本期內(nèi)容致力于用最通俗的方法向各位同學(xué)解釋麥克斯韋方程組，對(duì)應(yīng)視頻請(qǐng)見：麥克斯韋方程組

很早以前，人們就發(fā)現(xiàn)了電荷之間和磁體之間都有作用力，但是最初人們并未把這兩種作用聯(lián)系起來。后來，人們發(fā)現(xiàn)有些被閃電劈中的石頭會(huì)具有磁性，于是猜測(cè)出電與磁之間可能存在某種關(guān)系。直到奧斯特、法拉第等人的努力，人們終于認(rèn)識(shí)到電與磁的關(guān)系密不可分，人們利用磁鐵制造發(fā)電機(jī)，也利用電流制造電磁鐵。

但是，電與磁之間最深刻的物理關(guān)系是由麥克斯韋搞揭示的，麥克斯韋通過四個(gè)方程組成的方程組闡釋了電與磁——這一對(duì)宇宙間最深刻的作用力之間的聯(lián)系，并將電場(chǎng)和磁場(chǎng)統(tǒng)一了起來。麥克斯韋方程組從誕生起就一直被人們認(rèn)為是世界上最美的物理公式。

這篇文章將帶領(lǐng)大家了解一下麥克斯韋方程組的發(fā)現(xiàn)過程和具體含義，在這個(gè)過程中需要介紹一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。雖然對(duì)于大部分人來說，理解這個(gè)過程是十分辛苦的，但是當(dāng)你真正理解麥克斯韋方程組時(shí)，你會(huì)和我一樣驚嘆于它的和諧和美麗。

1.?場(chǎng)和場(chǎng)線

1758年，法國(guó)物理學(xué)家?guī)靷愖钤缪芯苛穗姾芍g的作用力，并提出了庫(kù)倫定律：兩個(gè)電荷之間的作用力與電荷量的乘積成正比，與二者之間的距離平方成反比。

從那以后，科學(xué)家們就一直在爭(zhēng)論電荷之間作用力的方式：有些人認(rèn)為電荷之間的作用力不需要時(shí)間和空間，一個(gè)電荷一瞬間就會(huì)對(duì)另一個(gè)電荷產(chǎn)生作用力，這就是所謂的“超距作用”。

隨著科學(xué)的發(fā)展，超距作用的觀點(diǎn)越來越被人們懷疑。終于，英國(guó)科學(xué)家法拉第提出了“電場(chǎng)”的概念。

法拉第認(rèn)為：在電荷周圍存在著一種物質(zhì)，這種物質(zhì)看不見也摸不著，但是它是存在的，它可以在空間中傳遞。當(dāng)電場(chǎng)傳遞到另一個(gè)電荷處時(shí)，就會(huì)對(duì)另一個(gè)電荷產(chǎn)生力的作用。反過來，第二個(gè)電荷也會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)，從而對(duì)第一個(gè)電荷產(chǎn)生反作用力。也就是說：電荷之間的作用是通過電場(chǎng)傳遞的。

1851年，法拉第還創(chuàng)造性的提出了一種描述電場(chǎng)的方法：用一組帶箭頭的曲線表示電場(chǎng)，曲線的切線方向表示電場(chǎng)的方向，曲線的疏密描述電場(chǎng)的強(qiáng)弱。比如，一個(gè)單獨(dú)的正電荷和一正一負(fù)兩個(gè)電荷在空間中形成的電場(chǎng)如下：

這種描述場(chǎng)的方法稱為“場(chǎng)線”，場(chǎng)線可以用來描述電場(chǎng)，也可以用來描述磁場(chǎng)。人們可以通過各種方法來模擬場(chǎng)線，例如：法拉第利用磁鐵周圍的鐵屑模擬了磁感線的情況。

場(chǎng)和場(chǎng)線的提出為后來人們研究許多問題提供了方便。

2.?電生磁、磁生電

第一個(gè)發(fā)現(xiàn)電與磁關(guān)系的人是丹麥物理學(xué)家奧斯特。

1820年，奧斯特在一次給學(xué)生上課的時(shí)候，偶然間把一個(gè)通電直導(dǎo)線放在了小磁針上方，他驚奇的發(fā)現(xiàn)：小磁針居然偏轉(zhuǎn)了！在場(chǎng)的學(xué)生并沒有發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象的驚人之處，只有奧斯特為這個(gè)發(fā)現(xiàn)倍感興奮。

