歐拉公式exp(iπ)+1=0的7種“另類”證明

2021-04-08 02:10 作者:中國大黃鴨鴨 0人讀過 | 我要投稿

? ? ? ? 大家好，我是大黃鴨。進來的人和小黃鴨都是積佬吧（up主亦然）……
????? ??最近，我看到b站一些有關(guān)歐拉公式 $e%5E%7Bi%CF%80%7D%2B1%3D0$ 的數(shù)學(xué)虛無主義言論。

虛無主義，指作為哲學(xué)意義認為世界，特別是人類的存在沒有意義、目的以及可理解的真相及最本質(zhì)價值。

——百度百科（https://baike.baidu.com/item/虛無主義）

? ? ? ??顯然，這里的“數(shù)學(xué)虛無主義”就是認為“數(shù)學(xué)的存在沒有意義、可理解的定理及最本質(zhì)價值”。在歐拉公式上，體現(xiàn)為“歐拉公式不僅證明過程不可理喻，而且還毛用沒有”。首先，“毛用沒有”肯定不成立——物理學(xué)經(jīng)常用到復(fù)指數(shù)，如果歐拉公式不成立，物理學(xué)會出問題的。下面，主要駁斥的是“證明過程不可理喻”的觀點，方法就是列舉出7種除泰勒展開以外的嚴謹證明。

? ? ? ? 首先要闡明：我并不是說發(fā)這些言論的人數(shù)學(xué)都很菜，他們很多人是我欽佩的數(shù)學(xué)up主。只是某些方面，他們并不甚了解。

當(dāng)然，明白人還是有的：

? ??? ??下面，咱們就開始科普一些歐拉公式的7種“另類”證明，以說明這一點：已知的任何歐拉公式的證法都不能推導(dǎo)出與歐拉公式相異的結(jié)果。它們有一個成立的關(guān)鍵條件：復(fù)數(shù)繼承了實數(shù)的所有運算律以及計算結(jié)果。這是復(fù)數(shù)被公眾的接受程度大于四元數(shù)的原因之一。

? ? ? ??下面的證明過程，往往會對 $e%5Ex$ 、 $%5Cln%20x$ 進行微積分計算。而這種計算并不需要基于歐拉公式，只是需要鏈式法則，因此不涉及循環(huán)論證。另外，棣莫弗定理是可以拓展到實數(shù)次方的，只是在眾多的結(jié)果中，只有一個是主值。

? ? ? ? 雖然本文史無前例地將歐拉公式的6種證明方法匯總在一起，但證明的嚴格性，咱們會在下一期“復(fù)變指數(shù)對數(shù)的求導(dǎo)與棣莫弗定理”進行討論。

一?求導(dǎo)法

證法1 求導(dǎo)確定底數(shù)法

　　參考資料：歐拉公式的證明（整理）（https://wenku.baidu.com/view/56cf92c758f5f61fb7366620.html）

　　設(shè)存在 $a$ ，使 $a%5E%7Bix%7D%3D%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x%20%5Cleft(r%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%5E%2B%7D%7C%20a%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BC%7D%5Cland%20a%E2%89%A01%20%5Cright)%2C%20x%3D%20x(%CE%B8)%E2%91%A0%5C%20%5C%20$

　　對 $%CE%B8$ 求導(dǎo)，得

　　 $i%20a%5E%7Bix%7D%20%5Cln%20a%20%5C%20x'(%CE%B8)%3Di%7B%5C%20%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x$

　　注意！這里 $%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7Da%5E%7Bix%7D%20%3D%20i%20a%5E%7Bix%7D%20%5Cln%20a$ 并非求出了 $a%5E%7Bix%7D$ 的導(dǎo)數(shù)，因為此時我們并不知道 $a%5E%7Bix%7D$ 的具體定義。因此，明確這一步在做什么，非常重要。

【妖王】你是在“擼爆蛋”

