【數(shù)學基礎69】每天三道題（數(shù)學分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預備知識：
設lim an=a，若a>0，an>0，則lim an^（1/n）=1；
lim（1+1/n）^n=e.
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個向量的向量積，再作所得向量與第三個向量的向量積，那么最后的結果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個雙重向量積；
性質：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；
（axb）xc=（ac）b-（bc）a；
拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；
（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；
（axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）；
右手系/左手系：設有不共面的三個向量a，b，c，將它們移到同一始點，則a，b決定一個平面，而c指向平面的一旁，將右手四指并攏與拇指分開，使四指向掌心彎曲的方向，表示從a的方向經(jīng)過小于平角的轉動達到b的方向，此時若拇指方向與c方向指向平面的同一旁，則稱向量組{a，b，c}構成右手系，否則稱為左手系；
直角標架/直角坐標系：設i，j，k是空間中以O為起點的三個向量，它們兩兩垂直并且都是單位向量，則O；i，j，k稱為空間的一個以O為原點的直角標架或直角坐標系，記為{O；i，j，k}；
右手直角標架/右手直角坐標系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個右手架標或右手直角坐標系；否則稱為左手直角架標或左手直角坐標系；
直角坐標系的基向量：我們把i，j，k稱為該直角坐標系的基向量；
仿射架標/仿射坐標系：如果我們不要求i，j，k單位長度且兩兩正交，只要求它們不共面，那么{O；i，j，k}稱為空間一個以O為原點的仿射架標或仿射坐標系；
右手仿射架標/右手仿射坐標系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個右手仿射架標或右手仿射坐標系；否則稱為左手仿射架標或左手直仿射坐標系；
仿射坐標系的基向量：我們把i，j，k稱為該仿射坐標系的基向量；
坐標：O；i，j，k是空間的一個仿射坐標系（直角坐標系），則任意一個向量v可以唯一表示成v=xi+yj+zk，稱（x，y，z）為向量v在該坐標系{O；i，j，k}下的坐標，記為v=（x，y，z）；
點的坐標：設{O；i，j，k}是空間的一個以O為原點的仿射坐標系（直角坐標系），規(guī)定P點的坐標為向量OP的坐標，向量OP成為P點的定位向量或矢徑，若P點的坐標為{x，y，z}，記為P（x，y，z）；
坐標軸/坐標平面/卦限：i，j，k所在的直線通常成為坐標軸或分別成為x，y，z軸，每兩根坐標軸所決定的平面稱為坐標平面或xOy，yOz，zOx坐標平面，3個坐標平面把空間分割成8個部分，稱為該坐標系的8個卦限；
兩向量的內(nèi)積等于它們的對應坐標的乘積之和；
向量的長度等于它的坐標的平方和的平方根。
矩陣乘法運算律——
a.結合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應的行列式。
矩陣對應行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反/斜對稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉置運算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。
參考資料：
《數(shù)學分析》（華東師范大學數(shù)學系?編）
《空間解析幾何》（高紅鑄?王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)題解精粹》（錢吉林?編著）
數(shù)學分析——
例題（來自《數(shù)學分析（華東師范大學數(shù)學系?編）》）——
求下述極限：lim（1-1/n）^（1/n）.
解：
當n>=2時，（1/2）^（1/n）=（1-1/2）^（1/n）<=（1-1/n）^（1/n）<1；
lim（1/2）^（1/n）=1，則lim（1-1/n）^（1/n）=1.
解析幾何——
例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——
已知點A（1，2，4）和B（0，-1，7），求AB.
解：
點A（1，2，4）則，OA=（1，2，4），
點B（0，-1，7）則，OB=（0，-1，7）；
AB
=OB-OA
=（-1，-3，3）.
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)題解精粹（錢吉林?編著）》）——
設方陣A滿足關系A^P=0，其中P為正整數(shù)，試證：A的逆陣不存在。
證：
A^P=0，兩邊取行列式得|A|^P=0，所以|A|=0，即A不可逆。
到這里！
