高中數(shù)學基礎(chǔ)與解法全集之我的筆記（會不斷補充）?

寫在前面：參考我的筆記前請看評論區(qū)置頂。

第一部分【初高中銜接知識】

課題1：乘法公式

1.知識梳理

以上公式應(yīng)熟記，其中一個數(shù)的幾次方的每一項的系數(shù)可以用楊輝三角進行推導（首項末項系數(shù)為1，中間系數(shù)為兩數(shù)相加之和），不管怎樣以上公式各項符號均為正前負后，一定要注意。

2.例題講解

聽完一哥講解，你發(fā)現(xiàn)沒有？這三道例題我們是怎么做的？是不是都是先看已知條件，轉(zhuǎn)化為我們學過的東西來解決問題？你通過轉(zhuǎn)化發(fā)現(xiàn)你又需要求什么，根據(jù)已知再轉(zhuǎn)化，這就是一哥所講的逆推順正的思想。

課題2：絕對值的意義和解題方法

1.絕對值的代數(shù)意義和幾何意義

探究絕對值的代數(shù)意義，我們可以通過分類討論的方法，討論a的3種情況（a當然不會就只指a，代數(shù)式也行），在解題中，用代數(shù)意義更容易理解，推薦使用。

探究絕對值的幾何意義，我們運用數(shù)軸，轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離（舉例請認真聽一哥講解）。

以上例子之中，我們遇到絕對值就分類（按照零點分類，目的是去掉絕對值），討論絕對值中代數(shù)式的情況（原式或者其相反數(shù)），然后解不等式即可。相比于幾何法，我們不難發(fā)現(xiàn)，代數(shù)意義應(yīng)用更廣，更好理解，幾何意義運用范圍有限，所以首推代數(shù)法。

2.一元二次方程和絕對值的結(jié)合

與前面一樣，先分情況討論，再解方程就可以了（十字相乘法）。

如果是解不等式，仍然一樣，分類討論，解不等式就可以了。

你發(fā)現(xiàn)了嗎？這三個例子，我們都有一個共同的方法——分類，這也是本次課的核心，也就是絕對值的代數(shù)意義。題不同，方法卻萬變不離其宗，我們應(yīng)以不變應(yīng)萬變。遇到絕對值，就分類討論，轉(zhuǎn)化成所學求解就可以了。

課題3：二次函數(shù)中的a,b,c

1.知識梳理

• a作用：控制二次函數(shù)開口方向，a＞0，開口向上，a＜0開口向下（a≠0），a又影響二次函數(shù)的增長速率（“陡峭程度”）
• b作用：單獨無作用，與對稱軸相關(guān)
• c作用：二次函數(shù)與y軸的交點

a,b,c可共同組成?=b2－4ac，運用公式法又可以求出與x軸的交點（?≥0，?＝0時，x?=x?）。

2.例題講解

①零點轉(zhuǎn)化為交點（將一元二次方程根的問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的圖像，方程右邊其實就是二次函數(shù)的y）

這一道題考察的是二次函數(shù)a的作用，前面說了它可以影響函數(shù)的“陡峭程度”，由于他的兩個根不能變，必須經(jīng)過，由此我們繪制出三個圖像，令y=1后肉眼可見x的大小關(guān)系。

②通過a,b,c的作用判斷對錯

解決這一類題一定要對二次函數(shù)的a,b,c的作用足夠熟悉，充分利用已知條件找到a,b,c之間的關(guān)系。著重說一下序號4，通過圖像，我們不難發(fā)現(xiàn)：a＞0時，離拋物線對稱軸越遠，y值越大；a＜0時，離拋物線對稱軸越遠，y值越小。

③縱坐標大小取決于橫坐標與對稱軸之間的距離

上題已知y之間的關(guān)系可以推出a的大小，通過畫圖又推出x之間的關(guān)系。

綜上，我們一定要打通一元二次方程和二次函數(shù)之間的關(guān)系，圖像往往能更直觀地解釋問題。

課題4：含參（含有未知數(shù)）一元二次函數(shù)相關(guān)問題

1.知識講解

①最值：不用死記，畫圖一目了然。根據(jù)他給的區(qū)間和對稱軸討論即可。

②根的分布：給根的范圍，求滿足需要的條件。畫圖！看端點，找關(guān)系。

③不等式：畫圖！看要求，再對照自己畫的圖，一目了然。

2.例題講解（認真看！）

看這道題，⑴問直接給了a，這就很好了，代進去，畫個圖一看，什么時候最?。宽旤c最小，y也就解出來了。

⑵問，觀察二次函數(shù)，可以求出我們的對稱軸x=2，但是a不知道咋辦？分類討論a，a＞0時，離對稱軸越遠y越大（知識的詳見前面的課題），顯然x=4離對稱軸更遠，所以f⑷=4（當x=4時y的值為4）；a＜0時，頂點所在y最大，所以f⑵=4，從而解出a的值。過程如下：

注：如（0,1）指0到1之間不包括0,1的所有實數(shù)

題目給了根的范圍，老方法畫個圖，再找端點，就可以找到f(x)的關(guān)系了，然

后再解不等式，a的范圍就解出來了，過程如下：

其實我們也可以發(fā)現(xiàn)，括號之中1,2條件其實控制了跟在0和1之間，條件2,3條件控制了根在1和2之間。

這一類題我們往往要帶上對稱軸，⑴問直接用 ?即可。⑵問，畫圖！列條件！首先必須保證?＞0吧（2個不同解）；對稱軸絕對不能在－1左邊吧，必須在右邊，但是畫圖發(fā)現(xiàn)還是有可能解比－1小??？對比兩個圖，我們發(fā)現(xiàn)f⑴的大小不同，為了控制小的那個根大于－1，f⑴應(yīng)大于0才行，然后解出來即可。

因此我們解決此類題目一般有三個要點：△，對稱軸，f(x).