經(jīng)過仔細(xì)的研究，奧斯特提出了電流對(duì)小磁針的作用方式。在我們今天的觀點(diǎn)看來，奧斯特其實(shí)闡明了通電導(dǎo)線的周圍存在著以導(dǎo)線為圓心的環(huán)形磁場(chǎng)。后來，科學(xué)家安培指明了磁場(chǎng)的方向判斷方法：右手螺旋定則。

在奧斯特發(fā)現(xiàn)電流可以產(chǎn)生磁場(chǎng)的消息傳遍世界時(shí)，英國(guó)的法拉第剛滿30歲，他當(dāng)時(shí)還在化學(xué)家戴維的手下干活。許多人懷疑戴維出于嫉妒使用各種方法壓制法拉第，例如強(qiáng)迫法拉第進(jìn)行光學(xué)研究。直到1829年戴維去世后，法拉第才開始著手研究自己感興趣的電磁學(xué)問題。

法拉第認(rèn)為：既然電流可以產(chǎn)生磁場(chǎng)，那么磁鐵也應(yīng)該可以產(chǎn)生電流。為此，法拉第進(jìn)行了一系列的物理實(shí)驗(yàn)，終于在1831年發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象。

在一個(gè)鐵環(huán)的兩側(cè)繞上兩條不同的導(dǎo)線，第一個(gè)導(dǎo)線上通過電流時(shí)，另一側(cè)的導(dǎo)線上也產(chǎn)生了電流。法拉第解釋說：這是因?yàn)榈谝粋€(gè)電路的電流發(fā)生了變化，所產(chǎn)生的磁場(chǎng)也發(fā)生了變化，而變化的磁場(chǎng)可以產(chǎn)生電流。

我們還可以做這樣的實(shí)驗(yàn)：將一根磁鐵插入螺線管，螺線管連接到一個(gè)電流表上，也會(huì)發(fā)現(xiàn)電流表上有讀數(shù)。這也滿足法拉第所說的“在運(yùn)動(dòng)和變化的過程中，磁場(chǎng)可以產(chǎn)生電流?！?/p>

通過奧斯特、法拉第等人的發(fā)現(xiàn)，人們認(rèn)識(shí)到電和磁并不是割裂的，而是緊密相關(guān)的，甚至有人認(rèn)為：電和磁似乎是同一個(gè)問題的兩個(gè)方面。

3.?麥克斯韋方程組的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1860年，比法拉第年輕四十歲的青年科學(xué)家麥克斯韋來到了法拉第面前，他把他之前發(fā)表的論文《論法拉第的力線》遞交給法拉第。法拉第大喜過望，并對(duì)麥克斯韋說：你不應(yīng)該局限于用數(shù)學(xué)解釋我的觀點(diǎn)，而要有所創(chuàng)新。

在法拉第的鼓勵(lì)下，麥克斯韋進(jìn)一步開拓了自己的觀點(diǎn)，并最終總結(jié)成四個(gè)方程組成的麥克斯韋方程組。為了理解這四個(gè)方程，我們首先需要兩種數(shù)學(xué)運(yùn)算：通量和路徑積分。

第一個(gè)概念是通量。如果電場(chǎng)E垂直穿過一個(gè)平面S，我們把電場(chǎng)E和面積S的乘積稱為電場(chǎng)通量。如果電場(chǎng)E和平面S的法線夾一定的夾角，我們可以把電場(chǎng)進(jìn)行正交分解，再用垂直于平面的分量乘以面積得到電場(chǎng)通量。

因?yàn)殡妶?chǎng)E可以用電場(chǎng)線的疏密表示，所以用電場(chǎng)E乘上面積S，實(shí)際上表示的就是穿過這個(gè)面的電場(chǎng)線根數(shù)。假如各處電場(chǎng)不同，就需要把面積分割成無限多份，用每一小份的電場(chǎng)通量相加。

用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示就是：

同樣，磁場(chǎng)穿過一個(gè)面時(shí)也可以用同樣的方法定義磁通量。用積分符號(hào)寫作：

第二個(gè)概念是路徑積分。如果一個(gè)電場(chǎng)E沿著路徑AB的方向，用電場(chǎng)E乘以路徑AB的長(zhǎng)度L，就得到路徑積分。如果電場(chǎng)E與路徑AB方向夾一定角度，就把電場(chǎng)進(jìn)行分解，把沿著AB方向的場(chǎng)分量乘以路徑長(zhǎng)度L。磁場(chǎng)也有類似的路徑積分。

