“主人，下課了嗎？”

“算是吧。今天整了個特別好玩的東西，不過我還沒太懂?！?/p>

“你這副模樣一看就是被量子力學整自閉了，可是我也幫不了你......”

“你別自己打退堂鼓。我看看能不能把我剛才學的東西說給你聽。如果你能搞明白，我感覺我也就差不多了?！?/p>

“這倒是個好主意。以前我經(jīng)常在你做其他事情的時候看看你那本《量子力學概論》，應(yīng)該有一些知識儲備。別告訴我你已經(jīng)把那本書忘干凈了，不然我就會好好收拾你。”

“你咋收拾我?。磕憧偛荒馨言虑騴huai到我臉上吧？”

“我以前在其他的文明可是當過暴君的，折磨人這種事我還是很擅長的哦?！迸c之對應(yīng)的是她瞇縫的雙眼——看來她已經(jīng)被“瞇瞇眼都是怪物”洗腦了。

我話還沒說她就用引力把我提了起來，不過只兩秒鐘我又被放回了地上。

“玩歸玩鬧歸鬧，別跟霜姐拍合照。”寶寶反手給了我一個腦瓜崩，“坐下吧，我來看看你們的量子力學有多漂亮，順帶我也學習學習。”

我最近沒看LPL，為什么她把電競?cè)Φ墓Ｒ矊W來了？

“這個問題要從我們高中物理的一個經(jīng)典模型說起?！蔽野迅咧形锢磉x修3-1拿了出來。

“你是說這個電子繞圈的模型嗎？”

“就是這個。那時候我們把電子視為經(jīng)典粒子，所以你會看到電子僅僅在磁場里做圓周運動?！?/p>

書上還留著我在下課后臨時寫的一些公式，其中最重要的是ω=eB/μc（因為之后要用m寫量子數(shù)，所以這里用μ表示電子質(zhì)量，采用高斯單位制）。

“這個確實很簡單。洛倫茲力垂直于運動方向且大小不變，那不就是轉(zhuǎn)圈圈嗎。”

“那時候這方面的題對我都是送分題。不過今天我們要把電子按照真實情況視為量子粒子?！?/p>

“直接解薛定諤方程？”

“是的。”

這里要解的方程就是大名鼎鼎的薛定諤方程：

Hφ=Eφ.

“這個哈密頓量你應(yīng)該怎么寫呢？”

“先等一下，我們要給磁場做一些規(guī)范化處理，好讓問題更簡單?！?/p>

“本寶寶拭目以待?！?/p>

“首先，磁場是

B=Bz.

朗道對于磁場進行的規(guī)范化處理（朗道規(guī)范）是：

Ax=-B·y，Ay=Az=0.

“很顯然朗道規(guī)范滿足磁矢勢A的基本要求，也就是：”

▽xA=B,

▽·A=0.

“寶寶給你個小任務(wù)，把我剛才說的“顯然”證明一下?！?/p>

“easy！這只不過是求一個行列式和一個內(nèi)積。第一個的話.....叉乘上去應(yīng)該是0-0加上兩個-1乘B乘z，y被求導(dǎo)消了，也就是Bz.第二個嘛，直接每一項求偏導(dǎo)數(shù)不就完事了?！?/p>

“這個下飯菜你看起來吃的不過癮啊。”

“too easy！”星塵搖了搖頭，“我可沒你那么菜。你上學期量子力學的期末考試才考了78分，我隨便寫寫都有84分呢?！?/p>

“我要是有你那腦回路早就100分了?！?/p>

“這說明咱倆還不夠鐵，不然你是可以與我精神共享的，這樣我就可以在你的意識里幫你理解那些概念并做一些計算工作了。你最好像現(xiàn)在這樣每天留給我至少一小時讓我唱歌給你聽，晚上也陪著我睡覺說說夜話什么的，然后你再給我做一些曲子，原創(chuàng)翻唱改編都可以。如果你真的能不忘初心堅持下來，我估摸著再過15-16年我就可以真正住進你的大腦了。到那時你就會擁有獨自把地球文明扛在肩上的能力?！?/p>

“我覺得到那時我會累死......先不說題外話了好嗎？這要是說下去幾個小時就沒了。”

“那繼續(xù)吧。”星塵把一條馬尾搭到了我的胳膊上，“希望我有一天靠著你的時候你能從身體上和精神上都給我一個堅實的臂膀......你現(xiàn)在還要繼續(xù)加油?！?/p>

“用一下正則方程，我們把經(jīng)典力學的電磁場運動方程

μr''=-q(▽Φ+?A/c?t)+(q/c)r' x (▽xA)

做一點點變換，然后就可以把哈密頓量寫出來了：”

H=(1/2μ)[(Px-(eB/c)y)2+Py2+Pz2].