來看不等式問題，首先告訴了解集，x取的是中間，所以函數(shù)開口必須向下。由于1是個零點，代進去使其等于0就可以解得a了，b就是另外一個根。⑵問不等式比較復雜，我們嘗試看看能不能因式分解，分解出來后可以得到兩個根，一個根含參，我們就將這個根討論與另一個已知根的大小就可以得出解集了。

綜上，含參一元二次函數(shù)求最值一定要知道a的大小，根的分布需要知道根的表現(xiàn)情況，不等式畫圖，如果不知道根的情況，分類討論即可。這節(jié)課我們都畫了很多圖來解決問題，也足以體現(xiàn)畫圖解題的重要性了。

課題5：韋達定理相關(guān)問題

1.知識梳理

2.例題講解

本節(jié)課中幾乎每道題都提到了實數(shù)根的問題，這個前面有講過，就是看?（?＞0，兩個不同實數(shù)根，?＝0，兩個相同實數(shù)根）。先來看第一題：

沒啥好說的，就是韋達定理的應(yīng)用。再看第二題：

題目信息一定要看清楚，標在旁邊，看到實數(shù)根一定要想到?，這樣可以求出一個范圍，看⑴問題目，一定要往韋達定理方面靠，這樣我們就可以得到方程，再根據(jù)范圍，取舍即可。⑵問我們將T通分，轉(zhuǎn)化成韋達定理能求的，轉(zhuǎn)化成m的式子，再根據(jù)范圍，求出T的范圍。就完了？不對！注意我們化簡過程中，一定要注意到增根！這就是一個大坑，請務(wù)必當心！過程如下：

最后看第三題：

我們著重看第二問，公式一定要記住，代進去解方程就可以了。一哥在視頻中還介紹了其他的方法：其實就是十字相乘法，求出兩個根代進去解方程，但是太麻煩，不推薦。

綜上對于方程實數(shù)根一定要想到?，解題盡量往韋達定理上靠。這其實就是數(shù)學的重要思想之一——轉(zhuǎn)化。

第二部分【必修一】

第一單元：集合與常用邏輯用語

課題6：集合的基本定義和表示方法

知識梳理：

1.定義：一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。

2.集合的表達：如上圖

3.三大特性：

①確定性：一個集合要合理存在，其中的元素一定要確定。“較大的數(shù)”不能構(gòu)成集合，因為組成它的元素是不確定的。

②互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重復出現(xiàn)。

③無序性：集合中的元素沒有固定的順序，元素可以任意排列。

4.表示方法：

①列舉法（上面是常用集合分類）

②描述法：

3.區(qū)間法：

先畫圖，用開區(qū)間和閉區(qū)間表示。例如下面x＜5，－∞表示小于5的最小的那個數(shù)，所以－∞是取不到的，所以用開區(qū)間，因為5也取不到，所以也用開區(qū)間。又如下面1＜x≤3,1取不到，3取得到，所以3后面用閉區(qū)間 。

課題7：集合之間的關(guān)系

知識梳理：

1.?子集：一般地，對于兩個集合A,B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A是集合B的子集。（記法如上圖所示），我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合：

以上這個圖我們稱為Venn圖。

2.集合相等：如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，則集合A和集合中B的元素是一樣的，因此集合A與集合B相等。

3.真子集：若集合A?B，但存在元素x?B，且x?A，就稱集合是集合的真子集。

4.空集：不含任何元素的集合稱為空集。?

規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

5.交集和并集：

交集很好理解，就是兩個集合相交的部分，即共同部分（圖中陰影處），一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合,叫做集合A與集合B的交集；并集就是兩個并列的集合：一般地，由屬于集合A或?qū)儆诩螧的所有元素組成的集合，稱為集合A和B的并集。

6.補集：

首先，什么是全集？定義：一般地，如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就成這個集合為全集。

什么是補集？定義：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集。簡單來說就是在全集U中除了集合A以外的所有元素所構(gòu)成的新的集合。我們可以通過數(shù)軸來理解。

以下是舉的例子是對各種子集的討論：

至此本節(jié)課的筆記就結(jié)束了，大家課后一定要勤加練習。

課題8：集合

本節(jié)課核心思想：發(fā)散思想（從一到無窮大）

什么是發(fā)散思想？簡單來說就是從一個很簡單很微小的東西，逐漸擴展發(fā)散出許多不一樣的東西。就像是一棵樹木的根，不斷發(fā)展探索，生長出更多根系，最終牢牢扎根于土壤。而這個思想，對于數(shù)學學習是一個很好的借鑒，這節(jié)課就是很好的一個例子。

首先，你看這個集合A，是不是一個很普通的描述法的集合，而我們想想，它是否有其他的表達方法呢？沒錯，正是前面所提到的區(qū)間法。于是，我們可以這樣描述（最右邊是它的數(shù)軸表示，即畫圖法）：

再來看這個集合B：

同樣是描述法，它卻不一樣，它表示的是一個一元二次不等式的構(gòu)成的集合，這個前面講過，把它解出來（畫個圖{函數(shù)圖像}，看大于小于{題目的信息}，用陰影標出，看方向決定大于小于），其中畫圖的前提是你知道它其中的至少兩個點，這時候就又需要我的的十字相乘法（如下圖所示）。

我們再改一下：

我們只是改了一個條件：x∈Z，這樣解就有限了，我們可以運用列舉法表達。

如果我問它的子集個數(shù)呢？非空子集個數(shù)呢？真子集個數(shù)？非空真子集個數(shù)？

其實我們不難發(fā)現(xiàn)，這幾個問題都是由子集問題不斷加限制形成。而子集個數(shù)前面我們找規(guī)律后講過，就是2?（n表示集合中元素的個數(shù)），問非空子集個數(shù)減去空集即可，問真子集個數(shù)減去自己即可，問非空真子集個數(shù)減去空集和自己即可。

