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1．排列、組合、概率與錯位公式

2．排列組合概率解題思路——分類法

3．例題1：繁瑣的計算導致正確率變低

4．例題2：通過選項思考暴力破解的可能性

5．例題3：極為簡單，一半做錯的題

6．例題4：分不同情況考慮安排方案

7．例題5：分不同情況考慮安排方案

8．例題6：理解排列組合題的關鍵

一、排列、組合、概率與錯位公式

「數量關系」板塊中的「排列、組合、概率」方面的題目每年必考、國考省考都會考，而此類題的難度一般較高，因此掌握它們的解題方法是非常有必要的。

總體來說，此類題目的公式非常簡單，大致只有三個半，即排列公式、組合公式、概率公式和錯位排列公式。

（1）排列公式

A（總個數，選出排列的個數）

特點是每個個體有「排列」的獨特性，誰先選、誰后選會影響結果。

例如5個人選3個排隊，5個項目選3個先后完成，兩種情況的運算均為：
A（5，3）=5×4×3=60種方式

（2）組合公式

C（總個數，選出組合的個數）

特點是每個個體沒有「排列」的獨特性，誰先選、誰后選都不影響結果。

例如5個人選3個參加比賽，5個項目選3個于今年內完成（不要求完成順序），則運算均為：
C（5，3）=C（5，2）
=5×4÷（1×2）=10種方式

注意C（5，3）一般要轉換為C（5，2），其原因是：
C（5，3）=5×4×3÷（1×2×3）=5×4÷2，中間要約去3，因此可能會多花兩三秒鐘，故要盡量節(jié)約時間。

