2021年4月，美國費(fèi)米國家實(shí)驗(yàn)室的μ子g-2實(shí)驗(yàn)團(tuán)隊(duì)曾宣布對μ子磁矩的測量結(jié)果精度達(dá)到0.35ppm，與標(biāo)準(zhǔn)模型理論預(yù)測存在偏差，置信度為4.2σ。今年當(dāng)?shù)貢r(shí)間8月10日，費(fèi)米國家實(shí)驗(yàn)室發(fā)布了基于前三年數(shù)據(jù)的最新實(shí)驗(yàn)結(jié)果，精度為0.2ppm，與理論預(yù)測的偏差置信度提升到了5σ。那么，這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否預(yù)示著產(chǎn)生了超出標(biāo)準(zhǔn)模型的新物理？

撰文?|?季燕江

在物理實(shí)驗(yàn)中，獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的次數(shù)越多，測的就越準(zhǔn)確，漲落σ（均方差，standard deviation）越小。假設(shè)測量的平均值是μ，真實(shí)值處于μ-σ和μ+σ之間的概率是0.6826，處在μ-2σ和μ+2σ之間的概率是0.9544，處在μ-3σ和μ+3σ之間的概率是0.9974，換句話說真實(shí)值不處于μ-3σ和μ+3σ之間的概率僅不到0.3%。

在粒子物理里，新發(fā)現(xiàn)成立的閾值一般是5σ，這個(gè)數(shù)值越高，就說明發(fā)現(xiàn)的證據(jù)越堅(jiān)實(shí)，5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差表示新發(fā)現(xiàn)的置信度高達(dá)99.99994%。補(bǔ)充一下標(biāo)準(zhǔn)差的定義：

這里N是獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的次數(shù)。但這里忽略了系統(tǒng)誤差，不過系統(tǒng)誤差一般是可以排查出來的。

目前粒子物理的最高成就是標(biāo)準(zhǔn)模型，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)模型，除引力外，其他三種相互作用：電磁相互作用，弱相互作用和強(qiáng)相互作用都統(tǒng)一地被量子力學(xué)表述。不過標(biāo)準(zhǔn)模型（standard model）看上去很丑陋。

以上為標(biāo)準(zhǔn)模型的拉格朗日量。一點(diǎn)不簡潔，一點(diǎn)不美。因此，很多物理學(xué)家都在尋找超越標(biāo)準(zhǔn)模型的新物理。更多的時(shí)候，我們用下圖表示標(biāo)準(zhǔn)模型：

??

紫色是6種夸克，綠色是3種輕子（電子，μ子和τ子）以及對應(yīng)的三種中微子。這些都是費(fèi)米子。橙色的玻色子用來傳遞相互作用?？淇送ㄟ^交換膠子（g）傳遞強(qiáng)相互作用，光子（γ）用來傳遞電磁相互作用，向量玻色子（W±，Z）傳遞弱相互作用。最后希格斯玻色子（H，黃色）解釋了質(zhì)量的來源。

能量最高的希格斯玻色子（H）和頂夸克（t）是最后被發(fā)現(xiàn)的，前者于2012年被LHC發(fā)現(xiàn)，后者于1992年被Tevatron發(fā)現(xiàn)。超越標(biāo)準(zhǔn)模型的新物理，意味著需要更高能量的加速器，這意味著很多很多錢。

不過也有一些不那么昂貴的實(shí)驗(yàn)可檢測偏離標(biāo)準(zhǔn)模型的蛛絲馬跡。比如，最近Fermilab剛剛發(fā)布一組數(shù)據(jù)的μ子g-2實(shí)驗(yàn)。μ子是3種輕子之一，我們可以把它理解為一個(gè)更重的電子，μ子的質(zhì)量大約是電子質(zhì)量的207倍，同時(shí)和電子一樣，μ子的自旋也是1/2。

g=2

根據(jù)經(jīng)典物理學(xué)，電子的軌道角動量L和電子的軌道磁矩M成正比：

軌道角動量：L=mvr，這里m是電子質(zhì)量，v是電子做軌道運(yùn)動的速率，r是圓軌道的半徑。

軌道磁矩：M=iA，這里i是電流，A是圓面積。因此：M=evr/2。

磁旋比被定義為：M/L=e/2m

或：M=(e/2m)L

對自旋角動量S來說，自旋的磁矩是：Ms=(e/m)S

或改寫為：Ms=g(e/2m)S，對電子自旋而言g=2，這里g就是朗德g因子。

為什么對電子的軌道運(yùn)動來說g=1，而對自旋來說g=2？這需要在相對論性量子力學(xué)的框架下理解，我們從狄拉克方程出發(fā)，并考慮電子在電磁場中運(yùn)動，正則動量：p=mv+eA。