我們再從交并關(guān)系討論，討論集合AB的交集和并集，我們從字面上就可以理解：交集就是集合中有交集的地方，并集就是把兩個集合并在一起，即兩個集合的最大范圍。

再想想補集。

如果你是這么想的，“恭喜你”，你成功地漏解了。

看圖你會驚奇地發(fā)現(xiàn)，有個-3狗狗搜搜地躲在那里，而-3集合A有，而集合B沒有，所以它應(yīng)該在補集中。如下圖所示：

學完這節(jié)課，你也許會驚奇地發(fā)現(xiàn)，通過兩個集合，就將前面的知識全部串連了起來，就像從1開始，逐漸發(fā)現(xiàn)了更多數(shù)字，一直到無窮大，這就是一哥課程名字的由來。也希望大家能借鑒這個方法，學好數(shù)學！

課題9：集合的互異性相關(guān)問題

1.本質(zhì)：集合里面的元素互不相同。

2.例題：

我們做這類題，我們只需要注意同一個集合中集合中的元素不同就可以了。上面這道題我們運用的是分類討論的思想，討論a2-a+1與前面幾個元素是否相同（但有個大前提就是a的取值）。

（補充：上題中p≠±1）這道題考察集合相等和互異性。集合相等顧名思義就是集合中所以元素一樣。所以我們這道題還是要分類討論，于是們可以得到兩個方程，但是請注意互異性！

課題10：集合相等的證明方法

1.證明方法：

2.如果元素較多該如何證明集合相等——通項相等。

【例題】

總結(jié)：通項相等，我們一定要把各個集合用表達式表示出來，表示出來之后盡量往一個形式里面靠，這樣我們才能找到它們之間的關(guān)系。例如上題，我們先是通分使形式相近，再轉(zhuǎn)化為同樣的表達方式，就可以比較兩個集合的范圍大小了（實在不行舉幾個例子探究規(guī)律也行）。

3.如果不好用元素相等怎么辦——定義法。

【例題】

例如上題，雖然已經(jīng)有表達式，但是用通項法并不好做。那么我們就用定義法。第一步相信大家都看懂了，第二步我們要找到對應(yīng)的m,n使之成立，我們就令m,n是k的若干倍，可以直接消掉k。因為7,18互質(zhì)就一定能找到對應(yīng)的系數(shù)。我們從小的數(shù)開始找，找到了這道題就解決了。（一哥畫圈的地方步驟可以省略）

課題11：子集相關(guān)問題

1.解題思路：

2.例題：

【例題1】

這道題元素有限，所以我們可以采用列舉法，但是我們的分類依據(jù)一定要嚴格！這道題我們是根據(jù)集合元素個數(shù)分了三類，一定要注意??和?的區(qū)別（前者元素數(shù)目可以相等，后者元素數(shù)目不可以相等）。

【例題2】

這一類題目告訴了集合的區(qū)間，所以我們采用區(qū)間法，而畫數(shù)軸是最直觀的。但是請注意真子集是任何集合的子集，所以我們一定要討論空集?。?！最后取值范圍一定要寫成集合形式。

【例題3】

這一類題屬于新定義題。解決這道題目的關(guān)鍵在于理解題目，而這道題我們完全可以理解為A??S而且里面的元素（個數(shù)為4）一定要相鄰。之后我們再根據(jù)集合中的最小元素進行討論。再強調(diào)一遍，分類依據(jù)一定要嚴格?。?！

課題12：集合的交并補混合運算（基礎(chǔ)）

1.解題思路：

解決此類問題有兩種思路：

①區(qū)間法，題目中往往會告訴集合元素的區(qū)間，我們可以畫數(shù)軸來解決問題。

②Venn圖法，這種方法適用于兩種情況：一種是對集合中元素尚不清楚；一種是集合中元素為若干個分散元素。

2.例題

【例題1】

⑴問直接告訴a，代進去畫個數(shù)軸找就行了。但是一定要注意數(shù)軸中的實心空心，避免漏解。⑵問就有了未知數(shù)了，因為a的取值不確定，所以我們要分類討論a的取值。

【例題2】

這道題中集合是相當模糊的，我們可以用Venn圖大致表示他們之間的關(guān)系，畫圖一目了然。前提是要對交并補的概念足夠熟悉，避免畫錯圖。

課題13：集合易錯點總結(jié)（中檔）

1.表達方式

這里特別注意，一個集合也可以是多個集合組成的集合的集合，簡單來說就是集合里面的元素換成了集合而已，本質(zhì)上還是一樣的。

2.集合中的代表元素

集合中的代表元素不同，那么構(gòu)成的集合也就不同。上面的例子就能很好地說明這一點，他們的代表元素不同，集合的區(qū)間也不相同。集合C是一個點集。

3.描述法表示集合

我們就只需要理解一點：左邊的代表元素構(gòu)成了集合，右邊是對它的描述。

4.空集

這一類型的題目很容易漏解，記?。?strong class="ql-bg-#fff359">空集是任何集合的子集。集合不確定時一定要討論空集！

5.證明集合之間的關(guān)系

①列舉法

②定義法：證明他們互相為對方的子集。（用于證明集合相等。如果不相等，一定要把形式往一個方面靠，找出他們的范圍大小）

這道題我們用定義法做。我們就看A中的任意一個元素B中都有，B中的任意一個元素A中都有。由于m,n∈Z，所以7m+18n肯定為整數(shù)，k一定取得到，所以A中的任意一個元素B中都有；第二種如果我們還是用第一種的方法的話就會有爭議：2k是整數(shù)了，可是7m+18n中的m,n一定是整數(shù)嗎？這正是我們要去證明的（詳細證明過程請看視頻P12），我們發(fā)現(xiàn)：當m=-5k,n=2k時成立，因為k為整數(shù)，所以就保證了m,n為整數(shù)，因此B中的任意一個元素A中都有。

