一、選擇題 共40分

1.?若集合M={x|√x <4},N={x|3x≥1}，則M∩N=

A. {x|0≤x<2} ???B. {x|1/3≤x<2}?? ?C. {x|3≤x<16}? ??D. {x|1/3≤x<16}

解析：由題意知，x=9∈(M∩N)，排除AB,x=1/3∈(M∩N)，排除C

選擇D

2.若i(1-z)=1，則z+z=

A. -2??? B.-1??? C.1??? D.2

解析：i(1-z) =1,-(1-z)=i,z=1+i,z與z共軛的和是2

選擇D

3. 在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，BD=2DA，記CA=m，CD=n，則CB=

A. 3m-2n??? B. -2m+3n ???C. 3m+2n ???D. 2m+3n

解析：

AD2=m2+n2-2|m||n|cosC

BD=2DA

∴BD2=4DA2= 4m2+4n2-8|m||n|cosC

BD2=4m2+4n2-8 mn

=4(m2-mn+n2-mn)

=4(m-n)2

CB=n+DB

CB=2m-n或-2m+3n

選擇B

4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺的問題，其中一部分水蓄入某水庫(kù)，已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位之間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為(? )(√7≈2.65)

A. 1.0×109m3 ???B. 1.2×109m3 ???C. 1.4×109m3 ???D. 1.6×109m3

解析：當(dāng)深度在中間4.5m時(shí)

水面的面積為

[√(1.4×108)+ √(1.8×108)]2/4

=0.8×108+√(7×0.09)×108

=0.8×108+0.3√7×108

≈1.595×108

那么可知水量要大于1.595×108×4.5+1.4×108×4.5≈1.35×109

要小于1.595×108×4.5+1.8×108×4.5≈1. 53×109

選擇C

5.從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為

A. 1/6??? B. 1/3??? C. 1/2??? D. 2/3

解析：

第一類，隨機(jī)2個(gè)數(shù)中含有2：互質(zhì)有3組

第二類，隨機(jī)2個(gè)數(shù)中不含2含有3：互質(zhì)有4組

第三類，隨機(jī)2個(gè)數(shù)中不含2,3含有4：互質(zhì)有2組

第四類，隨機(jī)2個(gè)數(shù)中不含2,3,4含有5：互質(zhì)有3組

第五類，隨機(jī)2個(gè)數(shù)中不含2,3,4,5含有6：互質(zhì)有1組

第六類，隨機(jī)2個(gè)數(shù)中不含2,3,4,5,6含有7：互質(zhì)有1組

因此互質(zhì)的概率為(3+4+2+3+1+1)/C27=2/3

選擇D

6.記函數(shù)f(x)=sin(ωx+0.25π) +b (ω>0) 的最小正周期為T，若2π/3<T<π，且y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1.5π,2)中心對(duì)稱，則f(0.5π)=

A. 1???? B. 1.5???? C. 2.5??? D. 3

解析：根據(jù)f關(guān)于點(diǎn)(1.5π,2)中心對(duì)稱知sin(1.5ωπ+0.25π)=0，b=2

那么ω=-1/6+2k/3，根據(jù)T的關(guān)系可知ω=2.5

那么f(0.5π)=1

選擇A

7.設(shè)a=0.1e^0.1，b=1/9，c=-ln0.9，則(? )

A. a<b<c??? B. c<b<a??? C. c<a<b??? D. a<c<b

解析：a,b,c都是正數(shù)，b=ln e^(1/9),c=ln(10/9)

觀察e^(1/9)與10/9，知

∵e=lim(1+1/x)^x>(1+1/9)^9

∴b>c

或者

(1+1/9)^9<2+4/9+ C(3,9)/729+ C(4,9)/9^4 + C(5,9)/9^5+ 5C(6,9)/9^6

(1+1/9)^9<2.444+0.14+0.008≈2.592<e

因此，c<b，排除A

10a= e^0.1,10b=10/9

觀察e^0.1與10/9，知

(1+1/9)^10>1+10/9+45/81+120/3^6+210/3^8+1260/3^10+70/3^11

(1+1/9)1^0>2.666666+0.1975+0.0001≈2.8642>e

因此b>a，排除B

a=0.1 e^0.1,c=-ln0.9

設(shè)f(x)=xe^x+ln(1-x)

