先看極限定義：

上圖中的去心鄰域概念，表示x可以向x0無(wú)限接近：

但卻永遠(yuǎn)不能和x0重合。為什么要設(shè)定一個(gè)這樣的規(guī)定呢？

從導(dǎo)數(shù)的定義可以看到，如果deltax可以等于0的話，那么導(dǎo)數(shù)在x0點(diǎn)的定義是沒有意義的。

上圖表明，無(wú)限多個(gè)都無(wú)法用數(shù)字表示的無(wú)窮小之和其結(jié)果可能是一個(gè)確定的數(shù)字，但無(wú)窮多個(gè)0之和肯定是0。

上圖表示，正是由于x在無(wú)限趨近于0的過(guò)程中永遠(yuǎn)不會(huì)和0重合，才使得上式是有意義的：保證了1/x的分母永遠(yuǎn)不會(huì)等于0。

以上是定積分的推導(dǎo)過(guò)程，從過(guò)程中可以看到，定積分最后是無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小之和，從而使得定積分的結(jié)果是一個(gè)確定的值。正是由于deltax可以是無(wú)窮小，但卻不會(huì)等于0的假設(shè)，才使得定積分的理論得以成立。如果delta x可以等于0，則上述理論不成立。

那么，如何能夠比較準(zhǔn)確地把握

這個(gè)概念呢？

我們假設(shè)上圖中的x正處于無(wú)限趨近于0的過(guò)程中，0與x之間的距離就是delta x。x可以靠近到0什么程度呢？我們知道，數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間都可以插入無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)或者無(wú)理數(shù)點(diǎn)，這是一個(gè)無(wú)限的動(dòng)態(tài)的過(guò)程，但為了理解極限，我們假定這個(gè)無(wú)限過(guò)程終結(jié)了（宇宙爆炸了），這個(gè)時(shí)候a是最靠近0的那個(gè)點(diǎn)，而x此時(shí)正處于點(diǎn)0和點(diǎn)a之間，由于a點(diǎn)是最靠近0的那個(gè)點(diǎn)，意味著0和a之間的這段區(qū)域無(wú)法用任何數(shù)字表示（數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)字），從而0和x之間的距離也無(wú)法用任何數(shù)字表示，也就是比任何數(shù)字都小，也就是所謂的無(wú)窮小。但即使是無(wú)窮小，點(diǎn)x也不會(huì)和點(diǎn)0重合，而是始終保證點(diǎn)0和點(diǎn)x之間是一段區(qū)域，而不是一個(gè)點(diǎn)，也就是保證

的長(zhǎng)度永遠(yuǎn)都不會(huì)等于0，同時(shí)這個(gè)delta x就是用來(lái)表示一個(gè)無(wú)法用任何數(shù)字表示的無(wú)窮小的符號(hào)。正是這樣的假設(shè)，使得圖1和圖2中的導(dǎo)數(shù)與積分的理論得以建立，并使得導(dǎo)數(shù)能夠精確求出曲線上每一個(gè)點(diǎn)的斜率，也使得定積分能夠精確求出曲邊梯形的面積。而如果delta x可以等于0，以上所有理論的大廈將立刻坍塌。

由于數(shù)學(xué)上的點(diǎn)沒有大小，所有直線也沒有大小。既然沒有大小，我們凡人是看不到的，只有數(shù)學(xué)家能看到。而且任何一條直線上的點(diǎn)都處于無(wú)限增加的過(guò)程之中（數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間都可以插入無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)或者無(wú)理數(shù)點(diǎn)），這樣的直線得有多奇怪？

就是在這樣沒有大小又看不見、而且它上面的點(diǎn)一直處于無(wú)限增加的一條直線上面，數(shù)學(xué)家建立了極限、導(dǎo)數(shù)和積分的理論，使得我們精確解決了無(wú)數(shù)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。

以上是參與極限理論創(chuàng)立的幾位偉大科學(xué)家，他們值不值得我們頂禮膜拜？^O^

綜上：

1：

是一段區(qū)域，不是一個(gè)點(diǎn)，即使其長(zhǎng)度已經(jīng)無(wú)法用任何數(shù)字表示，也永遠(yuǎn)不等于0。

2：由于它不等于0，從而使得以它為分母的導(dǎo)數(shù)理論得以建立。

3：還是由于它不會(huì)等于0，使得定積分的值變成了一個(gè)確定的數(shù)字。