6.高考真題

畫數(shù)軸一目了然，選B。

這里一哥用的列舉法，我在這里證明一下。我們把t=4n+1改寫一下，變成2（2n）+1。你發(fā)現(xiàn)沒有，S當中2后面是n，n∈Z；而T當中2后面是2n,n∈Z。一個是整數(shù)，另一個是整數(shù)但是只能是偶數(shù)，所以T肯定包含于S。選C。

課題14：集合的新定義問題

1.思路概述（見招拆招）：

2.例題：

解決這道題的關(guān)鍵是讀懂題目，題目怎么要求我們就這么做，見招拆招?；谶@道題集合元素較少，我們畫Venn圖出來一目了然，進而找到它的差集，子集個數(shù)自然也就出來了。

這道題也是一樣。給了兩個集合我們可以把他們的區(qū)間表示出來，然后用數(shù)軸表示，再根據(jù)定義就可以了。（一定要注意數(shù)軸中的實心空心?。?/span>

這道題的難點是不漏解。而應(yīng)對這種類型的題目，我們一定要有嚴格的分類依據(jù)！這道題我們就以元素的個數(shù)分類，最后總和一下個數(shù)即可。另外我們可以直接舉個例子，有助于理解題目。

課題15：集合拓展

1.例題講解

此類題考察交并關(guān)系。第一問我們一定要討論集合B，因為集合B的區(qū)間含有未知數(shù)，很有可能是空集，而空集是任何集合的子集，是符合題意的。第二問我們就需要畫數(shù)軸來解決問題，注意：一定要看清楚是空心還是實心！最后請寫作集合形式。

這道題就有意思了。第一問我們怎么也無法找到x+y。我們換個思路，題目給的是相減，我們給他轉(zhuǎn)化一下，y咋們給他變成-y。再相減不就完了嗎？而-y我們又可以通過0-y得到，當x=y時，0∈M。所以我們理一下思路，再正過來寫就OK了。而這就是逆推順正的思想。

第二問我們首先是想證明x(x+1)∈M，可是X2很難證明其屬于M。所以，我們換一個思路。把原式再轉(zhuǎn)化一下：

我們就只需要證明他們分母屬于M就可以了。而題目又給出了1∈M，根據(jù)定義得解。

課題16：【集合挑戰(zhàn)150】全面提升（拔高）

1.例題講解

遇到這類復雜一點的Venn圖，我們不要怕，一步一步來，把每一個選項的圖畫出來，一個一個排除即可。但是前提是對交并補概念足夠熟悉！（不清楚的請看前面筆記）

我們考集合不一定只考數(shù)集，我們還可以考點集。而這道題略微有所不同，集合M的形式看上去有點詭異，但是又很熟悉。?x/?y（x?-x?/y?-y?）這種形式我們可以聯(lián)想到斜率（這道題只是將另一個x,y換成了數(shù)字而已）。而斜率我們又可以想到tan，證明斜率也很簡單——待定系數(shù)法。因此我們可以看成兩個點構(gòu)成的直線，再把圖畫出來，根據(jù)交并補定義，就可以解出來了。（請注意集合M中點(2,3)取不到）

這類求子集的題目，還是一樣，一定要有嚴格的分類依據(jù)！我們討論集合B當中的元素（3種情況，一定有a,c當中一個），再討論有無其他元素即可得出子集個數(shù)。

這道題也一樣，我們對集合Q進行分類。但是根據(jù)奇偶性，我們發(fā)現(xiàn)最后兩種情況結(jié)果都為奇數(shù)，意思就是說其中一定會有重復的部分（偶數(shù)除外，因為偶數(shù)在第一種情況之中），而他們都是15的倍數(shù)（舉例可以得到），x最大只能取到99，重復的部分又得是15的倍數(shù)，所以重復的部分最大為285，根據(jù)小學所學的項數(shù)算法可以算出重復的個數(shù)，在總的減去即可。

這一類題的關(guān)鍵在于畫圖，因為題目中集合的區(qū)間是已知的。主要看第二問，因為交集已知，要想范圍之中有個3，集合B中的一元二次不等式中一個根必須為3，另一個根的范圍也就可以知道了。但是我們要求的是a的范圍，這時候我們就要想到韋達定理（其專門打通根與根之間的關(guān)系），于是范圍就可以求出來了。BUT，我們有個大前提別忘了：集合B不能為空集（這道題對范圍沒有影響）。

第一小問沒啥好說的，根據(jù)定義即可得解。

第二小問A-B集合中的每一個元素都屬于{0,1}，所以A-B∈Sn。接下來我們將d(A-C,B-C)表示出來，這道題就基本上做完了。既然要使d(A-C,B-C)=d(A,B)，就證明他們中的每一個元素相等不就更簡單了嗎？但是證明的過程中，我們發(fā)現(xiàn)這個Ci很煩人，我們就把它討論一下，因為它就只有兩個值——0,1。最后發(fā)現(xiàn)確實是相等的，這道題也就證完了。

課題17：充分條件和必要條件

1.重點知識梳理與補充

一、命題

1.?命題的概念：一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.

2.?命題的形式：數(shù)學中命題常寫成“若p，則q”或者“如果p，那么q”，通常我們把命題中的p叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論.