如果電場(chǎng)或磁場(chǎng)各處不同，我們就可以把路徑AB分成無窮多份，把每一份的路徑積分加起來，表示成：

需要注意路徑并不一定是直線，沿著曲線也有路徑積分。

4.?麥克斯韋方程組

好了，現(xiàn)在我們知道了一個(gè)矢量可以計(jì)算通量，也可以計(jì)算路徑積分。這樣我們就可以來理解這四個(gè)偉大的方程了。

1.電場(chǎng)的有源性

麥克斯韋方程組的第一個(gè)方程用數(shù)學(xué)表示了法拉第的第一個(gè)觀點(diǎn)：電荷會(huì)在周圍空間產(chǎn)生電場(chǎng)。正電荷會(huì)向外發(fā)射電場(chǎng)線，負(fù)電荷會(huì)從周圍吸收電場(chǎng)線。電荷的電量越大，所發(fā)射或者吸收的電場(chǎng)線越多。

如果我們用一個(gè)閉合曲面包圍住一個(gè)電荷，那么這個(gè)閉合曲面上的電場(chǎng)通量就代表了電場(chǎng)線的根數(shù)。由于這些電場(chǎng)線都是由曲面內(nèi)的電荷發(fā)射出來的，所以它正比于曲面內(nèi)所有電荷的代數(shù)和。需要注意的是：無論我們所選取的曲面形狀如何，只要它包圍的電荷相同，它的電通量就是相同的。如果電荷在閉合曲面外，它發(fā)射的電場(chǎng)線就既要穿入曲面，又要穿出曲面，這樣對(duì)曲面的電通量就沒有貢獻(xiàn)，因此在方程中考慮的電荷量都是曲面內(nèi)部的電荷。

用公式寫作

在這個(gè)公式中，等號(hào)左邊部分表示 閉合曲面上的電通量，也就是穿出曲面的電場(chǎng)線根數(shù)，等號(hào)右邊的Σq表示曲面內(nèi)的電荷代數(shù)和，ε0稱為真空介電常數(shù)。這個(gè)方程就是麥克斯韋方程組中的第一個(gè)方程，也稱為電場(chǎng)高斯定律。這個(gè)方程告訴我們：電場(chǎng)是有源場(chǎng)，它的源就是空間中的電荷。

2. 磁場(chǎng)的無源性

與電場(chǎng)不同，無論是由磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)，還是由電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)，磁感線總是閉合的。磁感線既沒有出發(fā)點(diǎn)，也沒有結(jié)束點(diǎn)。比如我們觀察通電螺線管的磁場(chǎng)就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)特點(diǎn)。

于是，如果我們?cè)诳臻g中做一個(gè)閉合曲面，磁感線要么不穿透這個(gè)曲面，要么一定是既穿入這個(gè)曲面，又穿出這個(gè)曲面，因此磁感線的通量為零。

這樣，麥克斯韋方程組的第二個(gè)方程就可以寫作：

這個(gè)方程稱為磁場(chǎng)高斯定律，它告訴我們：磁場(chǎng)是無源的，既沒有起點(diǎn)也沒有終點(diǎn)，而總是閉合的。

3 磁場(chǎng)的環(huán)路積分

麥克斯韋方程組的第三個(gè)方程是為了解釋法拉第電磁感應(yīng)定律。

比如，當(dāng)一個(gè)磁鐵靠近一個(gè)導(dǎo)線圈時(shí)，導(dǎo)線圈中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流。法拉第等人認(rèn)為：這是因?yàn)榇盆F靠近時(shí)，線圈中的磁通量發(fā)生了變化，而且產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)正比于磁通量的變化率。

麥克斯韋經(jīng)過思考，得出了一個(gè)設(shè)想：電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生是由于有一種電場(chǎng)力推動(dòng)了電荷，因此變化的磁場(chǎng)可以產(chǎn)生的是渦旋狀的電場(chǎng)。假如有個(gè)導(dǎo)體恰好處于渦旋電場(chǎng)之中，就會(huì)在導(dǎo)體中產(chǎn)生感應(yīng)電流。而且，這個(gè)渦旋電場(chǎng)的大小是正比于磁通量的變化率的。

于是，麥克斯韋把第三個(gè)方程寫作：

方程左邊表示沿著一個(gè)閉合路徑的電場(chǎng)路徑積分，它可以表示這個(gè)閉合路徑上的電動(dòng)勢(shì)。而右側(cè)表示磁場(chǎng)變化率的面通量，即磁通量的變化率。