當(dāng)1>x>-1時(shí)，f’=[(1-x2)e^x-1]/(1-x)

觀察1-x2與函數(shù)e^(-x)

當(dāng)x=0.5時(shí)，1-x2>e^(-x)

所以當(dāng)x<0.5時(shí), (1-x2)e^x>1,f’>0單調(diào)增

f(0.1)>f(0)

a>c，排除D

選擇C

8.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的體積為36π，且

3≤l≤3√3，則該正四棱錐體積的取值范圍是(? )

A.[18,81/4]??? B. [27/4,81/4]??? C. [27/4,64/3]??? D. [18,27]

解析：根據(jù)題意可知球的半徑r=3

根據(jù)題意，當(dāng)l取值為3√3時(shí)，對(duì)棱截面為正三角形，那么此時(shí)四棱錐的高為4.5，底面積為27/2，那么體積為1/3×27/2×4.5=81/4

當(dāng)高為4時(shí)，l2=8+16=24，體積為16×4/3=64/3>81/4，排除AB

當(dāng)l取值為3時(shí)，對(duì)棱截面是頂角為120°的等腰三角形，那么此時(shí)四棱錐的高為1.5，底面積為27/2，那么體積為1/3×27/2×1.5=27/4

選擇C

二、選擇題(多項(xiàng))?共20分

9.已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則

A. 直線BC1與DA1所成的角為90°? ? ? ? ? ? ? ??????B. 直線BC1與CA1所成的角為90°

C. 直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45° ???D. 直線BC1與平面ABCD所成的角為45°

解析：A選項(xiàng)正確，異面垂直，B選項(xiàng)正確，與射影垂直，就與直線垂直

C選項(xiàng)錯(cuò)誤，作垂線可得所成的角為30°，D選項(xiàng)正確，通過對(duì)角線正好可以算出所成角

選擇ABD

?

10.已知函數(shù)f(x)=x3-x+1，則

A．f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??B. f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C. 點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心 ???D. 直線y=2x是曲線y=f(x)的切線

解析：

f’(x)=3x2-1在導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)處異號(hào)，A正確

當(dāng)取小值點(diǎn)x=1/√3時(shí)，f(x)>0，因此只有一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤

1-f(t)=- t3+t

f(t)-1= t3-t

互為相反數(shù)，C正確

令f’(x)=2，得x=1或-1，而直線y=2x過點(diǎn)(1,2)和(-1,-2),f(1)=1,f(-1)=-1

因此D錯(cuò)誤

選擇AC

?

11. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)在拋物線C: x2=2py (p>0)上，過點(diǎn)B(0,-1)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則

A. C的準(zhǔn)線為y=-1?????? B. 直線AB與C相切

C. |OP|·|OQ|>|OA|2? ? ? D. |BP|·|BQ|>|BA|2

解析：根據(jù)點(diǎn)A在C上可以求出拋物線方程為x2=y，準(zhǔn)線為y=-0.25，A錯(cuò)誤

將直線AB方程帶入拋物線得x2=2x-1，判別式Δ=0，B正確

設(shè)直線BQ方程為y=kx-1，帶入得x2-kx+1=0

|OP|2·|OQ|2=(x12+y12)(x22+y22)

= x12x22+ x12y22+ x22y12+ y12y22

= x12x22+ x12x24+ x22x14+ x14x24

= x12x22(1+x12+ x22+ x12x22)

=2+(x1+ x2)2-2x1x2

=k2

|OP|·|OQ|>2

|OA|2=2

C正確

|BP|2·|BQ|2=[x12+(y1+1)2][x22+(y2+1)2]

=(x12+y12+1+2y1)(x22+y22+1+2y2)

=(3x12+x14+1)(3x22+x24+1)

