1.簡介

求解泊松方程通?？梢允褂玫蠼夂椭苯忧蠼鈨烧叻椒?，其中常用的迭代方法包括雅各比、高斯賽德爾和超松弛等方法，但是當(dāng)泊松方程求解網(wǎng)格數(shù)量較多時(shí)以上方法收斂速度較慢，因此需要使用加速方法加速收斂，本文主要介紹多網(wǎng)格方法來加速泊松方法的迭代收斂。其他求解方法包括但不限共軛梯度方法，廣義最小殘差法等。以及使用譜方法直接求解。

2.方法介紹

本文使用雅各比迭代和多網(wǎng)格加速技術(shù)求解泊松方程。

2.1雅各比迭代

? ? 雅各比迭代公式如下（具體內(nèi)容可參考文獻(xiàn)1犀利程老師數(shù)值方法視頻，文獻(xiàn)2）：

2.2多網(wǎng)格方法

多網(wǎng)格方法

? ? 先在細(xì)網(wǎng)格上迭代使得頻率大的誤差衰減，剩下誤差中頻率較小的部分；再將誤差中頻率較小的部分作為方程組的右側(cè)，在粗網(wǎng)格上迭代，使得頻率較小的誤差也能快速地衰減；最后為了保證精度，將粗網(wǎng)格上迭代的結(jié)果和細(xì)網(wǎng)格上的結(jié)果加總之后，作為初始猜測值再在細(xì)網(wǎng)格上迭代。如此循環(huán)往復(fù)[3]。參考文獻(xiàn)4中對具體網(wǎng)格構(gòu)建，矩陣生成技術(shù)有很詳細(xì)的介紹。

????多網(wǎng)格方法的主要分為一下幾步：

????a.進(jìn)行有限次數(shù)的雅各比（或者其他迭代方法）迭代；

????b.計(jì)算a過程后的殘差，并將殘差插值到粗網(wǎng)格上(2h)，這里使用簡單的線性插值可使用（Restrict Matrix）實(shí)現(xiàn)；

????c.（L1）將粗網(wǎng)格上的殘差使用雅各比迭代（或者其他迭代方法）迭代指定次數(shù)。這里要說明的是，由于求解區(qū)域邊界是已知的，所以邊界上的殘差為0。

????d. （L2）將c步得到的殘差繼續(xù)在插值到更粗的網(wǎng)格上（4h)，同時(shí)重復(fù)c.步驟。若網(wǎng)格不止兩層，則可以重復(fù)步驟c和d直到構(gòu)建層數(shù)符合設(shè)定層數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)在使用同一個(gè)網(wǎng)格系統(tǒng)時(shí)將殘差插值到網(wǎng)格點(diǎn)上則需要網(wǎng)格數(shù)滿足于層數(shù)的特定關(guān)系，本文提供代碼中包括有計(jì)算方法。

????e.將粗網(wǎng)格殘差插值到細(xì)網(wǎng)格上（4h>2h>h），這里也可使用線性插值（Interpolate Matrix）實(shí)現(xiàn)。

????f.將多網(wǎng)格得到的殘差于第一步雅各比迭代后所得未知數(shù)相加，這樣得到新的x0（未知數(shù)向量），重復(fù)進(jìn)行a~f步驟直到前后兩次迭代滿足設(shè)定的誤差。一般多網(wǎng)格層數(shù)與設(shè)定程序中斷誤差相關(guān)，避免前后兩次迭代結(jié)構(gòu)相近停止迭代，但卻與真實(shí)值相差較大。

3.計(jì)算模型和時(shí)間結(jié)果

解如下方程：

這里我們用SOR方法給出使用和未使用多網(wǎng)格方法收斂速度對比。

4.代碼

參考文獻(xiàn)

[1]?https://www.bilibili.com/video/BV1K54y187dtp=12&;vd_source=ebc0307e4f097cccb951ee67decd8fe6

[2]?https://zhuanlan.zhihu.com/p/389389672

[3]?https://zhuanlan.zhihu.com/p/337970166

[4] Multigrid Methods by?Gilbert Strang (MIT）