　　各位，各位，別聽妖王瞎說！別聽他瞎說……這一步其實只是求出了 $a%5E%7Bix%7D$ 的導(dǎo)數(shù)與它自己的關(guān)系，至于如果讓我現(xiàn)在就畫出它們倆的函數(shù)圖像，那是不可能的。

　　其實除了根據(jù)等號右邊推出左邊，用求導(dǎo)法從左邊推到右邊也是可以的。

嘿，小姐姐，你好像不開心~~

證法2 比值求導(dǎo)法

　　參考資料：中文維基百科歐拉公式（https://www.tposa.xyz/wiki/歐拉公式）

　　設(shè) $f(x)%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bix%7D%7D%7B%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x%7D%5C%20%E2%91%A0%5C%20%5C$

　　則 $f%E2%80%99(x)%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bix%7D(i%7B%5C%20%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x)-ie%5E%7Bix%7D(%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x)%7D%7B%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x%7D%3D0$

　　將 $x%3D0$ 代入 $%5C%20%E2%91%A0%5C%20%5C$ ，得

　　 $f(0)%3D%5Cfrac%7Be%5E%7B0%7D%7D%7B%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%200%7D%3D1$

　　 $%E2%88%B4f(x)%3D1$

　　 $%E2%88%B4e%5E%7Bix%7D%3D%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x$

歐拉公式，你個全純函數(shù)小可愛，要不要做我女朋友？

二?搞積法

證法3 根式求積分法

　　參考資料：歐拉公式的證明（https://wenku.baidu.com/view/56cf92c758f5f61fb7366620.html）

　　在試圖證明歐拉公式前，我們先來討論一下這個基分（誤）怎么解：

$%5Cint_%7B1%7D%5E%7Bx%7D%20%5Csqrt%7Bt%5E2-1%7D%20dt$

　　答案是：利用換元積分法：

　　設(shè) $t%3D%5Ccosh%20u$

　　則 $%E5%8E%9F%E5%BC%8F%3D%5Cint_%7B1%7D%5E%7Bx%7D%20%5Csinh%20u%20%5C%20d%5Ccosh%20u%3D%5Cint_%7B1%7D%5E%7Bx%7D%20%5Csinh%5E2%20u%20%5C%20du$

　　降冪可得

　　 $%E5%8E%9F%E5%BC%8F%20%3D%5Cint_%7B1%7D%5E%7Bx%7D%20%5Cfrac%7B%5Ccosh%202u-1%7D%7B2%7D%20du%3D%7B%5B%5Cfrac%7B%5Csinh%202u%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7Bu%7D%7B2%7D%5D%7D_%7Bt%3D1%7D%5E%7Bt%3Dx%7D$

　　將 $u%3D%5Ccosh%5E%7B-1%7D%20t$ 代入，得

　　 $%E5%8E%9F%E5%BC%8F%20%3D%20%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7B%5Csinh%202%5Ccosh%5E%7B-1%7D%20t%7D4-%5Cfrac%7B%5Ccosh%5E%7B-1%7D%20t%7D2%20%5Cright%5D%20_%7B1%7D%5E%7Bx%7D$

　　化簡，得

　　 $%E5%8E%9F%E5%BC%8F%20%3D%5Cfrac%7Bx%5Csqrt%7Bx%5E2-1%7D%20-%20%5Ccosh%5E%7B-1%7D%20x%7D%7B2%7D$

　　那么這個式子等于什么：

$i%5Cint_%7B1%7D%5E%7Bx%7D%20%5Csqrt%7Bt%5E2-1%7D%20dt$

　　有人說：直接那上面結(jié)果乘 $i$ 不香嗎？可是，我們今天要用一種全新的計算方法：

$%5Cint_%7B1%7D%5E%7Bx%7D%20%5Csqrt%7B1-t%5E2%7D%20dt$

COS兔女郎，積分全解完（誤）

　　利用三角代換法，易證 $%E5%8E%9F%E5%BC%8F%20%3D%5Cfrac%7B-ix%5Csqrt%7Bx%5E2-1%7D%2B%5Ccos%5E%7B-1%7D%E2%81%A1x%7D%7B2%7D$