注：排列組合公式很好記憶，由于公考中考察的「排列組合概率」題的數值不會很大，因此在實際考試中，直接在紙上用筆列草稿即可：
總數×（總數-1）×（總數-2）×……

一直讓相乘數字的個數達到「選出的個數」，即為排列公式；
再從1開始乘，乘到「選出的個數」，用排列公式得出的結果除以該數即為「組合公式」。

關于「排列組合」，最標準的公式如下：

這兩個公式很優(yōu)美，不過大家實際做題時沒必要這么列，畢竟公考中的n和m都不會很大，一邊列公式一邊約分（尤其是對于組合公式）即可。

只要熟練掌握「排列組合」公式，理解兩者的不同，就很容易解出答案。

（3）概率公式

發(fā)生某情況的概率=發(fā)生該情況的個數／總情況的個數

概率公式極為簡單，也很好理解，而「總情況個數」一般也能快速得出，此類題的解題關鍵是「發(fā)生該情況的個數」。

（4）錯位排列公式

此類公式只能算「半個公式」，因為它基于排列組合公式，但公式的步驟又很難理解，而且它雖然在公考中出現過，但出現次數極少，因此大家只要記住它的描述和數值即可。

錯位排列的描述為「全部錯位」，例如：

一個人寫了n封不同的信及相應的n個不同的信封，他把這n封信都裝錯了信封，問都裝錯信封的裝法有多少種？

上面這道題就是「錯位排列」的最初源頭，類似描述包括「5個部門5個人員重新分配，都不回到原部門」等。

「錯位排列」的數據很好記憶，總共只有3個（用D表示）：
D1= 0，D2= 1，D3=2，D4= 9，
D5= 44，D6= 265，D7= 1854。

D1、D2太小，D7及以上太大，一般不會考；D3可直接從紙上列出情況，很好理解。只要記住D4~D6的結果即可。

二、排列組合概率解題思路——分類法

根據上面的描述可發(fā)現，「排列組合」題的公式一點都不難，而且也很好記憶。此類題的難點主要在于「確定其屬于什么類別」。

在實際考試中，「排列」「組合」「概率」三者經常結合在一起，往往一道求概率的題，其分情況和總情況都需要用「排列組合公式」去求得結果。

根據公考出現的題目，可將其大致分為以下幾類（有時候下面幾類會再次結合）：

（1）加法類

求某事物的概率，該事物有多種情況成立，則總概率等于每種情況成立時的概率相加。

求某情況的總數，該情況分為多種分情況，則總情況等于所有情況的和。

（2）乘法類

此類題目的描述和加法類有所類似，區(qū)別的關鍵在于某概率成立／某情況成立時和分概率／分情況的關系。

求某事物的概率，該事物分為多種情況，當所有情況成立時才滿足題干要求，則總概率等于每種情況成立時的概率相乘。

求某情況的總數，該情況為多種分情況的總體組合，每種分情況都有自己的個數，則總情況等于所有分情況相乘。

用一個簡單例題來區(qū)別「加法類」和「乘法類」的區(qū)別：

甲乙下棋（沒有平局），甲每盤戰(zhàn)勝乙的幾率為40%，三局兩勝，求甲三局后戰(zhàn)勝乙的幾率。

此時可將其分為「甲3勝」和「甲2勝1負」兩種情況，然后將兩種情況相加即可，即：
（40%×40%×40%）+C（3，1）×（40%×40%×60%）

甲乙下棋（沒有平局），甲每盤戰(zhàn)勝乙的幾率為40%，三局兩勝，求甲通過「先輸一局、再贏兩局」這種方法戰(zhàn)勝乙的幾率。

此時每盤情況都固定，則結果為：
60%×40%×40%

此類題在沒有概率的「排列組合」題中也存在。例如甲乙兩個部門選3人參加活動：

如果要求是「分情況」，例如共有「甲1乙2」「甲2乙1」「甲3乙0」3種情況，則需要分不同情況得出結果后相加。

如果要求是「分部門」，例如「甲1乙2」的形式固定下來了，則總情況即為「甲1」的情況數×「乙2」的情況數。

很多「排列組合概率」的難題可能同時出現兩種情況，只要能將其分類分清楚了，其實這種題目并不難。

（3）特殊類（除錯位排列）

某些難題可能會考察特殊情況的排列組合，例如：

「植樹時在馬路兩側植樹且第一棵樹固定」
「2人一組，共有多組參加活動」
「在圓桌上參加宴會」
「有的人可選擇任何位置，有的人只能選擇部分位置（如住旅館只能住在1層等）」

這些情況本質上和「排列組合」公式以及「加法、乘法」的分類是想通的，除了「錯位排列」之外，其他題目都是非常好理解的，只要根據題干描述進行分類即可，在接下來的真題講解中都會詳細分析。

需要注意，如果題目看似是在求「排列組合概率」，但選項和題干數字都很小，那很可能需要使用「逐個列出」等方法去解題。關于這方面的解析，各位小伙伴可參考之前的內容：「數量關系」解題技巧（7）——整消法。

三、例題1：繁瑣的計算導致正確率變低

【2017國考地市級卷66題／ 省級卷68題】小張需要在5個長度分別為15秒、53秒、22秒、47秒、23秒的視頻片段中選取若干個，合成為一個長度在80~90秒之間的宣傳視頻。要求每個片段均需完整使用且最多使用一次，并且片段間沒有空閑時段。

小張最多可能做出多少個不同的視頻？
（A）6
（B）12
（C）18
（D）24

小張最多可能做出多少個不同的視頻？
（A）6
（B）12
（C）18
（D）24

正確率50%，易錯項B

列出題干數據關系：
①5片段長度為15、53、22、47、23
②合成視頻長度80~90
③片段完整、無空閑、最多使用一次，求視頻種類數量

由①②可知，小張需要選擇幾個視頻片段，找出時間相加在80~90之間的組合。

把幾個數從大到小排列：53、47、23、22、15，首先從最大數53開始羅列所有的可能：

53+47=100＞90，排除
53+23=76,76+（最小的）15=91＞90，排除
53+22+15=90，符合情況

然后從47開始數：

47+23=70,70+22=92＞90，排除
47+23+15=85，符合情況
47+22+15=84，符合情況

可以看出，符合情況的共三類，分別為：
53+22+15=90
47+23+15=85
47+22+15=84

根據③可知，每個視頻片段放在不同的位置都是不同的視頻，即本題適用排列公式（A），不適用組合公式（C），可得視頻數為：
A（3，3）+A（3，3）+A（3，3）
=6+6+6=18個，C選項正確。