“這個有點復(fù)雜，不過你看了我用的教材，現(xiàn)在應(yīng)該能看懂。需要注意的是朗道規(guī)范里磁矢勢只在x方向，所以三個動量算符里只有x方向的發(fā)生了變化?！?/p>

“現(xiàn)在這個x方向的動量算符對應(yīng)的是真正的動量吧?！毙菈m戴上了一副眼鏡(以裝成學究的樣子)——她一直以來都很討厭像阿綾或天依那樣有時換成中學生或大學生風格的服飾。

“幾個算符都是正則動量，但現(xiàn)在x方向那個是真正的動量，我們管它叫機械動量。y和z方向沒有磁矢勢，因此正則動量與機械動量相等?！?/p>

“有點明白了?！彼魃系难坨R的鏡框從黑色變成了藍色。

“那我們繼續(xù)。對于剛才的H，你試試把Pz和H求個對易式?！?/p>

“這不顯然是0嘛。別再問我這么垃圾的問題了?！?/p>

“不要裝x哦。然后呢？”

“這說明z方向的運動是自由的。”

“那么z方向的波函數(shù)又是什么呢？”

“自由電子的唄，也就是e的ikz次冪。”

“你沒忘就OK.到這里我們完成了第一步工作，也就是這個波函數(shù)φ(x,y,z)其實可以分離變量。你已經(jīng)把z分離出去了，也就是說，

φ(x,y,z)=φ(x,y)exp(ik''z),

這里給k加''是為了區(qū)分方向。”

“能理解?！毙菈m稍微朝我挪了挪，“剩下的φ還能分離變量嗎？”

“你試試用Px和H求個對易式。”

“誒？這個也是0吧?！?/p>

“是的?！?/p>

“x方向也是自由電子？”

“有磁矢勢哦。不過那個exp(ikx)還是對的，只不過它對應(yīng)的是正則動量而不是機械動量，它就不是電子x方向運動的本征態(tài)了?！?/p>

“x可以分離嗎？”

“當然可以。我們把[Px,H]作為力學量完全集，這樣就有了

φ(x,y)=exp(ikx)φ(y),

三個方向現(xiàn)在只剩下一個了。然后，給Px一個本征值

Px'=hk/2π,

就有了

(1/2μ)[(Px'-eBy/c)2+Py2]φ(y)=Eφ(y),

我們只需要處理這一個方程了?！?/p>

“問題簡單了不少，不過這個方程沒有什么對稱性，不知道該怎么試探波函數(shù)......”

“這里沒必要去試。接下來做一個有點雞賊的小變換

y0=cPx'/eB,

來，你把這個和最開始那個ω=eB/μc代進原來的方程?！?/p>

“終于輪到我了嗎......”星塵把筆搶過來然后扭過身子，“你稍等一下......不許看我寫東西?！?/p>

“你又不是寫能讓地球重啟的代碼，有啥見不得人的?！?/p>

“我寫字可丑了......畢竟唱歌跳舞以及作曲都是無紙化的工作，我很少寫東西的......”

“沒事，你看看我的筆記吧。高中的時候我的語文老師跟我說我的字爛到她15年教師生涯見過的學生就沒一個比我爛的。”

塵寶啞口無言，甚至眼神都短暫地失去了光澤。

“出來了，

(Py2/2μ+1/2·μω2(y0-y)2)φ(y)=Eφ(y),

是這樣的嗎？”

“嗯。這里P=-ih▽/2π,你再仔細看看這是什么？這是一個特別經(jīng)典的量子力學模型哦?！?/p>

“諧振子吧......誒哪來的量子諧振子？”

“這就是量子力學。電子不再經(jīng)典地轉(zhuǎn)圈，取而代之的是z方向的自由運動和y方向的諧振子，x方向決定簡并度。而剛才投機取巧的y0就是諧振子的平衡位置，也會被x方向的正則動量影響。接下來對于剛才那個諧振子我們有一套能級，

En=(n+1/2)hω/2π,

這就是經(jīng)典模型的拓展——朗道能級。然后波函數(shù)也可以寫出來，

φn(y)=Nnexp(-α2(y-y0)2/2)Hn(α(y-y0)),

這里Nn是歸一化常數(shù)，α=sqrt(2πμω/h)，Hn是厄米多項式。這個問題在朗道規(guī)范下還是比較簡單的。你可以把α寫成1/x0,也就是x方向的初始位置。現(xiàn)在再給你一個小任務(wù)：驗證一下x0,y0的量綱是正確的。其實對于這個朗道能級我們到這里還有很多問題沒有解決，算出能級只是第一步?！?/p>