=9+ 3x22+3x12+3x12+1+ x14+3x22+x24+1

= 11+6(x1+x2)2-12+(x12+x22)2-2

=-3+6k2+(k2-2)2

=k4+2k2+1

|BP|·|BQ|=k2+1>5

|BA|2=5

D正確

選擇BCD

12.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f’(x)的定義域均為R，記g(x)=f’(x)，若f(1.5-2x)，g(2+x)均為偶函數(shù)，則

A． f(0)=0??? B. g(-0.5)=0??? C. f(-1)=f(4)??? D. g(-1)=g(2)

解析：根據(jù)題意f(1.5-2x)=f(1.5+2x)，x=1.5是對(duì)稱軸，C正確

g(2+x)=g(2-x)，x=2是g的對(duì)稱軸

f(x)=cos[π(x-1.5)]+1時(shí)滿足題意

此時(shí)f(0)=1，g(-0.5)=0，g(-1)≠g(2)，AD錯(cuò)

選擇BC

三、填空題 共20分

13.(1-y/x)(x+y)^8的展開式中x2y^6的系數(shù)為____ (用數(shù)字作答)

解析：原式=(x+y)^8-y(x+y)^8/x

(x+y)^8中x2y^6的系數(shù)為，C(6,8)=28

-y(x+y)^8/x中x2y^6的系數(shù)為，-C(5,8)=-56

填-28

14.寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線方程____

解析：一個(gè)是單位圓，一個(gè)是半徑為4圓心為(3,4)的圓，發(fā)現(xiàn)兩圓相切

那么與圓心連線垂直的就是一條切線，切點(diǎn)為(0.6,0.8)，斜率為-0.75

填y=-0.75x+1.25

15.若曲線y=(x+a)e^x有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是____

解析：y’=(x+a+1)e^x，當(dāng)x=-a-1時(shí)取極小值，此時(shí)y=-e^(-a-1)<0

若-a-1≤0，要y(x)>0才存在兩條切線，此時(shí)a>0且-a-1<0，即a>0

若-a-1>0，y”=(x+a+2)e^x，x>-a-2時(shí)y”>0函數(shù)向上凹，x<-a-2時(shí)函數(shù)向上凸，拐點(diǎn)是(-a-2,y(-a-2))，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x很小時(shí)y<-a，想使y存在兩條過原點(diǎn)的切線，必須滿足

y(0)<0; -a-2>0;y(-a-2)/(-a-2)>f’(-a-2)，聯(lián)立不等式求解，得

填 a<-4或a>0

16.已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1 (a>b>0)，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2，離心率為0.5，過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，|DE|=6，則△ADE的周長(zhǎng)是____

解析：根據(jù)離心率是0.5，可設(shè)DE的方程為y=x/√3+c/√3，那么

同理

填13

四、解答題 共70分

17.(10分)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1=1，{Sn/an}是公差為1/3的等差數(shù)列

(1)求{an}的通項(xiàng)公式

(2)證明:1/a1+1/a2+…+1/an<2

解析：(1)

化簡(jiǎn)可得

(2)

18.(12分) 記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知cosA/(1+sinA)=sin2B/(1+cos2B)

(1)若C=2π/3，求B

(2)求(a2+b2)/c2的最小值

解析：

(1)

(2)由(1)得

由正弦定理

經(jīng)計(jì)算，取等號(hào)時(shí)

19.(12分) 如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為2√2

(1)求A到平面A1BC的距離

(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值

解析：

(1)設(shè)三棱錐A1-ABC的體積為V，可知V=4/3

那么A到平面A1BC的距離為4/2/√2=√2

(2)取A1B的中點(diǎn)E，過E作EF⊥BD于F，連接EF

∵AA1=AB,E是A1B的中點(diǎn)

∴AE⊥A1B

又平面A1BC⊥平面ABB1A1

∴AE⊥平面A1BC

AE=√2

∵EF⊥BD

∴BD⊥AF

∠EFA是所求二面角的補(bǔ)角

∵AE⊥BC, B1B⊥BC

∴BC⊥平面ABB1A1

∠A1BC =90°

A1A=2

△ABC的面積為4/2=2

AB=2，BC=2×2/2=2

A1B=2√2

∵D為A1C的中點(diǎn)

∴tan∠BA1C=tan∠FBE=1/√2

EF=BEsin∠FBE=√2/√3

tan∠EFA=√2/(√2/√3)=√3

∴所求正弦值為√3/2

20.(12分)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：

? ? ? ? ? ??? ? ?|?不夠良好| 良好

病例組? ? ?|? ? 40? ? |? ? 60? ??