　　因此，很顯然， $-i%5Ccosh%5E%7B-1%7D%20x%3D%5Ccos%5E%7B-1%7D%20x$ ，

　　 $%E2%88%B5%5Ccosh%7B(-i%5Ccosh%5E%7B-1%7D%20x)%7D%3D%5Ccos%20%7B(%5Ccos%5E%7B-1%7D%20x)%7D$

　　 $%E2%88%B4%5Ccosh%7B(-iy)%7D%3D%5Ccos%20y%5C%20%E2%91%A0%5C%20%5C%20$

　　 $%E2%88%B4-%5Csqrt%7B%5Ccosh%5E2%20%7B(-iy)%7D-1%7D%20%3Di%5Csqrt%7B1-%5Ccos%5E2%20y%7D%20$

　　 $%E2%88%B4-%5Csinh%7B(-iy)%7D%20%3Di%5Csin%7By%7D%5C%20%E2%91%A1%5C%20%5C%20$

　　其實通過 $%E2%91%A0%5C%20%5C%20$ 和 $%E2%91%A1%5C%20%5C%20$ ，就可以描述復(fù)變三角函數(shù)、雙曲函數(shù)了喲?。【唧w內(nèi)容參見雙曲函數(shù)——與三角函數(shù)關(guān)系（https://baike.baidu.com/item/雙曲函數(shù)/8704306?fr=aladdin#3），此處不贅述。

　　根據(jù)雙曲函數(shù)定義，得 $%5Cfrac%7Be%5E%7Biy%7D%2Be%5E%7B-iy%7D%7D%7B2%7D%3D%5Ccos%20y%20%5C%20%E2%91%A2%5C%20%5C%20%2C-%5Cfrac%7Be%5E%7B-iy%7D-e%5E%7Biy%7D%7D%7B2%7D%20%3Di%5Csin%7By%7D%5C%20%E2%91%A3%5C%20%5C%20$

　　 $%E2%91%A2%5C%20%5C%20%2B%5C%20%E2%91%A3%5C%20%5C%20$ ，得

$e%5E%7Biy%7D%3D%5Ccos%20y%2Bi%5Csin%20y%3D%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x$

　　這種方法沒有將 $i$ 與 $-i$ 嚴格區(qū)分開，而具體的符號可以根據(jù)其它證法確定。嘿嘿！

【=咬人貓=】你也會 $%5Ccos$ ？我也會COS，耶[脫單doge]

證法4?分式求積分法

參考資料：歐拉公式的多種證法（https://wenku.baidu.com/view/e32ff5047fd5360cbb1adb01.html）

想想看，這個積分怎么算？

$%5Cint_%7B0%7D%5E%7By%7D%20%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bt%5E2%2B1%7D$

　　 $%E2%88%B5%5Cint_%7B0%7D%5E%7By%7D%20%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bt%5E2%2B1%7D%3D%5Cleft%5B%20%5Ctan%5E%7B-1%7Dt%20%5Cright%5D_0%5Ey%3D%5Ctan%5E%7B-1%7Dy$

$%5Cland%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7By%7D%20%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bt%5E2%2B1%7D%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7By%7D%20-%5Cfrac%7Bdt%7D%7B2i%7D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%2Bi%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bt-i%7D%20%5Cright)$

$%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%20%5Cleft%5B%20%5Cln%20(t%2Bi)-%5Cln%20%7B(t-i)%7D%20%5Cright%5D_0%5Ey%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%20%5Cleft%5B%5Cln%20%5Cfrac%7B%20(y%2Bi)%5E2%20%7D%7B%20y%5E2%2B1%20%7D-%5Cln%20%7B(-1)%7D%20%5Cright%5D$

