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group theory 4 sub group

2023-08-08 12:04 作者:wuaudio 0人讀過 | 我要投稿

$G$ 有一個子集 $A$ 繼承了 $G$ 的運算并且成為一個群，就叫做子群 $A%3CG$ 。

在有限群的框架下可以討論一些 $A$ 和 $G$ 的關(guān)系。 $A$ 作為一個子群，如果你取 $a%5Cin%20A$ ,再考慮集合 $aA%3D%5Clbrace%20ag%3Ag%5Cin%20A%5Crbrace$ ，你會發(fā)現(xiàn) $aA%3DA$ 。而如果你取 $b%5Cin%20G-A$ ,就會發(fā)現(xiàn) $bA%5Ccap%20A%3D%5Cvarnothing$ ，反證法: $ba%3Da%5E%5Cprime%5CRightarrow%20b%3Da%5E%5Cprime%20a%5E%7B-1%7D%5Cin%20A$ 。再看 $cA$ 和 $bA$ 有沒有關(guān)系，作如下推導(dǎo) $bA%5Ccap%20cA%5Cneq%20%5Cvarnothing%5CRightarrow%20ba%3Dca%5E%5Cprime%5CRightarrow%20b%5Cin%20cA%5CRightarrow%20bA%5Csubset%20cA%5CRightarrow%20%20bA%3DcA$ ?，因此這些左陪集全都是不相交的。而且每個集合的元素個數(shù)都是 $%7CA%7C$ 。這說明 $%7CA%7C%5Cmid%20%7CG%7C$ 。