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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于向量自回歸VAR的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。

向量自回歸 (VAR) 是一種用于多變量時間序列分析的統(tǒng)計模型，尤其是在變量具有相互影響關(guān)系的時間序列中，本視頻中我們介紹了向量自回歸并在R軟件中進(jìn)行實現(xiàn)

為什么用向量自回歸

為了能夠理解幾個變量之間的關(guān)系。允許動態(tài)變化。

為了能夠得到更好的預(yù)測。

一組時間序列由多個單一序列組成。

我們在建立時間序列模型時說，簡單的單變量ARMA 模型可以很好地進(jìn)行預(yù)測。那么，為什么我們需要多個序列？

例子如：CPI反映的是通脹，CPI高了，通脹風(fēng)險大，而抑制通脹最重要的手段就是加息，反之，當(dāng)CPI很低，就說明經(jīng)濟(jì)不景氣，那么就需要降息。降息之后刺激經(jīng)濟(jì)增長。因此，可能需要一個聯(lián)合的動態(tài)模型來了解動態(tài)的相互關(guān)系 并可能做一個更好的預(yù)測工作。

在觀察 ARMA 和 GARCH 模型時，您會立即注意到估計和預(yù)測是針對一個變量進(jìn)行的。在現(xiàn)實生活中，這并不成立。實際上，還有許多其他變量可能會影響其他變量。市場參與者和經(jīng)濟(jì)學(xué)家總是對宏觀經(jīng)濟(jì)變量與他們有興趣購買的資產(chǎn)之間的動態(tài)關(guān)系感興趣。此操作可以幫助他們預(yù)測市場上可能發(fā)生的潛在情況。

使用 VAR 模型的基本要求是：

具有至少兩個變量的時間序列。

變量之間存在動態(tài)關(guān)系。

它被認(rèn)為是一個自回歸模型，因為模型所做的預(yù)測取決于過去的值，這意味著每個觀測值都被建模為其滯后值的函數(shù)。

ARIMA 和 向量自回歸?模型之間的基本區(qū)別在于，所有 ARIMA 模型都用于單變量時間序列，其中 向量自回歸?模型適用于多變量時間序列。此外，ARIMA 模型是單向模型，這意味著因變量受其過去值或滯后值本身的影響，其中 向量自回歸?是雙向模型，這意味著因變量受其過去值或另一個變量值的影響或受這兩件事的影響。?

什么是向量自回歸

向量自回歸模型是統(tǒng)計分析中經(jīng)常使用的模型，它探索了幾個變量之間的相互關(guān)系。

在開始建模部分之前，讓我們先了解一下模型背后的數(shù)學(xué)。

單變量時間序列的典型自回歸模型 (AR(p)) 可以表示為?

其中

y t -i ?表示較早時期的變量值。

A是一個時不變的 ( k × k ) 矩陣。

e t是一個誤差項。

c是模型的截距。

這里的階數(shù) p 的意思是，最多使用 y 的 p滯后。

眾所周知，向量自回歸模型處理的是多元時間序列，這意味著會有兩個或多個變量相互影響。因此，向量自回歸?模型方程隨著時間序列中變量數(shù)量的增加而增加。

假設(shè)有兩個時間序列變量 y1 和 y2，因此要計算 y1(t)，向量自回歸?模型將使用兩個時間序列變量的滯后。?

例如，具有兩個時間序列變量（y1 和 y2）的 VAR(1) 模型的方程如下所示：

其中，Y{1,t-1} 是 y1 的第一個滯后值，Y{2,t-1} 是 y2 的第一個滯后值。?

我們可以清楚地了解模型的方程將如何隨著變量和滯后值的增加而增加。例如，具有 3 個時間序列變量的 VAR(3) 模型方程如下所示。

所以這就是 p 值將如何增加模型方程的長度，而變量的數(shù)量將增加方程的高度。

選擇模型的滯后數(shù)

有兩種主要方法可以選擇模型的滯后數(shù)：

經(jīng)驗方法，我們使用信息標(biāo)準(zhǔn)

推理方法包括使用假設(shè)檢驗

?