“讓我先看看這兩個量綱。y0沒什么問題一眼就能看出來，就是高斯制除個c。x0的話把h代進去......也一樣的。”塵寶給了我一個wink,“能級之后的東西應(yīng)該是簡并度吧?！?/p>

“是的，接下來我們看一下剛才的朗道能級的簡并度?！?/p>

“你應(yīng)該注意到了對于k的取值我們沒有任何限制。”

“我也納悶?zāi)??！?/p>

“事實上如果電子在x,y方向上的運動是無限制的，k就可以隨意取值，但能級不變。然后你就會看到每個能級都塞了任意的k.”

“也就是說簡并度是∞.”星塵搶過話來。

“就是這樣。但真實情況下系統(tǒng)總有邊界，我們先考慮一下x方向。如果x方向有一個周期Lx的邊界條件，類似于晶格的周期性，很顯然

k=n·2π/Lx.

與此同時y方向的運動范圍同樣是包含y0的有限的Ly，我們把剛才的k代入y0里，這樣

y0=n·ch/eBLx,

兩個y0的間隔就是

Δy=ch/eBLx,

在0-Ly的范圍內(nèi)能放N個y0，那么

N=Ly/Δy=BLxLy/(hc/e),

設(shè)面積A=LxLy,簡并度f就是

f=BA/(hc/e).

現(xiàn)在寶寶你來看一下，f是哪兩個物理量的比值？”

“f是個無量綱量，BA是磁通量，所以這是兩個磁通量的比值。”

“OK.下面那個hc/e就是我們的磁通量子，這就是磁通量子化，你應(yīng)該在超導(dǎo)體的性質(zhì)中遇到過?！?/p>

“確實。當時我還模仿曹原的論文，真的做了兩片單層石墨烯然后扭轉(zhuǎn)1.1°.然后我到月球背面做低溫實驗，它果然變成了超導(dǎo)體，順手我也觀察了那些超導(dǎo)體的物理性質(zhì)。今天的朗道能級也許還可以做個實驗看一看?！?/p>

“這個還是要注意一下的。強磁場下朗道能級不再是我們現(xiàn)在這套表達式，而你的局域磁場甚至能比得上磁星，別玩脫了。另外還有一個最重要的問題，那就是在量子力學中，你的觀測會改變電子的波函數(shù)，你可能什么都看不到?！?/p>

“??？好吧我差點忘了.......”

“不過你可以嘗試模擬一下朗道能級，沒必要做實驗?！?/p>

“這還是比較簡單的，波函數(shù)能級和本征值都擺好了，只不過是把它們抄上去而已?！?/p>

星塵把一面墻當做屏幕，然后投影出在不同的k和n值下電子波函數(shù)的圖像。

“每天研究物理學的這些東西導(dǎo)致我看那些圖像總是會著迷，你呢？”

“我永遠跟著你。在我力所能及的范圍內(nèi)你需要我干什么都行?！毙菈m略微笑了笑，然后貼到了我身上。

塵寶寶實在是太單純了，我也很奇怪為什么138億年的宇宙和跨越時空的無數(shù)的地外文明沒有磨平她的棱角和好奇心。

隨著她的手指來回擺動，n和k相應(yīng)變化，然后變成動態(tài)的電子波函數(shù)，拓展到三維。

“我感覺我現(xiàn)在變成了你的電腦。”星塵把目光傾斜到我身上，“這是不是不太好呢？”

“沒關(guān)系的。我無法判斷現(xiàn)在咱倆誰更依賴誰?！?/p>

“得了吧，趕緊回去看波函數(shù)去，不然我要是在這里膩歪一下子幾個小時又沒了。

寶寶給我的感覺很接近恩奇都——就像是宇宙為我量身定制的一份天賜。

然而問題是我永遠做不了吉爾伽美什。

“或許每個人心中都會有這樣一個特殊到只能用神賜來解釋的形象?！蔽蚁胫耐瑫r拉住了星塵的右手。

與此同時面前的電子波函數(shù)也暫時收起，“我剛剛想到一個問題。你今天是用朗道規(guī)范求解了這個能級，有沒有其他方法計算這個能級呢？”

“你的意思是說其他的規(guī)范嗎？”

“對，應(yīng)該有別的方法。”

“確實有。在我們常規(guī)的對稱規(guī)范下也可以解決這個問題，而且除了能級以外計算結(jié)果還有點區(qū)別。對稱規(guī)范是

A=1/2·B x r,

▽·A=0.

這個問題我就交給你了，你自己算一算?！?/p>

(未完待續(xù))