舉個很簡單的例子：若p:我是重慶人，q:我是中國人。那么我是重慶人（p）能充分說明我是中國人（q），我是中國人（q）才可能是重慶人（p），所以我是中國人這個條件很有必要。

2.例題講解

（第三題包含未學內(nèi)容，不整理于此，前兩題詳細過程請聽一哥講解）

方法匯總：

①找結(jié)論和條件

②看二者之間的關(guān)系

課題18：全稱量詞和存在量詞

1.知識梳理

從字面上我們就可以很好理解。全稱量詞，單一個“全”字我們知道是所有/任意；而存在量詞，單一個詞“存在”說明不是全部，而是存在一個/至少有一個。其中一哥也拓展了：在(x)前面加個字母代表題目中出現(xiàn)了的有關(guān)x的結(jié)論。以下是書面解釋：

2.例題講解

這道題很簡單，把對應(yīng)的符號翻譯成中文，再通過尋找有無反例判斷真假命題即可。

我們判斷全稱量詞命題和存在量詞命題其實就是看他表示的對象是全體還是不是全體（單個），然后判斷真假命題即可。

課題19：命題的否定

1.知識梳理

注意：命題變否定命題條件結(jié)論都得否定！

2.舉例講解

本質(zhì)：對命題的所有部分進行否定。全稱、存在互相轉(zhuǎn)化，條件結(jié)論都變否定。但是注意有些的否定，例如奇數(shù)的否定 是 不是奇數(shù)，不是 偶數(shù)！（因為還有其他數(shù)的存在，例如分數(shù)等）

課題20：邏輯用語習題課

1.知識回顧

2.例題講解

這道題我們先把q和p表示出來，那么非p自然也就出來了（就是p的反面）。再看p,q互相推理即可。

關(guān)于不等式的充分必要條件題目，也是一樣的，p和q互相推理。這道題中第二種情況，我們無法確定p,q的大小（是否為正或者負），舉例后發(fā)現(xiàn)p,q為負時也成立了。證明必要性不成立。選A。

判斷真假命題，找是否有反例。

這道題還是一樣，跟著題目做就可以了，但是我們一定要對概念熟悉。

第二單元：一元二次函數(shù)函數(shù)、方程、不等式

課題21：一元二次函數(shù)基礎(chǔ)知識回顧（函數(shù)、方程、不等式）

1.知識梳理

首先，我們要建立起一元二次函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系。觀察形式我們不難發(fā)現(xiàn)，他們都是一元二次的式子，只不過與其構(gòu)成的關(guān)系不同罷了，所以我們應(yīng)該認識到他們本質(zhì)上是一個東西。而函數(shù)則是方程的圖像表示，不等式則是限定了條件的函數(shù)，所以我們往往看到的圖像只是整個函數(shù)圖像的一個部分。（注：當y=0時，也就是對應(yīng)的是x軸，而一元二次方程右邊一般是0，所以函數(shù)x軸交點是方程的解）

我們首先觀察以上三個函數(shù)，他們的?大小關(guān)系不同，我們將圖像畫出來之后，發(fā)現(xiàn)其根的情況又有所不同：?＞0，函數(shù)與x軸有兩個交點（方程有兩個根）；?＝0，函數(shù)與x軸有一個交點（方程有一個根）；?＜0，函數(shù)與x軸沒有交點（方程沒有根）。

函數(shù)不僅有一般式，還有兩根式：

兩根式a后面的二次項系數(shù)為1，也就是說a決定了二次項的系數(shù)，因此上面中二次項系數(shù)知道了，a也就確定了。

不等式也是一樣的，只是把后面的等式關(guān)系換成了不等關(guān)系，我們畫圖一目了然。唯一我們要明確的是：式子＞0，圖像取x軸上方；式子＝0，圖像取x軸；式子＜0，圖像取x軸下方。

2.例題講解

這道題還是一樣：畫圖！但是我們要注意函數(shù)的平移：對于未知數(shù)式子外的就是上加下減，即下圖的-2，對于未知數(shù)就是左減右加。

課題22：等式與不等式的性質(zhì)（初中知識回顧）

1.知識梳理

比大小方法：①作差法，結(jié)果與0比較。大于0則前者大于后者，反之則后者大于前者。②作商法，將兩個對象相除與1進行比較。

2.例題講解

這道題我們直接作差是不方便的，我們可以先平方再使用作差法。（但是前提是A,B＞0，如果A,B＜0就不能這么做啦）

這道題我們發(fā)現(xiàn)這些式子如果相除可以約分。于是我們就用作商法。（前提是A,B＞0）

【性質(zhì)歸納】

這道題我們正著不好證明，我們就逆推順正。先倒著推，最后就把過程順正即可。

課題23：基本不等式

1.知識梳理

注意：基本不等式前提是a,b＞0

常見運用如下：

2.例題講解

有的時候基本不等式的結(jié)論不能直接用，我們就想辦法讓根號里面的為常數(shù)。這道題我們是將式子拆開消掉了未知數(shù)，從而直接求解。

這道題關(guān)鍵在于理解a，我們運用基本不等式知道式子結(jié)果≥2，那么a只需要小于等于2即可。如果a取了大于2的數(shù)，那么原式很有可能取不到（因為式子結(jié)果≥2）。

本節(jié)課筆記就到此結(jié)束了，但是基本不等式內(nèi)容很少，題目的花樣很多。所以課后一定要勤加練習！

課題24：“1”的代換（中檔）

1.知識概述

這道題我們仔細觀察一下一哥的做法，不難發(fā)現(xiàn)，“1”的代換實際上就是用分式之和乘以它的倒數(shù)。這樣分式之和我們又能代換為前面的分式相加，相乘就會得到兩個不相同的分子分母互相顛倒的式子，這樣我們就可以直接運用基本不等式就能解出來了。

2.例題講解

這道題還是用“1”的代換。只不過與前面一道題略微不同的是換了個順序而已。如果是一道大題，我們還需要寫出它什么時候取等。

這道題我們還是要想到“1”的代換，求出值的范圍。我們也只需要滿足右邊的小于等于左邊即可。（上一個課時也講到了，這里不再贅述）我們畫一個圖，發(fā)現(xiàn)只需要滿足?≤0。（這樣圖像就不會在x軸下方）