我們只考慮信息標(biāo)準(zhǔn)。有 3 個流行的信息標(biāo)準(zhǔn)，即：

赤池信息準(zhǔn)則 (AIC)

施瓦茨-貝葉斯 (BIC)

漢南-奎恩 (HQ)

實際上，最佳滯后數(shù)是信息標(biāo)準(zhǔn)最小的滯后數(shù)。然后，我們估計 p=0,...,pmax 的 VAR(p) 并選擇最小化 AIC、BIC 或 HIQ 的值 p。

向量自回歸模型的估計包括以下步驟：

選擇最佳滯后長度

信息標(biāo)準(zhǔn) (IC) 用于確定最佳滯后長度。最常用的是 Akaike IC、Hannah-Quinn 準(zhǔn)則和 Schwarz 準(zhǔn)則。

平穩(wěn)性檢驗

下一步是估計變量的平穩(wěn)性。一種廣泛使用的估計平穩(wěn)性的方法是增廣迪基-富勒檢驗和菲利普斯-佩隆檢驗。如果變量是非平穩(wěn)的，則應(yīng)采用一階差分并以相同的方式測試平穩(wěn)性。

協(xié)整檢驗

變量可能是非平穩(wěn)的，但具有相同階數(shù)的積分。在這種情況下，可以使用矢量糾錯模型 (VECM) 而不是 向量自回歸?來分析它們。如果變量是協(xié)整的，則在以下分析中應(yīng)用 VECM 而不是 向量自回歸?模型。VECM 應(yīng)用于非變換的非平穩(wěn)序列，而 向量自回歸?使用變換的或平穩(wěn)的輸入。

模型估計

使用選擇的滯后數(shù)和具有標(biāo)準(zhǔn)誤差的系數(shù)運行 向量自回歸?模型，并計算相應(yīng)的 t 統(tǒng)計量以評估統(tǒng)計顯著性。

診斷測試

接下來，使用 Breusch-Godfrey 檢驗對模型進(jìn)行序列相關(guān)性檢驗，使用 Breusch-Pagan 檢驗檢驗異方差性和穩(wěn)定性。

脈沖響應(yīng)函數(shù) (IRF)

IRF 用于以圖形方式表示 向量自回歸?模型的結(jié)果，并預(yù)測變量對彼此的影響。

格蘭杰因果檢驗

這些變量可能是相關(guān)的，但它們之間可能不存在因果關(guān)系，或者影響可能是雙向的。Granger 檢驗表明變量之間的因果關(guān)系，并根據(jù) 向量自回歸?系統(tǒng)中一對變量的當(dāng)前值和過去值的交互作用顯示因果關(guān)系的方向。

向量自回歸?在以下幾種情況下很有用

向量自回歸?面臨的一個批評是它們是非理論的。也就是說，它們不是建立在某些將理論結(jié)構(gòu)強(qiáng)加于方程的經(jīng)濟(jì)理論之上。假設(shè)每個變量都會影響系統(tǒng)中的所有其他變量，這使得對估計系數(shù)的直接解釋變得困難。盡管如此，向量自回歸?在以下幾種情況下很有用：

1. 在不需要明確解釋的情況下預(yù)測相關(guān)變量的集合；

2. 測試一個變量是否對預(yù)測另一個變量有用（格蘭杰因果檢驗的基礎(chǔ)）；

3. 脈沖響應(yīng)分析，分析一個變量對另一個變量突然但暫時變化的響應(yīng)；

4. 預(yù)測誤差方差分解，其中每個變量的預(yù)測方差比例歸因于其他變量的影響。

R語言用向量自回歸（VAR）進(jìn)行經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)脈沖響應(yīng)研究分析

自從Sims（1980）發(fā)表開創(chuàng)性的論文以來，向量自回歸模型已經(jīng)成為宏觀經(jīng)濟(jì)研究中的關(guān)鍵工具。這篇文章介紹了VAR分析的基本概念，并指導(dǎo)了簡單模型的估算過程。

單變量自回歸

VAR代表_向量自回歸_。為了理解這意味著什么，讓我們首先來看一個簡單的單變量（即僅一個因變量或內(nèi)生變量）自回歸（AR）模型，其形式為yt=a1yt?1+et。

平穩(wěn)性

在估算此類模型之前，應(yīng)始終檢查所分析的時間序列是否穩(wěn)定，即它們的均值和方差隨時間變化是恒定的，并且不顯示任何趨勢行為。

有一系列統(tǒng)計檢驗，例如Dickey-Fuller，KPSS或Phillips-Perron檢驗，以檢驗序列是否穩(wěn)定。另一種非常常見的做法是繪制序列并檢查其是否圍繞恒定的平均值（即水平線）移動。如果是這種情況，它很可能是穩(wěn)定的。

自回歸滯后模型

像AR（p）模型一樣，僅憑其自身的滯后對宏觀經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行回歸可能是一種限制性很大的方法。通常，更合適的假設(shè)是還有其他因素。通過包含因變量的滯后值以及其他（即，外生）變量的同期和滯后值的模型來實現(xiàn)這種想法。同樣，這些外生變量應(yīng)該是穩(wěn)定的。對于內(nèi)生變量yt和外生變量xt例如_自回歸分布滯后_或ADL，模型可以寫成

yt=a1yt?1+b0xt+b1xt?1+et.