此類計算量大的題目一定要有耐心才能解得正確答案，需要注意本題適用于排列公式。

雖然這道題的計算量不是很大，但計算較為繁瑣，因此正確率不高。

四、例題2：通過選項思考暴力破解的可能性

【2017國考省級卷70題】某集團企業(yè)5個分公司分別派出1人去集團總部參加培訓，培訓后再將5人隨機分配到這5個分公司，每個分公司只分配1人。

5個參加培訓的人中，有且僅有1人在培訓后返回原分公司的概率為：
（A）低于20%?
（B）在20%~30%之間
（C）在30%~35%之間?
（D）大于35%

5個參加培訓的人中，有且僅有1人在培訓后返回原分公司的概率為：
（A）低于20%?
（B）在20%~30%之間
（C）在30%~35%之間?
（D）大于35%

正確率15%，易錯項B

列出題干數據關系：
①5公司分別派1人
②重新分配，每公司分配1人
③求有且僅有1人返回原公司的概率

列出計算公式：
有且僅有1人返回原公司的概率=有且僅有1人返回原公司的情況/全部分配情況

根據②可知，5個人分到不同的公司屬于不同的分配情況，符合排列公式（A），即：
全部分配情況=A（5，5）=120

本題的難點是「只有1人返回原公司的分配情況」。設5家公司為ABCDE，5名員工也為ABCDE，字母一一對應。以員工A為例，該描述可以分解為兩句話：

（1）員工A返回了A公司；
（2）其他4名員工沒有回到自己的公司，即B可以去CDE不能去B,C可以去BDE不能去C……

分析之后可得出，（2）是個典型的4個元素的錯位排列問題，即D4=9。

錯位排列公式：D3=2，D4=9，D5=44，D6=265，更復雜的一般不會去考察。

BCDE員工返回原公司的概率和A員工相同，共有9×5=45種分配情況。因此，所求概率為：
45/120=37.5%＞35%，D選項正確。

那么問題就來了：如果考生不熟悉錯位排列的公式，或者不熟悉錯位排列的適用場景，應該怎么辦呢？

這就是國考的精髓之處。相對于排列組合公式，錯位排列是一個較為冷門的考點，但本題并不要求考生一定要掌握，其解題奧秘，就在原文中。

通過分析我們不難看出，全部的分配情況為A（5，5）=120，而ABCDE公司的ABCDE員工沒有特殊要求，因此：

120=5×「員工A返回A公司，其他4名員工沒有回到自己的公司」的分配情況（即員工A返回A公司這一情況沒有特殊性，BCDE公司和員工也符合）

可知「員工A返回A公司，其他4名員工沒有回到自己的公司」的分配情況=24

觀察選項可知，本題數值最大選項D也只有35%，而24的35%約比8大一點（35%比33.33%大一點，24×33.33%=8），即：
「最多只需要數出9種情況就能得到正確答案」

也就是說，本題可以暴力破解，一個個數所有的分配可能即可，不會浪費太多時間。

那么，以上文說的那個情況為例：A員工返回了A公司，其他4名員工沒有回到自己的公司，即B可以去CDE不能去B,C可以去BDE不能去C……

在這種情況下，以員工B去C公司為例，C只能去BDE。如果C去B，那么D只能去E，E只能去D；如果C去D，那么D只能去E，E只能去B；如果C去E，那么D只能去B，E只能去D。也就是說，B去C的前提下，只有3種情形。同樣，B去D、E也是各有3種情形，也就是共有9種。

以B去C，C去B為例簡單列圖就能明白這個關系了（紅箭頭代表B去C，藍箭頭代表其他所有可能）。

可能性一：

可能性二：

可能性三：

雖然上述內容文字描述看上去很復雜，但在草稿紙上列表就是半分鐘的事情。這種解法也可得出正確答案。

之所以把這個「不知道、不會用錯位排列」的解題方法寫了這么多，是因為要給各位小伙伴提供另一種一個思考角度，通過選項思考暴力破解的可能性。本題正確率只有15%，如果做對就戰(zhàn)勝了絕大多數考生，因此千萬不要輕言放棄。

五、例題3：極為簡單，一半做錯的題

【2015國考地市級卷67題／省級卷66題】把12棵同樣的松樹和6棵同樣的柏樹種植在道路兩側，每側種植9棵，要求每側的柏樹數量相等且不相鄰，且道路起點和終點處兩側種植的都必須是松樹。

共有多少種不同的種植方法？
（A）36?
（B）50?
（C）100?
（D）400

共有多少種不同的種植方法？
（A）36?
（B）50?
（C）100?
（D）400

正確率51%，易錯項B

列出題干數據關系：
①12松6柏種兩側，每側9棵
②柏每側相等（各3棵），不相鄰
③起點終點都是松

根據①②可知每側固定6松3柏
根據③可知每側兩端的樹固定為松

實際情況如下：

兩端加粗的「松」有固定要求，6松內部共有5個可以插入的空（即滿足「柏不相鄰」的要求）。

也就是說，本題可以理解為「從5個可以插入的空中，選出3個空種植柏」。由于本題的柏沒有特征，符合組合公式，因此每側種植方法為：
C（5，3）=10

兩側總共種植方法為102=100，C選項正確。

在本題中，「兩側種植情況相同」這個情況能幫助考生秒排除B，如果答案中有更多的非平方數，例如30、50、100、120，那么可以立即選出100。

「不相鄰」是排列組合題中非常流行的考法，一定要引起注意。

六、例題4：看似簡單敘述中的隱藏陷阱

【2015國考地市級卷68題／省級卷67題】某單位有3項業(yè)務要招標，共有5家公司前來投標，且每家公司都對3項業(yè)務發(fā)出了投標申請，最終發(fā)現每項業(yè)務都有且只有1家公司中標。

