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幾種幾何表面上的采樣

2022-05-07 18:46 作者:nyasyamorina 0人讀過 | 我要投稿

這篇專欄算是接下來光追專欄的預(yù)熱,? 因?yàn)楣庾匪惴ㄊ褂玫氖敲商乜宸e分渲染的,? 而蒙特卡洛積分里需要進(jìn)行大量的幾何表面面采樣,? 所以這里就直接單獨(dú)拿出來講了.

單位正方形上的均勻采樣

為了專欄的減少篇幅和使結(jié)構(gòu)更加清晰,? 這里假設(shè)有一種算法可以在單位正方形上進(jìn)行均勻采樣,? 最簡單的當(dāng)然就是使用編程語言里內(nèi)置的隨機(jī)浮點(diǎn)數(shù)生成方法:

但是實(shí)際上這種采樣會造成巨大的標(biāo)準(zhǔn)差 (即在少量樣本里不足夠均勻),? 所以在光追算法里為了提高在一定計(jì)算時間內(nèi)圖像的質(zhì)量,? 提出了很多種生成在單位正方形上均勻采樣的方法.? 但是采樣生成方法還是留到之后再說吧.

接下來的所有幾何表面采樣都不是直接在表面上進(jìn)行采樣,? 而是在單位正方形上采樣后再投射到幾何表面上,? 這可以提高方法的復(fù)用度,? 比如說有多種單位正方形上采樣的方法,? 那么相應(yīng)的半球采樣只需要定義單位正方形到半球的投射,? 而不是重新定義多種直接在半球上的采樣方法.? 另外需要聲明,? 整篇專欄都不會對區(qū)間邊界進(jìn)行討論,? 因?yàn)閰^(qū)間邊界對采樣的貢獻(xiàn)永遠(yuǎn)都是 0 (數(shù)學(xué)上, 編程里還是需要稍微注意一下的),? 所以區(qū)間的開閉性都是亂來的.

下圖是兩個在單位正方形上均勻的采樣集,? 分別是256個采樣點(diǎn)和2048個,? 之后展示投射方法的正確性就使用這兩個采樣集.

單位圓面上的均勻采樣

單位圓面定義為? $x%5E2%2By%5E2%5Cleq1$ .? 描述與圓相關(guān)的東西時,? 極坐標(biāo)是一個非常方便的坐標(biāo)系,? 極坐標(biāo)與笛卡爾坐標(biāo)有轉(zhuǎn)換公式: $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3Dr%5Ccos%5Cvarphi%5C%5Cy%3Dr%5Csin%5Cvarphi%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ?和 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dr%20%3D%20%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%5C%5C%5Cvarphi%3D%5Cmathrm%7Batan2%7D(y%2Cx)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ,? 其中 atan2 是一個編程上常用的方法,? 而不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)函數(shù),? 但是用這個函數(shù)會省下計(jì)算 tan?1 的麻煩 (比如象限討論和除以≈0造成的數(shù)值不穩(wěn)定).

為了確保采樣的均勻性,? 需要計(jì)算面積元? $dA%3Ddx%5C%2Cdy$ ?在對應(yīng)的坐標(biāo)系里的形式.? 把上面的轉(zhuǎn)換公式代入不難得出在極坐標(biāo)下面積元為? $dA%3Dr%5C%20dr%5C%20d%5Cvarphi$ ,? 稍加變換得到 $d(r%5E2%2F2)%5C%20d%5Cvarphi$ ,? 結(jié)合單位面積在笛卡爾坐標(biāo)下的定義,? 可以定義單位正方形到單位圓面上的均勻投射為? $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%5Cpropto%20r%5E2%2F2%5C%5Cy%5Cpropto%5Cvarphi%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ,? 在單位正方形內(nèi), x和y定義在 [0,1] 上,? 而單位圓面定義 r 在 [0,1] 上,?φ 在 [0,2π] 上,? 于是得到投射公式 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dr%3D%5Csqrt%20x%5C%5C%5Cvarphi%3D2%5Cpi%20y%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ,? 下面是使用上面展示過的采樣集進(jìn)行投射的結(jié)果

另外 Shirley 提出了一個同心投射的方法:? 把正方形 [-1,1]2 分割為4個三角形,? 然后將三角形投射到單位圓的扇形上,? 即下圖所示

相應(yīng)的從單位正方形到單位圓的投射方法為:

使用這種投射方法的結(jié)果為:

Shirley 的方法與上面推導(dǎo)的少了算一個 sqrt,? 所以在性能上有優(yōu)勢.? 但在實(shí)際光追算法里,? 是初始化時生成一大個樣本集提供給光追里使用,? 所以這點(diǎn)性能差距也不算太重要了.

