向量空間又稱線性空間，是線性代數(shù)的中心內(nèi)容和基本概念之一。在解析幾何里引入向量概念后，使許多問題的處理變得更為簡(jiǎn)潔和清晰，在此基礎(chǔ)上的進(jìn)一步抽象化，形成了與域相聯(lián)系的向量空間概念。譬如，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的集合在定義適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算后構(gòu)成向量空間，在代數(shù)上處理是方便的。單變?cè)獙?shí)函數(shù)的集合在定義適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算后，也構(gòu)成向量空間，研究此類函數(shù)向量空間的數(shù)學(xué)分支稱為泛函分析。

向量空間亦稱線性空間。它是線性代數(shù)的中心內(nèi)容和基本概念之一。設(shè)V是一個(gè)非空集合，P是一個(gè)域。若：

1.在V中定義了一種運(yùn)算，稱為加法，即對(duì)V中任意兩個(gè)元素α與β都按某一法則對(duì)應(yīng)于V內(nèi)惟一確定的一個(gè)元素α+β，稱為α與β的和。 [2]

2.在P與V的元素間定義了一種運(yùn)算，稱為純量乘法(亦稱數(shù)量乘法)，即對(duì)V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對(duì)應(yīng)V內(nèi)惟一確定的一個(gè)元素kα，稱為k與α的積。

3.加法與純量乘法滿足以下條件：

1) α+β=β+α，對(duì)任意α，β∈V.

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，對(duì)任意α，β，γ∈V.

3) 存在一個(gè)元素0∈V，對(duì)一切α∈V有α+0=α，元素0稱為V的零元.

4) 對(duì)任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β稱為α的負(fù)元素，記為-α.

5) 對(duì)P中單位元1，有1α=α(α∈V).

6) 對(duì)任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).

7) 對(duì)任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.

8) 對(duì)任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

則稱V為域P上的一個(gè)線性空間，或向量空間。V中元素稱為向量，V的零元稱為零向量，P稱為線性空間的基域.當(dāng)P是實(shí)數(shù)域時(shí)，V稱為實(shí)線性空間.當(dāng)P是復(fù)數(shù)域時(shí)，V稱為復(fù)線性空間。例如，若V為三維幾何空間中全體向量(有向線段)構(gòu)成的集合，P為實(shí)數(shù)域R，則V關(guān)于向量加法(即平行四邊形法則)和數(shù)與向量的乘法構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間。又如，若V為數(shù)域P上全體m×n矩陣組成的集合Mmn(P)，V的加法與純量乘法分別為矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法，則Mmn(P)是數(shù)域P上的線性空間.V中向量就是m×n矩陣。再如，域P上所有n元向量(a1，a2，…，an)構(gòu)成的集合P對(duì)于加法：(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)與純量乘法：λ(a1，a2，…，an)=(λa1，λa2，…，λan)構(gòu)成域P上的線性空間，稱為域P上n元向量空間。

線性空間是在考察了大量的數(shù)學(xué)對(duì)象(如幾何學(xué)與物理學(xué)中的向量，代數(shù)學(xué)中的n元向量、矩陣、多項(xiàng)式，分析學(xué)中的函數(shù)等)的本質(zhì)屬性后抽象出來的數(shù)學(xué)概念，近代數(shù)學(xué)中不少的研究對(duì)象，如賦范線性空間、模等都與線性空間有著密切的關(guān)系。它的理論與方法已經(jīng)滲透到自然科學(xué)、工程技術(shù)的許多領(lǐng)域。哈密頓(Hamilton，W.R.)首先引進(jìn)向量一詞，并開創(chuàng)了向量理論和向量計(jì)算。格拉斯曼(Grassmann，H.G.)最早提出多維歐幾里得空間的系統(tǒng)理論。1844—1847年，他與柯西(Cauchy，A.-L.)分別提出了脫離一切空間直觀的、成為一個(gè)純粹數(shù)學(xué)概念的、抽象的n維空間。特普利茨(Toeplitz，O.)將線性代數(shù)的主要定理推廣到任意域上的一般的線性空間中。本文由101教育整理發(fā)布。