對(duì)照組? ? |? ? 10? ? ?|? ? ?90

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異

(2)從該地區(qū)的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示“選到的人患有該疾病”，P(B|A)/P(B|A)與P(B|A)/P(B|A)的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患有該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R

①證明：R= P(A|B)/P(A|B)·P(A|B)/P(A|B)

②利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B)，P(A|B)的估計(jì)值，并利用①的結(jié)果給出R的估計(jì)值

附：Κ2=n(ad -bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]

P(Κ2≥κ)? ? |? ? 0.050? ? |? ? 0.010? ? |? ? 0.001

? ? κ? ? |? ??3.841? ? |? ? 6.635? ? |? ? 10.828

解析：

(1)

∴ 有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異

(2)

P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.8 ,P(B|A)=0.2, P(B|A)=P(BA)/ P(A)=60/150=0.4

①P(B|A)=P(BA)/P(A)=90/150=0.6

∴R=P(B|A)/P(B|A)÷[P(B|A)/P(B|A)]=0.8/0.2÷(0.4/0.6)=6

∵P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.4 ,P(A|B)=0.6, P(A|B)=0.9

P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.1

∴P(A|B)/P(A|B)·P(A|B)/P(A|B)=6

R=6

②由①得R的估計(jì)值是6

21.(12分) 已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x2/a2- y2/(a2-1)=1 (a>0)上，直線l交C于P,Q兩點(diǎn)，直線AP,AQ的斜率之和為0

(1)求l的斜率

(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面積

解析：(1)設(shè)AP,AQ的方程為y=kx+1-2k,y=-kx+1+2k，A在雙曲線上，分別代入有

同理

(2)由于AP,AQ斜率和為0，且tan∠PAQ=2√2，設(shè)k>0有

根據(jù)漸近線斜率，舍

根據(jù)(1)

同理

22.(12分) 已知函數(shù)f(x)=e^x-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值

(1)求a

(2)證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列

解析：(1)由于a≤0時(shí)不滿足條件，因此a>0

f’(x)= e^x-a

f在x=ln a時(shí)取最小值

g’(x)=a-1/x

g在x=1/a時(shí)取最小值，若有相同最小值，那么

a-alna=1-ln(1/a)

a=1

(2)根據(jù)圖像知，f與g，存在交點(diǎn)，并且此時(shí)y=b與兩函數(shù)圖像將出現(xiàn)三個(gè)不同交點(diǎn)

那么有

e^x-x=b

x-lnx=b

設(shè)共同交點(diǎn)橫坐標(biāo)是m

設(shè)函數(shù)h(t)= e^(m-t)-(m-t)-[(m+t)-ln(m+t)]

h(t)= e^(m-t)-2m+ ln(m+t)

當(dāng)t很大時(shí)h(t)>0

h’= -e^(m-t)+1/(m+t)

根據(jù)增減趨勢(shì)，設(shè)當(dāng)t=u∈(-m,0)時(shí)h’=0

t<u時(shí)e^(m-t)<1/(m+t)

h’>0

設(shè)當(dāng)t=v>0時(shí)h’=0

t>v時(shí)e^(m-t)<1/(m+t)

h’>0

當(dāng)t∈(u,v)時(shí), e^(m-t)>1/(m+t)

h’<0

t=u取極大值，t=v取極小值

又t=0∈(u,v)時(shí)，h=0

∴h(t)=0至少存在兩個(gè)根，除了t=0以外出現(xiàn)一個(gè)根滿足h(t)=0，就滿足題意

因此存在這樣的直線y=b