

2πr＜C，也就是C內(nèi)＜C。

也就是說，只要我們證明了C內(nèi)＜C，就能證明S內(nèi)＜S。

先添一點輔助線。

在這些直角三角形中，我們得到

x=rcot(A/2)=rcotα

y=rcot(B/2)=rcotβ

z=rcot(C/2)=rcotγ

∴C＝a+b+c=2(x+y+z)

欲證C內(nèi)=2πr＜C=2(x+y+z)

即π＜cotα+cotβ+cotγ

而y=cotx在(0,π/2)上是下凸函數(shù)，由琴生不等式，cotα+cotβ+cotγ≧3cot(α+β+γ)＝3?3＞π

原命題成立。Q.E.D.

發(fā)布于：2022.04.03

修改于：2023.11.07

第二次修改：2023.12.15