根據(jù)狄拉克方程，并考慮非相對論極限，得到泡利方程：

這里σ是泡利矩陣，q是電量（即上文中的e）

利用恒等關(guān)系：

并考慮p是偏微分算子，得到磁矩在磁場中的能量（塞曼項(xiàng)，Zeeman term）：

磁矩M在磁場中的能量可表示為：-M·B

因此，磁矩M可表示為：M=g(e/2m)S，這里g=2，自旋 S=?σ/2

g因子為2，是一個(gè)相對論性量子力學(xué)框架下的理論結(jié)果，同時(shí)g也可由實(shí)驗(yàn)直接測量。比如，磁矩M在均勻磁場B中將發(fā)生進(jìn)動，進(jìn)動頻率（拉莫頻率）是：ω=g(eB/2m)。知道了拉莫頻率，我們就可通過實(shí)驗(yàn)確定g值。

回到泡利方程，(p-eA)^2在對稱規(guī)范：A=(1/2)B x r 下，可化簡為：

上式S前的2就是電子自旋的朗德g因子。μ子的推導(dǎo)在這里是完全一樣的，換句話說對μ子而言：g=2。

那么g-2就應(yīng)該是0。

費(fèi)曼圖

我們的宇宙并不僅僅是由電子構(gòu)成的，當(dāng)然也不是僅僅由μ子構(gòu)成的。換句話說宇宙里可能有電子，也可能有光子，甚至更多……

電子（或μ子）可以和光子發(fā)生相互作用，用如下費(fèi)曼圖表示：

這里e表示電子，γ表示光子，整個(gè)圖的意思是電子可以在從左到右的傳播中吸收或放出一個(gè)光子。這是一個(gè)“裸”頂角，即沒考慮高階的圖形修正。

根據(jù)微擾論，存在更高階的圖形，比如再多一根相互作用的線（光子的線），如下圖：

這里l表示輕子（即電子，μ子，或τ子），當(dāng)輕子l在從右向左跑的過程中，如果只考慮外線，看起來也是只吸收或發(fā)射了一個(gè)光子γ，但還有一根內(nèi)線（波浪線），表示輕子l在右側(cè)先放出（或吸收）一個(gè)光子γ，然后傳播到左側(cè)的時(shí)候又吸收（或放出）這個(gè)光子γ。這個(gè)內(nèi)線的光子γ也被稱為虛光子。如果考慮這個(gè)圖形的修正后，g就不是2了，而是比2稍大（g=2+α/π=2.0023234，這里α是精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)）。

這種微擾計(jì)算可以一直計(jì)算下去，比如引入兩根內(nèi)光子線，需要考慮9個(gè)圖形：

這里圖7，中間有個(gè)泡泡，表示的是μ子對的產(chǎn)生和湮滅，圖8中的泡泡表示的是電子對的產(chǎn)生和湮滅，圖9中的泡泡表示的是τ子對的產(chǎn)生和湮滅。迄今，我們只考慮了光子γ作為相互作用的中介，換句話說我們是在量子電動力學(xué)（QED）的框架下進(jìn)行的微擾展開。

我們可以繼續(xù)考慮三根內(nèi)線，由于電磁相互作用較弱，QED的這種微擾展開很快就收斂了。即高階的修正項(xiàng)，雖然要算很多圖形（對應(yīng)很多積分），但會快速變小。以下是三根內(nèi)光子線的費(fèi)曼圖：

4根內(nèi)光子線的費(fèi)曼圖簡直就畫不完了，以下是一些代表性的圖形：

括號里是每類圖形內(nèi)的數(shù)量。還有5根內(nèi)光子線的費(fèi)曼圖：

這意味著要算幾千個(gè)積分……

還有弱相互作用，我們需要考慮如下圖形：

這里外線都是相同的，換句話說我們看到的都是輕子從左往右跑，在此過程中吸收或放出了一個(gè)光子，但由于標(biāo)準(zhǔn)模型，或我們的世界中存在各種粒子，各種各樣的虛過程在量子場論的框架下也要考慮。左邊的圖表示的是W玻色子參與的頂角修正，中間的圖表示的是Z玻色子參與的頂角修正，右圖表示的是希格斯玻色子參與的頂角修正。