這個(gè)方程用數(shù)學(xué)解釋了法拉第電磁感應(yīng)定律的成因，也可以描述成渦旋電場(chǎng)是有旋場(chǎng)。

4. 磁場(chǎng)的路徑積分

奧斯特時(shí)代起，人們就認(rèn)識(shí)到電流周圍存在磁場(chǎng)，而且磁感應(yīng)強(qiáng)度正比于電流。麥克斯韋把這個(gè)特點(diǎn)用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫作：

等號(hào)左邊表示一個(gè)任意的閉合路徑上的磁場(chǎng)路徑積分，右側(cè)表示這個(gè)閉合路徑所包圍的電流之和。

不過，麥克斯韋的思想不僅僅局限于此。麥克斯韋設(shè)想：既然變化的磁場(chǎng)可以形成渦旋電場(chǎng)，那么變化的電場(chǎng)自然也能形成磁場(chǎng)。例如：在一個(gè)電路中有電容器，在電容器充電和放電的過程中，導(dǎo)線周圍存在磁場(chǎng)。而電容器中的電場(chǎng)會(huì)發(fā)生變化，它的地位應(yīng)該等同于電流。于是，麥克斯韋提出了位移電流的概念：變化的電場(chǎng)相當(dāng)于電流。

最終，麥克斯韋把第四個(gè)方程寫作：

等號(hào)左邊表示沿著任意一個(gè)路徑的磁場(chǎng)路徑積分，右側(cè)的μ0表示真空磁導(dǎo)率，I表示電流，Ф表示這個(gè)路徑上所包圍的電場(chǎng)通量。這個(gè)方程表示：電流和變化的電場(chǎng)都可以引起磁場(chǎng)。

5.?麥克斯韋的預(yù)言

麥克斯韋方程組是人類有史以來最美的物理學(xué)方程，它具有強(qiáng)烈的對(duì)稱性和自洽性。它告訴我們：電場(chǎng)和磁場(chǎng)并非單獨(dú)存在，而是統(tǒng)一于電磁場(chǎng)之中。

不僅如此，麥克斯韋還經(jīng)過計(jì)算證明：如果在真空中存在一個(gè)振蕩的電場(chǎng)，那么在振蕩電場(chǎng)的周圍就會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，而這個(gè)磁場(chǎng)又會(huì)進(jìn)一步產(chǎn)生電場(chǎng)…如此往復(fù)，電磁場(chǎng)就可以向遠(yuǎn)處傳播，形成電磁波。

麥克斯韋計(jì)算了電磁波的速度，發(fā)現(xiàn)電磁波在真空中的速度剛好等于光速，于是大膽預(yù)言：光就是一種電磁波。

至此經(jīng)典物理學(xué)走到了極致，物理學(xué)家們的信心極度膨脹。以至于1900年物理學(xué)家集會(huì)時(shí)，開爾文爵士自豪的宣稱：物理學(xué)的大廈已經(jīng)基本建成，后世只要再做一些修修補(bǔ)補(bǔ)的工作就可以了。

只可惜，麥克斯韋沒有親手證實(shí)它所預(yù)言的電磁波，1879年，年僅48歲的麥克斯韋與世長(zhǎng)辭。而在同一年，現(xiàn)代物理學(xué)最偉大的科學(xué)家愛因斯坦剛剛出生。

在麥克斯韋之前，最偉大的物理學(xué)家是牛頓，因?yàn)樗娜f(wàn)有引力定律統(tǒng)一了天上和地下，他證明了月亮和蘋果滿足同樣的物理規(guī)律。在麥克斯韋之后最偉大的物理學(xué)家是愛因斯坦，因?yàn)樗莫M義相對(duì)論和廣義相對(duì)論統(tǒng)一了時(shí)間與空間，讓人們認(rèn)識(shí)到世界實(shí)際上是在一個(gè)統(tǒng)一的時(shí)空中存在的。而在牛頓和愛因斯坦之間，最偉大的物理學(xué)家就是麥克斯韋，他的方程組統(tǒng)一了電場(chǎng)與磁場(chǎng)，他預(yù)言的電磁波成為現(xiàn)代最重要的通訊方式。甚至于，愛因斯坦所提出的相對(duì)論，一部分原因也是為了處理麥克斯韋方程組的協(xié)變性問題。

有些人的壽命雖然不常，但是他光輝的思想?yún)s永遠(yuǎn)留在了世界上。

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