這種ADL模型的預(yù)測性能可能會比簡單的AR模型更好。但是，如果外生變量也依賴于內(nèi)生變量的滯后值怎么辦？這意味著xt也是內(nèi)生的，還有進(jìn)一步的空間可以改善我們的預(yù)測。

向量自回歸模型

因此，如上所述，VAR模型可以重寫為一系列單獨的ADL模型。實際上，可以通過分別估計每個方程來估計VAR模型。

標(biāo)準(zhǔn)VAR模型的協(xié)方差矩陣是_對稱的_，即，對角線右上角的元素（“上三角”）將對角線左下角的元素（“下三角”）鏡像。這反映了這樣一種想法，即內(nèi)生變量之間的關(guān)系僅反映相關(guān)性，并且不允許做出因果關(guān)系的陳述，因為在每個方向上的影響都是相同的。

在所謂的_結(jié)構(gòu)化_ VAR（SVAR）模型的背景下分析了同時因果關(guān)系，或更確切地說，是變量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，該模型對協(xié)方差矩陣施加了限制 。

在本文中，我考慮VAR（2）過程。

此示例的人工樣本是在R中生成的

set.seed(123) # 由于可復(fù)制性的考慮，重置隨機(jī)數(shù)發(fā)生器# 生成樣本t <- 200 # 時間序列觀察數(shù)k <- 2 # 內(nèi)生變量數(shù)p <- 2 # 滯后階數(shù)# 生成系數(shù)矩陣A.1 <- matrix(c(-.3, .6, -.4, .5), k) # 滯后系數(shù)矩陣1A.2 <- matrix(c(-.1, -.2, .1, .05), k) # 滯后系數(shù)2A <- cbind(A.1, A.2) # 系數(shù)矩陣# 生成序列series <- matrix(0, k, t + 2*p) # 帶有0的原始序列for (i in (p + 1):(t + 2*p)){ # 生成e ~ N(0,0.5)的序列 ?series[, i] <- A.1%*%series[, i-1] + A.2%*%series[, i-2] + rnorm(k, 0, .5)}series <- ts(t(series[, -(1:p)])) # 轉(zhuǎn)換為時間序列格式names <- c("V1", "V2") # 重命名變量plot.ts(series) # 繪制序列

估算值

簡單VAR模型的參數(shù)和協(xié)方差矩陣的估計很簡單。

為了估計VAR模型，加載并指定數(shù)據(jù)（y）和 模型。

比較

VAR分析中的一個中心問題是找到滯后的階數(shù)，以產(chǎn)生最佳結(jié)果。模型比較通?；谛畔?biāo)準(zhǔn)，例如AIC，BIC或HQ。通常，由于是小樣本預(yù)測，AIC優(yōu)于其他標(biāo)準(zhǔn)。但是，BIC和HQ在大型樣本中效果很好 。