類似QED里的微擾展開，我們可以在以上三個(gè)圖里插入各種各樣的虛過程，然后對它們進(jìn)行分門別類的計(jì)算，比如考慮兩根相互作用的內(nèi)線：

這里f和f'表示費(fèi)米子。a)，b)圖表示的是一個(gè)電磁相互作用內(nèi)線γ，和一個(gè)Z玻色子內(nèi)線，c)圖表示的是兩根Z玻色子內(nèi)線，d)和e)圖表示的是兩根W玻色子內(nèi)線，f)圖表示的是一根電磁相互作用γ和一根希格斯玻色子H內(nèi)線。

值得注意的是f和f'也可以是夸克，這就涉及了量子色動力學(xué)（QCD）的計(jì)算了。換句話說，我們考慮弱相互作用修正的時(shí)候其實(shí)已經(jīng)要用到QCD的知識了。對描述強(qiáng)子運(yùn)動的QCD而言存在所謂漸進(jìn)自由，即高能的時(shí)候，粒子反而更自由，相互作用小，我們可以使用微擾論進(jìn)行計(jì)算。但對低能情形，由于相互作用很強(qiáng)，微擾論是失效的，我們只能通過尋找一些有效理論或非微擾技巧進(jìn)行計(jì)算。

這里不做展開，直接進(jìn)入最難的部分，即基于強(qiáng)相互作用（QCD）的頂角修正，費(fèi)曼圖如下：

這里表示μ子自左向右傳播，傳播過程中吸收或放出了一個(gè)光子γ，同時(shí)作為內(nèi)線，里面包含了一個(gè)灰色的泡泡，這個(gè)灰色的泡泡里面表示的是強(qiáng)子的真空極化。灰色表示“棘手”，不好處理的意思。

由于強(qiáng)相互作用不能用微擾展開，這個(gè)灰色泡泡的計(jì)算必須另辟蹊徑。根據(jù)光學(xué)定理，總散射截面，不論其中細(xì)節(jié)如何，可與向前散射矩陣元的虛部聯(lián)系起來。這意味著我們通過測量正負(fù)電子對湮滅為強(qiáng)子的散射截面，即可推算出這個(gè)泡泡的值。

正負(fù)電子對湮滅可表示為：

我們關(guān)心的其實(shí)是右半部分，即強(qiáng)子產(chǎn)生的部分，通過散射截面的測量，我們可推出強(qiáng)子的真空極化部分（灰色泡泡）。

類似地，我們也可以考慮更高階的修正：

以下不做進(jìn)一步展開，我們已經(jīng)可以理解最近的g-2實(shí)驗(yàn)。

消失的5σ

g=2是0階意義下的QED結(jié)果，對g=2的偏離，一方面來自考慮了更多電磁相互作用（光子γ）內(nèi)線，也來自包含弱相互作用（W, Z, H）的內(nèi)線，和強(qiáng)相互作用的強(qiáng)子真空極化。這意味著我們只需要研究g對2的偏離就可研究真實(shí)世界是否偏離了標(biāo)準(zhǔn)模型。

我們定義a=(g-2)/2，來研究這個(gè)偏離。

比如，對電子e而言，計(jì)算光子（QED）對a的貢獻(xiàn)：

QED框架下，考慮5根內(nèi)光子線（Phys. Rev. D?96, 019901 (2017)），自能圖如下：

共389個(gè)自能圖，代表6354個(gè)頂角圖。

實(shí)驗(yàn)值是：

可見一直到小數(shù)點(diǎn)后的第11位，QED給出的理論值和實(shí)驗(yàn)值都是一致的（弱相互作用和強(qiáng)相互作用導(dǎo)致的修正也可計(jì)算，但貢獻(xiàn)非常小，和誤差基本是一個(gè)數(shù)量級，Phys. Rev. Lett.?109, 111807 (2012)）。費(fèi)曼曾經(jīng)說QED是迄今為止最精確的理論，基于的就是以上理論值和實(shí)驗(yàn)值的比較。

對μ子而言，基于標(biāo)準(zhǔn)模型，考慮了QED，弱相互作用和強(qiáng)子相互作用后，最新的a值為（Physics Reports?887, 1-166, (2020)）：

需要說明的是，a值的理論結(jié)果依賴于計(jì)算過程，比如QED微擾論展開到多少階等，特別是第三項(xiàng)，由于強(qiáng)子導(dǎo)致的修正，有不同計(jì)算方案。比如剛剛上文介紹的基于正負(fù)電子對湮滅為強(qiáng)子的散射截面的計(jì)算。即我們通過實(shí)驗(yàn)獲得這個(gè)散射截面然后代入強(qiáng)子修正項(xiàng)的計(jì)算。

