如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么函數(shù)求導(dǎo)之后的導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性是怎樣的？是否連續(xù)？ 其實(shí)函數(shù)連續(xù)性問(wèn)題就是討論一點(diǎn)的函數(shù)值與函數(shù)在該點(diǎn)極限值的關(guān)系。同理，導(dǎo)數(shù)連續(xù)性就是討論一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)函數(shù)極限的關(guān)系。這正好就是上一節(jié)導(dǎo)函數(shù)極限定理討論的內(nèi)容。 只有函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么討論導(dǎo)函數(shù)的性態(tài)才有意義。因?yàn)槿绻瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)存在不可導(dǎo)點(diǎn)，那么函數(shù)在包含不可導(dǎo)點(diǎn)的區(qū)間內(nèi)不存在導(dǎo)函數(shù)。所以討論導(dǎo)數(shù)性態(tài)的前提就是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，也即導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)處處有定義。那么自然滿足導(dǎo)函數(shù)極限定理的兩個(gè)前提條件。所以可以利用導(dǎo)數(shù)極限定理來(lái)探究導(dǎo)數(shù)連續(xù)性的問(wèn)題。 (1)導(dǎo)函數(shù)是否可能連續(xù)？當(dāng)然有可能。不僅有可能連續(xù)，還有可能可導(dǎo)。也就是二階導(dǎo)數(shù)。 (2)導(dǎo)函數(shù)是否可能存在可去間斷點(diǎn)?存在可去間斷點(diǎn)意味著導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，但是不等于該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)本身。而根據(jù)導(dǎo)數(shù)極限定理，導(dǎo)數(shù)極限存在時(shí)，該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就等于導(dǎo)函數(shù)極限。所以導(dǎo)數(shù)不存在可去間斷點(diǎn)。 (3)導(dǎo)函數(shù)是否可能存在跳躍間斷點(diǎn)？跳躍間斷點(diǎn)意味著導(dǎo)數(shù)左右極限存在但不相等。并且由于導(dǎo)數(shù)存在，所以導(dǎo)數(shù)在跳躍間斷點(diǎn)有定義，函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)。而根據(jù)導(dǎo)數(shù)極限定理，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)左右極限存在且不相等時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)不可導(dǎo)。所以導(dǎo)函數(shù)不存在跳躍間斷點(diǎn)。 (4)導(dǎo)數(shù)是否可能存在無(wú)窮間斷點(diǎn)？無(wú)窮間斷點(diǎn)意味著導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)極限為無(wú)窮，而又因?yàn)閷?dǎo)數(shù)存在，所以導(dǎo)數(shù)在無(wú)窮間斷點(diǎn)有定義，函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)。而根據(jù)導(dǎo)數(shù)極限定理，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)極限為無(wú)窮時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)不可導(dǎo)。所以導(dǎo)函數(shù)不存在無(wú)窮間斷點(diǎn)。 (5)導(dǎo)數(shù)是否可能存在振蕩間斷點(diǎn)？根據(jù)導(dǎo)數(shù)極限定理，此時(shí)不能判斷導(dǎo)函數(shù)極限和該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)有可能存在，有可能不存在，需要利用導(dǎo)數(shù)定義驗(yàn)證。所以振蕩間斷點(diǎn)是有可能存在的。 綜上。函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)，那么導(dǎo)函數(shù)只有可能連續(xù)或者含振蕩間斷點(diǎn)。 那么這個(gè)結(jié)論可不可以換一個(gè)角度去理解呢？當(dāng)然可以。函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)，意味著導(dǎo)函數(shù)存在。同時(shí)，從導(dǎo)函數(shù)的角度來(lái)看，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在原函數(shù)。所以可以從原函數(shù)存在定理的角度探究導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性。 而根據(jù)原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)；存在可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)、無(wú)窮間斷點(diǎn)的函數(shù)必?zé)o原函數(shù)；存在振蕩間斷點(diǎn)的函數(shù)可能存在原函數(shù)。同樣可以得出，函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)要么連續(xù)，要么只含振蕩間斷點(diǎn)。