課題25：不等式中的“湊形”

1.例題講解

這道題我們一定要搞清楚它的本質(zhì)。條件只要同時除以xy，就又可以得到分式相加，進而運用1的代換求解。

這個時候我們沒辦法直接用基本不等式，我們就可以嘗試湊出一個x-1，把前面x換成x-1之后加個2即可?；蛘呶覀儾贿@么做，將分母換元，將x用a表示，也可以使用基本不等式。（注意：基本不等式的使用前提是 a＞0，即x＞1）

（此題包含新教材未學內(nèi)容，暫且跳過）

但是這道題目思路還是可以說說的，三角形中求兩邊的最值應(yīng)該想到余弦定理（未學可以跳過），之后使用幾何平均數(shù)和算數(shù)平均數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系（平方之后），即可得解，但是一定要說清楚什么時候取等。

課題26：基本不等式（從一到無窮大系列）

首先我們先回憶基本不等式：

從左到右三個分別是平方平均數(shù)，算數(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)。

知識點1：直接使用基本不等式

例題1就是直接使用，沒啥好說的。例題二則需要我們使用幾何平均數(shù)和算數(shù)平均數(shù)的不等關(guān)系。

知識點2：“1”的代換

這種類型的本質(zhì)就是用分式之和乘以它的倒數(shù)，湊出一個1來。這樣分式之和我們又能代換為前面的分式相加，相乘就會得到兩個不相同的分子分母互相顛倒的式子，根號里面就一定是一個常數(shù)了。

而有的時候并不能直接使用基本不等式，這時候我們就需要補項。

第一個例子就是很簡單的湊一個x-1后補上一個1，從而使用基本不等式。第二個例子我們可能因為字母而找不到方法，我們可以使用換元法，使題目更清晰。最后轉(zhuǎn)化成能使用基本不等式的形式。

知識點3：換元法

正如我們前面所遇到的問題，因為式子復雜而找不到聯(lián)系，這就需要換元法的幫助啦。

這道題我們會覺得這個根號很煩，看上去無從下手，這個時候就使用換元法。由于我們要求√x+√y，所以我們試著找x,y之間的關(guān)系。而x,y與a,b又有關(guān)系。（平方可得）因此我們最后可以得到x2+y2=9，根據(jù)幾何平均數(shù)和平方平均數(shù)的不等關(guān)系可以得解。

這類題我們發(fā)現(xiàn)有相同項，也可以使用換元法。根據(jù)算數(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的不等關(guān)系得出t2與xy之間的關(guān)系，最后得到t的關(guān)系式，因為x,y＞0,所以t取正值。最后別忘了取等條件！

注：

此處我們可以這么理解：

課題27：不等式的性質(zhì)（基礎(chǔ)）

【例題1】

這道題我們直接就能知道a,c的大小關(guān)系，b的關(guān)系是未知的，因此我們可以通過b來排除選項，注意不等式中同乘負數(shù)要變方向。

【例題2】

比大小，通分作差與0比較大小。

【例題3】

有根號的比大小時，平方也是一種方法。為了更方便比較大小，我們要將形式盡量往一個方向靠。

【例題4】

A.平方差轉(zhuǎn)化，兩個相乘的數(shù)都大于0，因為a,b＞0，所以相加的大于相減的，a-b只能在0~1之間。

B.舉反例，如圖。

C.舉反例，如圖。

D.立方差公式轉(zhuǎn)化，“放小”湊形式，即可得解。

第三單元：函數(shù)的概念與性質(zhì)

課題28：函數(shù)的基本概念

一、函數(shù)的概念

1.?函數(shù)的概念：一般地，設(shè)A,B是非空的實數(shù)集，如果對于A集合中的任意一個數(shù)，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：

其中,x叫做自變量，y叫因變量。x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合

叫做函數(shù)的值域。

我們不難發(fā)現(xiàn)，其實函數(shù)在高中只是用集合重新定義了函數(shù)而已，本質(zhì)仍然是一樣的。自變量（x）和因變量（y）之間通過一個對應(yīng)關(guān)系關(guān)系f連接在了一起，為了更好地知道自變量到底是誰，我們用f(x)來代替y。所謂的定義域和值域不過是自變量（自己變化的變量）和因變量（因為自變量變化的變量）的范圍。只要確定了兩個函數(shù)定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，這兩個函數(shù)也就相等了。舉個例子：

y（f(x)）=2x，x∈Z

這個函數(shù)，x的范圍（定義域）和2（對應(yīng)關(guān)系）是確定的，y自然也就確定了。

二、舉例講解

1.

搞清楚定義域和值域是誰的范圍。

2.

第一組函數(shù)相等，都是y=x.不過要注意一點：

這種根號（根號上標為偶數(shù)，上圖根號為二次根號）下x需要大于等于0，奇數(shù)次根號不需要考慮。

第二組函數(shù)我們發(fā)現(xiàn)對應(yīng)關(guān)系不同，一個可正可負，一個有絕對值只能為正數(shù)，因此函數(shù)不相等。

課題29：函數(shù)的三大要素（定義域、解析式）（從一到無窮大系列）

上節(jié)課講到，函數(shù)相等需要函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系相同。

關(guān)于函數(shù)相等，一哥舉了兩個例子。

第一組函數(shù)由于定義域不同而不相等，因為分數(shù)分母不為0。

第二組函數(shù)因為對應(yīng)關(guān)系不同而不相等。

而修改函數(shù)使他們相等，我們只需要對癥下藥，哪里不相同就加條件使他們相同即可。第一組函數(shù)一哥直接規(guī)定了x的范圍（定義域），第二組函數(shù)一哥則用分段函數(shù)表示，實際上與絕對值一樣。

