傅里葉級(jí)數(shù)中的迪利克雷條件：

間斷點(diǎn)的類型如下：

第一類間斷點(diǎn)，分為可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)；

第二類間斷點(diǎn)，包括無窮間斷點(diǎn)與振蕩間斷點(diǎn)。

傅里葉級(jí)數(shù)可以在函數(shù)只存在第一類間斷點(diǎn)的情況下進(jìn)行展開，這種情況作者已經(jīng)在《傅里葉級(jí)數(shù)關(guān)于第一類間斷點(diǎn)的問題》一文中進(jìn)行過討論。

本文大致分析一下傅里葉級(jí)數(shù)為什么不能在第二類間斷點(diǎn)的情況下進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開。

首先看無窮間斷點(diǎn)：

在無窮間斷點(diǎn)x0處，函數(shù)值f(x0)為無窮大，按照傅里葉級(jí)數(shù)展開式

個(gè)人是這樣理解的：

假設(shè)x=0時(shí)，f(0)是無窮大，則上圖展開式的右邊在x=0的時(shí)候同樣必須是無窮大。觀察右邊，正弦函數(shù)在x=0時(shí)等于0，余弦函數(shù)在x=0時(shí)等于1，這也就意味著系數(shù)an必須至少有一個(gè)或者多個(gè)是無窮大，那么這種展開式是無意義的。因?yàn)椴还躠n還是bn為無窮大，都意味著按照下式

的積分計(jì)算公式是不可積的。

再看跳躍間斷點(diǎn)：

該函數(shù)在越靠近0的地方，跳躍越頻繁。比如當(dāng)x從0.02變到0.01的時(shí)候，1/x變化100弧度，相當(dāng)于出現(xiàn)了10多個(gè)正弦函數(shù)的最大值和最小值；而當(dāng)x從0.002變到0.001的時(shí)候，1/x則變化1000弧度，相當(dāng)于出現(xiàn)了100多個(gè)正弦函數(shù)的最大值和最小值；以此類推，當(dāng)x無限趨于0時(shí)，sin1/x函數(shù)的極值點(diǎn)出現(xiàn)頻率也趨于無窮大。雖然sin1/x這個(gè)函數(shù)本身的周期是2pi，但一個(gè)周期內(nèi)，極大值和極小值的個(gè)數(shù)反映了這個(gè)函數(shù)最高頻成分的頻率是多大等相關(guān)信息。如果一個(gè)周期內(nèi)極大值和極小值的個(gè)數(shù)有無限多個(gè)，則這個(gè)函數(shù)的最高頻率成分也是無限的，雖然傅里葉級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)是無限的，最高頻率也是無限的，但是無限高頻率的函數(shù)是分解不成無限高頻率的組合的。

所以狄利克雷條件有一條，在一個(gè)周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)該是有限個(gè)。