2023年8月10號Fermilab公布的最新實(shí)驗(yàn)數(shù)值為：

二者的差異為：249 e-11，均方差σ為：

理論值和實(shí)驗(yàn)值的差達(dá)到了驚人的5.2σ。這意味著存在超出標(biāo)準(zhǔn)模型的新物理（比如：超對稱？）。另外，我們?yōu)槭裁催x擇用μ子做這個(gè)a值的測量，就是因?yàn)閍_μ比a_e變化更敏感，因此更容易被探測到。a_e的測量值現(xiàn)在基本上用QED就全解釋了，就算有來自其他相互作用的貢獻(xiàn)，也容易被淹沒在實(shí)驗(yàn)的誤差里。

μ子g-2實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可見隨著時(shí)間的發(fā)展，a_μ越測越精確了。

但這并不是故事的全貌，因?yàn)槲覀冞€可以用格點(diǎn)QCD的方法直接計(jì)算a，從而避免使用正負(fù)電子對湮滅為強(qiáng)子的散射截面數(shù)據(jù)。格點(diǎn)QCD是一種數(shù)值計(jì)算方法，通過在時(shí)間-空間上打格子直接計(jì)算強(qiáng)子的真空極化。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，利用格點(diǎn)QCD方法做計(jì)算越來越容易，并且計(jì)算出來的結(jié)果也越來越自洽。

時(shí)空離散化，格點(diǎn)QCD示意。

由于QCD在低能部分無法使用微擾展開，理論的困難主要在于計(jì)算低能強(qiáng)子真空極化（LO-HVP）?；诟顸c(diǎn)QCD，這部分對a_μ的貢獻(xiàn)如下圖（Nature?593, 51–55 (2021)）：

紅色數(shù)據(jù)點(diǎn)是剛剛介紹過的使用散射截面數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果，綠色數(shù)據(jù)點(diǎn)是使用格點(diǎn)QCD的計(jì)算結(jié)果，可見2021年的這項(xiàng)工作（實(shí)心綠色數(shù)據(jù)點(diǎn)）較之紅色數(shù)據(jù)點(diǎn)有顯著增加，如果我們采用這個(gè)數(shù)據(jù)的話，不需要超出標(biāo)準(zhǔn)模型的新物理就可使理論和實(shí)驗(yàn)符合。

看起來這是兩種算法之爭，時(shí)間對使用計(jì)算機(jī)模擬的格點(diǎn)QCD更有利?？茖W(xué)家期待在一兩年內(nèi)就使理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完美吻合。

對希望發(fā)現(xiàn)超越標(biāo)準(zhǔn)模型新物理的人來說，還有一個(gè)壞消息。

最近一組俄國科學(xué)家發(fā)表了一項(xiàng)最新的正負(fù)電子對湮滅的散射截面測量（arXiv:2302.08834），令人驚訝的是他們的數(shù)據(jù)與從前類似的測量都不相同，如果我們把他們的數(shù)據(jù)代入重新計(jì)算低能強(qiáng)子導(dǎo)致的a_μ的話，g-2理論與實(shí)驗(yàn)的差異也將消失。

最下CMD3是基于最新的正負(fù)電子湮滅散射截面數(shù)據(jù)計(jì)算出的對a_μ的貢獻(xiàn)，相比于從前的計(jì)算值有明顯的增加。這是否意味著以前的散射截面實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有系統(tǒng)性誤差呢？

費(fèi)米實(shí)驗(yàn)室的g-2實(shí)驗(yàn)裝置，里面有用超導(dǎo)磁鐵。

Fermilab這次發(fā)布的更精確的a_μ實(shí)驗(yàn)數(shù)值意義還是重大的，越來越精確的實(shí)驗(yàn)值和理論值是做出進(jìn)一步科學(xué)發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)。但目前，我們還沒有發(fā)現(xiàn)超出標(biāo)準(zhǔn)模型新物理的充分證據(jù)。

總之：說好的5σ差異，說好的大新聞，說好的新物理，就這么泡湯了。

參考

1. Martinus Veltman，《神奇的粒子世界》

2. 粒子物理導(dǎo)論，《粒子物理導(dǎo)論》

3. Michio Kaku, Quantum Field Theory: A Modern Introduction (Book)

4. F. Jegerlehner, The Anomalous Magnetic Moment of the Muon (Book)

本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自微信公眾號“奇跡筆記”。