而對于定義域的考法有兩種：具體和抽象。

1.具體

例如上面一道題，求定義域我們一定要注意范圍，這道題考察分數(shù)與二次根式，我們能得到兩個不等式，解出來x的取值范圍即可。最后請寫成區(qū)間，最好是畫數(shù)軸，但不要漏掉空心實心。

2.抽象（即自變量不確定）

這道題首先我們弄清一個概念。函數(shù)的自變量不一定就是x,它還可以是t等等，即f(x)中x還可以是其他的，如x+2等等。我們要把x看做是一類自變量，看作是一個整體，這樣定義域就不會變化啦。這就是為什么（）的范圍不變。

所以我們可以據(jù)此把定義域求出來，給一個c的范圍就是為了這個定義域不是?。

課題29： 值域上（值域下不會整理在這里）

一、一次分式（分母換元法 ）

解法一：分母換元法 （通法）

本質(zhì)：分母換元，y也可以用一個字母表示。根據(jù)自變量范圍可以求出這個字母的范圍，則值域通過對應(yīng)關(guān)系可得。

解法二：代值法（此題適用）

二、二次分式

解法一：令x2+2x=t，轉(zhuǎn)化為一次分式的解法。

解法二：直接同乘分母，轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題，討論?即可得出值域。（二次項系數(shù)是否為0）

三、同次根號

運用整體換元法，又可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，進而求出值域。

課題30：單調(diào)性與最值基本概念

一、知識梳理

注：最大值板塊的條件一改為大于等于即可表示最小值，意為函數(shù)上任意一點的y值都大于等于M的y值。為保證函數(shù)上能有一點能取到M，所以我們需要存在量詞命題，即條件二。

二、例題講解

【方法總結(jié)】

1.任意設(shè)區(qū)間的兩個數(shù)

2.運用作差法求出取兩個數(shù)時y值之差，用作差法與0進行比較

3.下結(jié)論

課題31：函數(shù)的奇偶性

1.知識梳理

以上是奇偶函數(shù)的代數(shù)意義，奇函數(shù)幾何意義：關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)：關(guān)于y軸對稱。

根據(jù)奇偶函數(shù)的幾何意義，知道其圖像的一半，也就能知道其另一半圖像了。然后一哥拓展了對勾函數(shù)，求一哥標出來的那兩個點，其實就是基本不等式的運用，當x=1/x時，函數(shù)取到最小值。

判斷函數(shù)的奇偶性我們有兩種辦法，一是看圖像；二是運用其代數(shù)意義。下面以狄利克雷函數(shù)舉例：

重要條件：

課題32：對勾函數(shù)的性質(zhì)

1.知識梳理

總結(jié)：

1.對勾函數(shù)有一般式和變式，變式我們提取公因式即可轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)一般式。

2.對于單調(diào)性的分界點的坐標，我們運用基本不等式，由于此處y是最小值，大于等于2√x·k/x，當x=k/x時取等，即可求出點的坐標。

3.對勾函數(shù)定義域不包含原點！

4.單調(diào)性區(qū)間之間不能打“∪”。

5.知道對勾函數(shù)對稱點，其單調(diào)性區(qū)間也能求出。

2.例題講解

【例題1】

當我們沒有對勾函數(shù)的形式時，我們往往可以“湊形”或者換元，這里展示“湊形法”。“湊形”之后，我們可以通過函數(shù)的平移（“上加下減”，“左加右減”）進行理解，畫圖解題。

【例題2】

此題方法與上一題一樣。這里展示換元法。但是我們要注意這里求的是最低點坐標，注意所求之間的轉(zhuǎn)化。

【例題3】

這道題一樣，使用換元法。但是一定要注意我們的定義域。

【例題4】（此題只看2、3小問，2小問直接作條件使用）

根據(jù)題目定義，我們可以先重新轉(zhuǎn)化這個函數(shù)，再“湊形”，與前面一樣。

課題33：函數(shù)對稱性與周期性條件翻譯

1.知識梳理

前言：

首先我們得明確f(x)到底表示的是什么，x（即“( )”里面的東西）表示的是x軸的橫坐標，此時的y值即為f(x)。

一、對稱性

這一類條件我們發(fā)現(xiàn)他們的橫坐標相加為一個常數(shù)，我們先回憶一下初中學過的中點坐標公式：（2/x?+x? , 2/y?+y?）,題目中x?,x?,y?,y?已知。那么我們再想，如果這兩個點是一個對稱的函數(shù)上的兩個對稱的點呢？那么函數(shù)的對稱軸是不是就可以表示為：2/x?+x?。這是關(guān)于一條直線對稱的情況。

如果我們在條件前面加一個負號呢？我們畫圖發(fā)現(xiàn)是不是函數(shù)就關(guān)于一個點對稱了？所以這類條件想要告訴我們的是這個函數(shù)關(guān)于一個點對稱。

綜上所述，我們將同一y的函數(shù)的橫坐標（即括號內(nèi)的式子）相加，我們發(fā)現(xiàn)是一個常數(shù)（即不是未知數(shù)的數(shù)），那么這個函數(shù)一定關(guān)于一條直線或者一個點對稱。

【思想方法】回想我們是如何推導出來這些結(jié)論的？是不是根據(jù)題意進行畫圖分析？這也足以體現(xiàn)出來函數(shù)研究與圖像分析的緊密聯(lián)系了。

二、周期性

概述：

注：其中T叫作函數(shù)的周期，最小的一個正數(shù)T叫作函數(shù)的最小正周期。上圖所示是周期性的“標準形式”。

我們先用后面一個圖進行觀察：

我們不難發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)圖像以一個周期進行循環(huán)，而T的值正好是相鄰周期的函數(shù)中同一個y值中橫坐標之間的距離。以上函數(shù)往往有多個對稱中心與對稱軸，我們只需要跟著條件，把圖畫出來，一目了然。