單位球面上的均勻采樣

單位球面定義為? $x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%3D1$ ,? 與極坐標(biāo)類似,? 三維空間有相應(yīng)的球極坐標(biāo) (r 距離,

θ 天頂角, φ 方位角),? 其中天頂角是從z軸到目標(biāo)向量之間的夾角.? 球極坐標(biāo)和笛卡爾坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式為? $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3Dr%5C%20%5Csin%5Ctheta%5C%20%5Ccos%5Cvarphi%5C%5Cy%3Dr%5C%20%5Csin%5Ctheta%5C%20%5Csin%5Cvarphi%5C%5Cz%3Dr%5C%20%5Ccos%5Ctheta%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ 和? $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dr%3D%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%7D%5C%5C%5Ctheta%3D%5Ccos%5E%7B-1%7D(z%2Fr)%5C%5C%5Cvarphi%3D%5Cmathrm%7Batan2%7D(y%2Cx)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ .? 對于單位球面,? r 固定為1,? 于是自由變量只有 θ 和?φ,? 這兩個變量合在一起成為立體角,? 用符號 Ω 表示.

立體角的微元 dΩ 可以看作單位球面上的面積元 dA,? 為了避免符號沖突,? 這里使用 u 和 v 代替單位正方形上的 x 和 y,? 那么有? $du%5C%20dv%3DdA%3Dd%5COmega$ .? 并且由球極坐標(biāo)的定義可以得到立體角的微元為? $d%5COmega%3D%5Csin%5Ctheta%20d%5Ctheta%5C%20d%5Cvarphi$ ,? 稍加變換得到? $d(-%5Ccos%5Ctheta)%5C%20d%5Cvarphi$ .? 即得到單位正方形到單位球面的均勻投射為? $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Du%5Cpropto%20-%5Ccos%5Ctheta%5C%5Cv%5Cpropto%5Cvarphi%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ,? 在立體角里 θ 取值為 [0, π], φ 取值為 [0, 2π],? 于是最后得到? $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Ctheta%3D%5Ccos%5E%7B-1%7D(1-2u)%5C%5C%5Cvarphi%3D2%5Cpi%20v%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ .? 在實(shí)際計(jì)算里不需要把 θ 算出來,? 因?yàn)?1-2u 已經(jīng)給出了 cosθ 的值,? 則有 $%5Csin%5Ctheta%3D%5Csqrt%7B1-%5Ccos%5E2%5Ctheta%7D$ ,? 并且平方根的計(jì)算速度比 sin, cos 快很多.

下圖為投射的結(jié)果,? 左邊為 x,z 分量,? 右邊為 x,y 分量

在這里真的很難看出來樣本的均勻分布,? 非常推薦自己去用 plot 的3d顯示看一下.

半球面上的不均勻采樣

半球定義為單位球面里 z>0 的部分,? 即 θ<π/2.? 半球的不均勻采樣在光追里常用來計(jì)算高光和優(yōu)化反射采樣.? 半球的不均勻采樣里有一個常數(shù) c 用于表示采樣點(diǎn)在半球上的集中度,? 樣本在立體角上的分布正比于 $%5Ccos%5Ec%5Ctheta$ ,? 下面為 c=10 和 c=100 時的樣本分布

特殊地,? 當(dāng) c=0 時則為半球的均勻采樣.

因?yàn)榘肭蛏系牟蓸硬皇蔷鶆虻?? 采樣分布與立體角有關(guān)系? $%5Ccos%5E2%5Ctheta%5C%20d%5COmega$ ,? 于是可以假設(shè)? $%5Ccos%5Ec%5Ctheta%5C%20d%5COmega%3D%5Ccos%5Ec%5Ctheta%5Csin%5Ctheta%20d%5Ctheta%5C%20d%5Cvarphi%3DdA%3Ddu%5C%20dv$ ,? 可以看到?dφ 與球面采樣里 dφ 是一致的,? 那么 φ 分量的投射與球面的相同.? 類比于圓面和球面采樣,? 不難知道這里需要找到一個關(guān)于 θ 的表達(dá)式 Θ 使得? $d%5CTheta%3D%5Ccos%5Ec%5Ctheta%5Csin%5Ctheta%20d%5Ctheta$ ,? 也就是求積分.? 經(jīng)過一番頭腦風(fēng)暴* 之后可以求得? $%5CTheta%3D(c%2B1)%5E%7B-1%7D(1-%5Ccos%5E%7Bc%2B1%7D%5Ctheta)$ .? 因?yàn)榘肭蚶?θ 取值為 [0, π/2],? 所以 Θ 取值為 [0, 1/(c+1)].? 最后求得相應(yīng)的 θ 分量的投射為? $%5Ctheta%3D%5Ccos%5E%7B-1%7D((1-u)%5E%7B1%2F(c%2B1)%7D)$ .

*: 湊微分法,? 又稱東湊西湊總之不知道為什么就拼對了法 (

三角形上的均勻采樣

以三角形其中一個點(diǎn)為局部坐標(biāo)系的原點(diǎn),? 那么三角形的另外兩個點(diǎn)在局部坐標(biāo)系里可以表示為兩個向量: A, B.? 然后對單位正方形上的采樣點(diǎn)進(jìn)行處理: 把 1-x>y 的點(diǎn)重新投射到 1-x<y 里,? 于是得到處于 (0,0)-(0,1)-(1,0)?里的均勻采樣.? 那么三角形上的均勻投射為 x*A+y*B.

這是容易證明的 (線性變換),? 但是由于有點(diǎn)難展示 (懶得再寫程序了),? 所以這里提一下就算了.