可以計算標(biāo)準(zhǔn)信息標(biāo)準(zhǔn)以找到最佳模型。在此示例中，我們使用AIC：

通過查看，summary我們可以看到AIC建議使用2的階數(shù)。

summary(var.aic)## VAR Estimation Results:## ========================= ## Endogenous variables: Series.1, Series.2 ## Deterministic variables: none ## Sample size: 200 ## Log Likelihood: -266.065 ## Roots of the characteristic polynomial:## 0.6611 0.6611 0.4473 0.03778## Call:## VAR(y = series, type = "none", lag.max = 5, ic = "AIC")## ## ## Estimation results for equation Series.1: ## ========================================= ## Series.1 = Series.1.l1 + Series.2.l1 + Series.1.l2 + Series.2.l2 ## ## ? ? ? ? ? ? Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ? ?## Series.1.l1 -0.19750 ? ?0.06894 ?-2.865 ?0.00463 ** ## Series.2.l1 -0.32015 ? ?0.06601 ?-4.850 2.51e-06 ***## Series.1.l2 -0.23210 ? ?0.07586 ?-3.060 ?0.00252 ** ## Series.2.l2 ?0.04687 ? ?0.06478 ? 0.724 ?0.47018 ? ?## ---## Signif. codes: ?0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1## ## ## Residual standard error: 0.4638 on 196 degrees of freedom## Multiple R-Squared: 0.2791, ?Adjusted R-squared: 0.2644 ## F-statistic: 18.97 on 4 and 196 DF, ?p-value: 3.351e-13 ## ## ## Estimation results for equation Series.2: ## ========================================= ## Series.2 = Series.1.l1 + Series.2.l1 + Series.1.l2 + Series.2.l2 ## ## ? ? ? ? ? ? Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ? ?## Series.1.l1 ?0.67381 ? ?0.07314 ? 9.213 ?< 2e-16 ***## Series.2.l1 ?0.34136 ? ?0.07004 ? 4.874 2.25e-06 ***## Series.1.l2 -0.18430 ? ?0.08048 ?-2.290 ? 0.0231 * ?## Series.2.l2 ?0.06903 ? ?0.06873 ? 1.004 ? 0.3164 ? ?## ---## Signif. codes: ?0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1## ## ## Residual standard error: 0.4921 on 196 degrees of freedom## Multiple R-Squared: 0.3574, ?Adjusted R-squared: 0.3443 ## F-statistic: 27.26 on 4 and 196 DF, ?p-value: < 2.2e-16 ## ## ## ## Covariance matrix of residuals:## ? ? ? ? ?Series.1 Series.2## Series.1 ?0.21417 -0.03116## Series.2 -0.03116 ?0.24154## ## Correlation matrix of residuals:## ? ? ? ? ?Series.1 Series.2## Series.1 ? ?1.000 ? -0.137## Series.2 ? -0.137 ? ?1.000`仔細(xì)觀察結(jié)果，我們可以將真實值 與模型的參數(shù)估計值進(jìn)行比較：

真實值``

A## ? ? ?[,1] [,2] [,3] [,4]## [1,] -0.3 -0.4 -0.1 0.10## [2,] ?0.6 ?0.5 -0.2 0.05# Extract coefficients, standard errors etc. from the object# produced by the VAR functionest_coefs <- coef(var.aic)# 僅提取兩個因變量的系數(shù)，并將它們組合為一個矩陣# 輸出四舍五入的估計值round(est_coefs, 2)## ? ? ?Series.1.l1 Series.2.l1 Series.1.l2 Series.2.l2## [1,] ? ? ? -0.20 ? ? ? -0.32 ? ? ? -0.23 ? ? ? ?0.05## [2,] ? ? ? ?0.67 ? ? ? ?0.34 ? ? ? -0.18 ? ? ? ?0.07

所有估計值都有正確的符號，并且相對接近其真實值。

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R語言VAR模型的不同類型的脈沖響應(yīng)分析

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脈沖響應(yīng)

一旦我們確定了最終的VAR模型，就必須解釋其估計的參數(shù)值。由于VAR模型中的所有變量都相互依賴，因此單個參數(shù)值僅提供 有限信息。為了更好地了解模型的動態(tài)行為，使用了脈沖響應(yīng)（IR）。可以繪制因變量的軌跡，產(chǎn)生在許多宏觀論文中都可以找到的那些波浪曲線。

在下面的示例中，我們想知道受到?jīng)_擊后序列2的行為。指定了我們想要脈沖響應(yīng)的模型和變量后，我們將時間范圍設(shè)置n.ahead為20。該圖給出了序列2的響應(yīng)。

# 計算脈沖響應(yīng)# 繪制脈沖響應(yīng)plot(ir.1)

請注意，_正交_選項很重要，因為它說明了變量之間的關(guān)系。在我們的示例中，我們已經(jīng)知道不存在這樣的關(guān)系，因為真正的方差-協(xié)方差矩陣（或簡稱協(xié)方差矩陣）在非對角元素中是對角為零的對角線。但是，由于具有200個觀測值的有限時間序列數(shù)據(jù)限制了參數(shù)估計的精度，因此協(xié)方差矩陣的非對角元素具有正值，這意味著 非零同時效應(yīng)。為了在IR中排除這種情況，我們設(shè)置了ortho = FALSE。結(jié)果是，脈沖響應(yīng)在周期0中從零開始。也可以嘗試另一種方法并進(jìn)行設(shè)置ortho = TRUE，那么繪圖從零開始。

要了解這一點，還可以計算并繪制_累積_脈沖響應(yīng)函數(shù)，以了解 總體長期影響：

# 計算脈沖響應(yīng)# 繪圖plot(ir.2)

我們看到，盡管序列2對序列1中的 反應(yīng)在某些時期是負(fù)面的，但總體效果卻是顯著正面。

本文摘選?《?R語言用向量自回歸（VAR）進(jìn)行經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)脈沖響應(yīng)研究分析?》?，點擊“閱讀原文”獲取全文完整資料。

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