【規(guī)律總結(jié)】（不要死記，掌握方法）

①關(guān)于兩個點對稱的函數(shù)周期為單調(diào)性區(qū)間的2倍

②關(guān)于1個點和一條直線對稱的函數(shù)周期為單調(diào)性區(qū)間的4倍

③關(guān)于兩條直線對稱的函數(shù)周期為單調(diào)性區(qū)間的2倍

又如上圖所示，這些條件往往花樣百出，而他們的同一y值的橫坐標往往只差一個常數(shù)，這時我們考慮它的周期性。我們只需要做的其實就是“湊形”，把它往“標準形式”上靠。這樣才能直觀地得到它的周期性。

【總結(jié)】我們將同一y的函數(shù)的橫坐標（即括號內(nèi)的式子）相加，我們發(fā)現(xiàn)是一個常數(shù)，考慮它的對稱性；同一y值的橫坐標往往只差一個常數(shù)，我們考慮它的周期性。

2.例題講解（請仔細聽一哥講解）

同一y值的橫坐標往往只差一個常數(shù)，我們考慮它的周期性。這道題我們只需求出一個周期的和，題目的求和問題就能迎刃而解了。（補充：當定義域中有0時，奇函數(shù)一定經(jīng)過原點）

先“湊形”，找周期，求和。

思路與上題一樣。

【概念回顧】

當二次函數(shù)a＞0,與對稱軸距離越大，y值越大。

解法一：特殊值法

找到關(guān)鍵點：a=0,1，進行討論。

解法二：分類or平方

轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解出來即可。

課題34：解析式解法大全（中檔）

一、框架構(gòu)建

二、方法講解

?方法一：換元法

這類題我們發(fā)現(xiàn)括號內(nèi)不是x，我們就可以試著換元（直接換成x或者換成其他字母后再換成x），找到他們之間的關(guān)系，最后反解出來f(x)，寫出定義域即可。

?方法二：待定系數(shù)法

這類題我們往往已知函數(shù)形式，這時我們就需要運用待定系數(shù)法。將每個函數(shù)關(guān)系用已知函數(shù)形式表示出來，最后因為他們系數(shù)相等，即可求出a,b,c，進而求出f(x)。

?方法三：“方程組法”

這類方法適用于函數(shù)的代表元素有關(guān)系的時候。我們交換他們的代表元素（賦對方的值），就可以得到一個方程組，解出來即可（我們也可以在解的過程中使用換元使方程更清晰）。

?方法四：特殊值法（與“方程組法”本質(zhì)一樣）

由于這道題未知數(shù)是任意的，我們可以通過給未知數(shù)賦特殊值找關(guān)系。如上題所示，我們令x=y，就能消去許多未知函數(shù)，也就運用上了條件f(0)=1。我們不難發(fā)現(xiàn)，所謂特殊值法與“方程組法”本質(zhì)是一樣的，都是通過給未知數(shù)賦值，找到函數(shù)之間的關(guān)系，進而求解。

〖一哥總結(jié)〗

課題35：值域考點完全解析（中檔）

一、結(jié)構(gòu)概述

二、方法講解

? 方法一：圖像法

有相加之和，有分式之和，考慮“1”的代換。其中我們可以使用基本不等式，也可以轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)最值問題。

? 方法二：換元法

齊次，有較多相同項（或者相近項）時使用。

? 方法三：判別式法

本質(zhì)：轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，根據(jù)?求得值域。其中第一題因為?＜0，函數(shù)值絕對大于0，不用擔心x的取值。

? 方法四：數(shù)形結(jié)合法

↑兩點間距離公式

? 方法五：單調(diào)性

根據(jù)x取值范圍層層分析y的單調(diào)性，最后通過作差法確定最終值域。

〖一哥總結(jié)〗

課題36：函數(shù)單調(diào)性解法大全（中檔）

一、方法綜述

在復合函數(shù)板塊中，我們從內(nèi)到外一步一步探討即可。注：此處f(x)=f(g(x))，因此g(x)的y值即f(x)的x值，我們可以由g(x)的y值的變化趨勢推出f(g(x))的變化趨勢。

二、例題講解

?方法一：圖像法

當這個函數(shù)能夠畫出圖像時，我們采用圖像法。這道題我們遇到絕對值就分類討論，畫出函數(shù)圖像，找到單調(diào)性區(qū)間，我們只需要讓所求區(qū)間為單調(diào)性區(qū)間的子集即可。

?方法二：定義法

為使分數(shù)有意義，我們可得x的范圍，于是我們?nèi)我庠O(shè)x?,x?，再通過比較他們y值大小得到函數(shù)的單調(diào)性。

?方法三：復合函數(shù)

這道題用定義法是一道難題。結(jié)果無法比較大小關(guān)系，我們需要找到函數(shù)單調(diào)性的轉(zhuǎn)折點，對幾個范圍進行討論。

在復合函數(shù)的問題之中，我們將函數(shù)設(shè)為一個整體，畫出大致圖像，從內(nèi)到外一層層分析即可。

〖一哥總結(jié)〗

課題37：12函數(shù)奇偶性完全突破（中檔）

一、知識回顧

二、例題講解

本質(zhì):湊出f(x)與f(-x)之間的關(guān)系，只不過抽象函數(shù)需要賦值。

奇函數(shù)定義域關(guān)于y軸對稱，從而求出b，再將f(2)代入即可求a。

通過奇偶性判斷函數(shù)圖像。

畫出大致圖像，根據(jù)圖像找單調(diào)性區(qū)間，若括號內(nèi)式子復雜，可使用換元法。

這道題我們一定要想到奇函數(shù)的定義，當奇函數(shù)定義域有0時，函數(shù)一定經(jīng)過原點（0,0）。

〖一哥總結(jié)〗