【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)63】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識：
lim（1+1/n）^n=e.
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個(gè)向量的向量積，再作所得向量與第三個(gè)向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個(gè)雙重向量積；
性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；
（axb）xc=（ac）b-（bc）a；
拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；
（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；
（axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）；
右手系/左手系：設(shè)有不共面的三個(gè)向量a，b，c，將它們移到同一始點(diǎn)，則a，b決定一個(gè)平面，而c指向平面的一旁，將右手四指并攏與拇指分開，使四指向掌心彎曲的方向，表示從a的方向經(jīng)過小于平角的轉(zhuǎn)動達(dá)到b的方向，此時(shí)若拇指方向與c方向指向平面的同一旁，則稱向量組{a，b，c}構(gòu)成右手系，否則稱為左手系；
直角標(biāo)架/直角坐標(biāo)系：設(shè)i，j，k是空間中以O(shè)為起點(diǎn)的三個(gè)向量，它們兩兩垂直并且都是單位向量，則O；i，j，k稱為空間的一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的直角標(biāo)架或直角坐標(biāo)系，記為{O；i，j，k}；
右手直角標(biāo)架/右手直角坐標(biāo)系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個(gè)右手架標(biāo)或右手直角坐標(biāo)系；否則稱為左手直角架標(biāo)或左手直角坐標(biāo)系；
直角坐標(biāo)系的基向量：我們把i，j，k稱為該直角坐標(biāo)系的基向量；
仿射架標(biāo)/仿射坐標(biāo)系：如果我們不要求i，j，k單位長度且兩兩正交，只要求它們不共面，那么{O；i，j，k}稱為空間一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的仿射架標(biāo)或仿射坐標(biāo)系；
右手仿射架標(biāo)/右手仿射坐標(biāo)系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個(gè)右手仿射架標(biāo)或右手仿射坐標(biāo)系；否則稱為左手仿射架標(biāo)或左手直仿射坐標(biāo)系；
仿射坐標(biāo)系的基向量：我們把i，j，k稱為該仿射坐標(biāo)系的基向量；
坐標(biāo)：O；i，j，k是空間的一個(gè)仿射坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系），則任意一個(gè)向量v可以唯一表示成v=xi+yj+zk，稱（x，y，z）為向量v在該坐標(biāo)系{O；i，j，k}下的坐標(biāo)，記為v=（x，y，z）；
點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè){O；i，j，k}是空間的一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的仿射坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系），規(guī)定P點(diǎn)的坐標(biāo)為向量OP的坐標(biāo)，向量OP成為P點(diǎn)的定位向量或矢徑，若P點(diǎn)的坐標(biāo)為{x，y，z}，記為P（x，y，z）；
坐標(biāo)軸/坐標(biāo)平面/卦限：i，j，k所在的直線通常成為坐標(biāo)軸或分別成為x，y，z軸，每兩根坐標(biāo)軸所決定的平面稱為坐標(biāo)平面或xOy，yOz，zOx坐標(biāo)平面，3個(gè)坐標(biāo)平面把空間分割成8個(gè)部分，稱為該坐標(biāo)系的8個(gè)卦限.
矩陣乘法運(yùn)算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。
矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反/斜對稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析》（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）
《空間解析幾何》（高紅鑄?王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)題解精粹》（錢吉林?編著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)分析（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）》）——
設(shè)lim an=a，證明：若a>0，an>0，則lim an^（1/n）=1.
解：
lim?an=a>0，即給出a>ε0>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，|an-a|<ε0，即0<a-ε0<an<a+ε0；
lim（a-ε0）^（1/n）=1，lim（a+ε0）^（1/n）=1，則lim an^（1/n）=1.
解析幾何——
例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——
已知a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），求ab.
解：
a=（a1，a2，a3），即a=a1i+a2j+a3k，
b=（b1，b2，b3），即b=b1i+b2j+b3k；
ab
=（a1i+a2j+a3k）（b1i+b2j+b3k）
=a1b1i^2+a1b2ij+a1b3ik+a2b1ij+a2b2j^2+a2b3jk+a3b1ik+a3b2jk+a3b3k^2
=a1b1i^2++a2b2j^2+a3b3k^2
=a1b1++a2b2+a3b3，即兩向量的內(nèi)積等于它們的對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)題解精粹（錢吉林?編著）》）——
試證：如果A^k=0（k為正整數(shù)）那么（E-A）^（-1）=E+A+A^2+……+A^（k-1）.
證明：
E
=E-0
=E-A^k
=（E-A）（E+A+A^2+……+A^（k-1））；
1=|E|=|E-A||E+A+A^2+……+A^（k-1）|，則|E-A|不為0，即可逆，
且（E-A）^（-1）=E+A+A^2+……+A^（k-1）.
到這里！