　　記 $%5Ctan%5E%7B-1%7D%20y%3D%CE%B8$ ，由此得 $y%3D%5Ctan%20%CE%B8$ ，所以

　　 $%CE%B8%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%20%5Cleft%5B%20%5Cln%20%5Cfrac%7B%20(y%2Bi)%5E2%20%7D%7B%20y%5E2%2B1%20%7D-%5Cln%20%7B(-1)%7D%20%5Cright%5D%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%5B%5Cln%20%5Cfrac%7B%20(%5Ctan%20%CE%B8%2Bi)%5E2%20%7D%7B%20%5Ctan%5E2%20%CE%B8%2B1%20%7D-%5Cln%20%7B(-1)%7D%5D$

　　由 $%5Ctan%5E2%20%CE%B8%2B1%3D%20%5Csec%20%CE%B8$ 與對數(shù)運算律，得：

　　 $%CE%B8%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%5Cln%20%5Cleft%5B%20-%5Ccos%5E2%20%CE%B8%20%5Cleft(%20%5Ctan%20%CE%B8%2Bi%20%5Cright)%20%5E2%20%5Cright%5D$

　　將 $%5Ctan%20%CE%B8%3D%5Cfrac%7B%5Csin%20%CE%B8%7D%7B%5Ccos%20%CE%B8%7D$ 代入并整理，得

　　 $%CE%B8%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%5Cln%20%5Cleft%5B%20%5Ccos%5E2%20%CE%B8-2i%5Ccos%20%CE%B8%5Csin%20%CE%B8-%5Csin%5E2%20%CE%B8%20%5Cright%5D%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%5Cln%20%5B%5Ccos%20%7B(-%CE%B8)%7D-i%5Csin%20%7B(-%CE%B8)%7D%5D%5E2$

　　令 $x%3D-%CE%B8$ ，得 $ix%3D%5Cln%7B(%5Ccos%20x%2Bi%5Csin%20x)%7D%3D%5Cln%20%7B%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x%7D$

　　 $%E2%88%B4e%5E%7Bix%7D%20%3D%20%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x$

【up主】我裂開了……哪個鐵憨憨想出來的這么不友好的證明……

三?微分方程法

證法5?分離變量積分法

　　參考資料：歐拉公式的多種證法（https://wenku.baidu.com/view/e32ff5047fd5360cbb1adb01.html）

　　設(shè) $y%3D%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x$

　　求導(dǎo)，得

　　 $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Diy$

　　分離變量

　　 $%E2%88%B4%5Cfrac%7Bdx%7D%7By%7D%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%20%3D%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7By%7D%20%20iy%20$

　　 $%E2%88%B4%5Cint%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7By%7D%20%3D%20%5Cint%20idx$

　　雞分（誤），得

　　 $%5Cln%20y%20%3D%20ix%2BC%20%5C%20%E2%91%A0%5C%20%5C%20$

　　將 $x%3D0$ 代入，得

　　 $%5Cln%20%7B%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%200%7D%3DC$

　　 $%E2%88%B4C%3D0%20%5C%20%E2%91%A1%5C%20%5C%20$

　　將 $%5C%20%E2%91%A1%5C%20%5C%20$ 代入 $%5C%20%E2%91%A0%5C%20%5C%20$ ，并求自然指數(shù)，得

　　 $%E2%88%B4e%5E%7Bix%7D%3D%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x$

嘿，要不我送你一包薯片？

四極限法

證法6 極限指數(shù)法

　　參考資料1：#高中知識證明歐拉恒等式#

　　參考資料2：歐拉公式的多種證法（https://wenku.baidu.com/view/e32ff5047fd5360cbb1adb01.html）

　　啊呀，忘了開始講了！

　　對 $e%5Ei$ 進行變形

　　 $%E2%88%B5e%5E%7Bi%7D%20%3D%20%5Clim_%7B%CE%94x%5Cto0%7D%20%5Cleft(%20e%5E%7Bi%CE%94x%7D%20%5Cright)%20%5E%20%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%CE%94x%7D%20%7D%3D%5Clim_%7B%CE%94x%5Cto0%7D%20%5Cleft(%20%CE%94x%20%5Cfrac%7Be%5E%7B0i%7D%2Be%5E%7Bi%CE%94x%7D-e%5E%7B0i%7D%20%7D%7B%CE%94x%7D%20%5Cright)%5E%20%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%CE%94x%7D%20%7D$