如5家公司在各項業(yè)務中中標的概率均相等，這3項業(yè)務由同一家公司中標的概率為多少？
（A）1/25
（B）1/81
（C）1/125
（D）1/243

如5家公司在各項業(yè)務中中標的概率均相等，這3項業(yè)務由同一家公司中標的概率為多少？
（A）1/25
（B）1/81
（C）1/125
（D）1/243

正確率21%，易錯項C

列出題干數據關系：
①3項業(yè)務，5家公司投標
②每項業(yè)務1家公司中標
③求同一家公司中標的概率

根據①②可知，某家公司某項業(yè)務中標幾率為：
1÷5=1/5

共有3項業(yè)務，則某家公司3項業(yè)務全部中標幾率為：
（1/5）3=1/125

題干說的是「同一家公司」，并沒有說是「（固定的）某家公司」，因此「同一家公司3項業(yè)務全部中標幾率」為：
1/125×5=1/25，A選項正確。

本題基本沒有難度，但錯誤率極高。很多考生不是不會做，而是沒有認真審題，沒有理解「同一家公司」的含義。這道題乍一眼看上去很像送分題，概率的計算公式非常簡單，數值也很小，看似平平淡淡，但考場上并不會標注本題的正確率。如果事先把正確率告訴考生，很多考生就能意識到敘述中暗含的陷阱了。

從這道題可以看出，「審題」非常重要，看上去很簡單的敘述也可能有陷阱。

七、例題5：分不同情況考慮安排方案

【2014國考71題】一次會議某單位邀請了10名專家。該單位預定了10個房間，其中一層5間。二層5間。已知邀請專家中4人要求住二層、3人要求住一層。其余3人住任一層均可。那么要滿足他們的住宿要求且每人1間。

有多少種不同的安排方案？
（A）75
（B）450
（C）7200
（D）43200

有多少種不同的安排方案？
（A）75
（B）450
（C）7200
（D）43200

正確率46%，易錯項C

列出題干數據關系：
①10人住10房間，每人一間
②一層5間二層5間
③4人二層，3人一層，3人任意層
④求安排方案的數量

根據③的限定可逐層考慮安排情況，并將不同的情況相乘即可。

二層4人住5間，符合排列公式，即：
A（5，4）=5×4×3×2=120

二層3人住5間，符合排列公式，即：
A（5，3）=5×4×3=60

還有3人住余下3間，符合排列公式，即：
A（3，3）=3×2=6

因此總安排情況=三種情況相乘
=120×60×6
=7200×6
=43200種，D選項正確。

本題一定要注意「3人任意層」的含義是「安排好一層、二層人員之后，還余下3間房，3人在3間房中任意挑選」，而不是「3人住3間只有一種情況」。如果沒有理解這一點，就很容易誤選C。

一定要準確理解題干描述，不要在簡單題目上丟分。

八、例題6：理解排列組合題的關鍵

【2012國考70題】有5對夫妻參加一場婚禮，他們被安排在一張10個座位的圓桌就餐，但是操辦者不知道他們之間的關系，隨機安排座位。

5對夫妻恰好相鄰而坐的概率是多少?
（A）≤1‰
（B）1‰~5‰
（C）5‰~1%
（D）＞1%

5對夫妻恰好相鄰而坐的概率是多少?
（A）≤1‰
（B）1‰~5‰
（C）5‰~1%
（D）＞1%

正確率31%，易錯項B

列出題干數據關系：
①5對夫妻，一個圓桌
②10個座位，隨機安排
③恰好相鄰，求其概率

③所要求的概率為：
5隊夫妻恰好相鄰的安排數量/總安排數量

需要注意本題是「一個圓桌」，即夫妻ABCDE和BCDEA、CDEAB、DEABC、EABCD的排列情況是相同的，也就是說，根據①將5隊夫妻視為整體，則整體安排數量為：
A（5，5）÷5=2×3×4

夫妻內部有夫左妻右、夫右妻左兩種情況，因此5隊夫妻內部的排列情況為2的5次方，即5隊夫妻恰好相鄰的安排數量為：
2×3×4×2的5次方

10人同樣位于「一個圓桌」，同理其總安排數量為：
A（10，10）÷10=2×3×……×9

即：
5隊夫妻恰好相鄰的安排數量/總安排數量
=2×3×4×2的5次方/（2×3×……×9）
=2的5次方/5×6×7×8×9
=2/5×3×7×9=2/945，A選項正確。

本題即使不考慮「圓桌」的排列，最后結果也是1/945，同樣位于A選項范圍內。總體來看，這道題還是很人性化的。

理解了本題，就理解了大部分公考中的「排列組合」題。