　　由導(dǎo)數(shù)的定義，得

　　 $e%5E%7Bi%7D%20%3D%20%5Clim_%7B%CE%94x%E2%86%920%7D%20%5Cleft(%201%2B%20%CE%94x%20%5Cleft%5B%20%5Cfrac%20d%7Bdx%7D%20e%5E%7Bix%7D%20%5Cright%5D_%7Bx%3D0%7D%20%5Cright)%20%5E%20%7B%20%5Cfrac%201%7B%CE%94x%7D%20%7D%3D%20%5Clim_%7B%CE%94x%E2%86%920%7D%20%5Cleft(%201%2B%20i%CE%94x%20%5Cright)%20%5E%20%7B%20%5Cfrac%201%7B%CE%94x%7D%20%7D$

$%3D%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D%20%5Cleft(%201%2B%20%5Cfrac%20in%20%5Cright)%20%5E%20n$

　　由棣莫弗定理，得

　　 $e%5E%7Bix%7D%20%3D%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D%20%5Cleft(%201%2B%20%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20%5Cright)%20%5E%20%7Bnx%7D%20%3D%20%5Clim_%7B%CE%94x%5Cto0%7D%20%5Cleft(%20%5Ccos%20%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%7D%2B%20i%5Csin%20%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%7D%20%5Cright)%20%5E%20%7Bnx%7D%20%3D%20%5Ccos%20x%20%2B%20i%5Csin%20x$

　　沒看完推導(dǎo)過程的基友，千萬不要被下面高對比度的圖片吸引住目光。如果看完了，那就去追JOJO吧（誤！還有一種證法在下面！）。

　　就知道你們喜歡看JOJO……

證法7 極限對數(shù)法 up主原創(chuàng)

　　注：為精縮文本，方便閱讀，以下內(nèi)容中部分 $%CE%B8%2B2k%CF%80%20%5Cleft(k%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Cright)$ 被簡寫為 $%CE%B8$ ，其實嚴格的證明不能這么寫。

　　設(shè) $y%3Dr%5C%20%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20%CE%B8%2Cr%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%5E%2B%7D$

　　以下的積分路徑是： $%7B%5Crm%20Re%5C%20%7Dy%3E0$ 時，走直線走； $%7B%5Crm%20Re%5C%20%7Dy%3C0$ 時，先由 $1$ 直線走到 $i$ ，再直線走到 $y$ 。

　　 $%E2%88%B5%5Cint_%7B1%7D%5E%7By%7D%20%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bt%7D%3D%5Cln%20y%20%5Cquad%20%5Cland%20%5Cquad%20%5Cint_%7B1%7D%5E%7By%7D%20%5Clim_%7Bn%5Cto0%7D%20t%5E%7Bn-1%7Ddt%3D%5Clim_%7Bn%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7By%5En-1%7D%7Bn%7D$

　　 $%E2%88%B4%5Cln%20y%20%3D%5Clim_%7Bn%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7By%5En-1%7Dn%3D%5Clim_%7Bn%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Br%5En%7B%5C%20%5Crm%20cis%7D%5En%5C%20%CE%B8-1%7Dn$

$%3D%5Clim_%7Bn%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%20%5Cleft(r%5En-1%20%5Cright)%7B%5C%20%5Crm%20cis%7D%5En%5C%20%CE%B8%2B%7B%5Crm%20cis%7D%5En%5C%20%CE%B8-1%7Dn$

　　下一步使用了棣莫弗定理：

　　 $%E2%88%B4%5Cln%20y%20%3D%20%5Clim_%7Bn%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Br%5En-1%7Dn%7B%5C%20%5Crm%20cis%5C%20%7Dn%CE%B8%2B%5Cfrac%7B%7B%5Crm%20cis%5C%20%7Dn%CE%B8%20-1%7Dn$