最近聽到有人在講黃金分割，突然讓我覺得，它會不會與復數(shù)存在著什么聯(lián)系呢？，帶著這一疑問，我做了大量的計算，現(xiàn)在把結果報告和大家分享。

? ? ?1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+i))))))))))))))))))))))＝

0.6180339887+0.0000000009i

如果對上述運算結果取倒數(shù)，即得1.618033989-0.0000000023i

由于所有的計算步驟都是相同的，我就不寫過程了，直接給出結果。把上式中的 1＋i 換成 2＋2i，照同樣的方法算下去，結果是：

1.618033989+0.0000000006i

如果把式中的 1+i 換成 2，結果是0.618033989

如果把式中的 1+i 換成 3+3i，結果是0.6180339897+0.0000000004i

如果把式中的 1+i 換成 20+20i，結果是? ?1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(20+20i))))))))))))))))))))))＝0.6180339901

如果把式中的 1+i 換成 3+4i，結果是0.6180339898+0.0000000004i

如果把式中的 1+i 換成 12+27i，結果是0.6180339901

如果把式中的 1+i 換成 0.2+0.7i，結果是0.6180339879+0.0000000019i

如果把分子上的1換成 5.083203681，分母保持原樣，還按那個步驟算下去，會得到

?3.141592647+0.0000000045i

結論是，復平面上任何一個復數(shù)，在保持分子為1的前題下，按上述步驟計算，那么得到復數(shù)的實部一定是非常接近 0.618 的一個數(shù)，或取倒數(shù)得到實部一定是非常接近 1.618 的一個數(shù)，虛部趨向于無窮小，也就是0。如果分子大于1，比如5.083203681，則可以得到圓周率的近似值3.141592647，虛部可以忽略不記，這個精度可以無限次提高。所以超越數(shù)和黃金分割數(shù)也是復數(shù)。

以上是復數(shù)與黃金分割數(shù)的關系，再來看看復數(shù)與菲波拉契數(shù)列的關系，請參看下圖。

圖中右斜 45度線是按菲波拉契數(shù)列給定的，線上每一個點對應一個復數(shù)，這個復數(shù)的實部或虛部都是菲波拉契數(shù)列中的數(shù)，且實部與虛部相等，如 2+2i，3＋3i，5＋5i，8＋8i.....

現(xiàn)在我們用復數(shù)的乘法將這條右斜 45度線變成左斜線，且相互平行，如圖所示。

下面是計算結果，分別對應圖中的左斜線。第一組結果除外，稍后再說。

（2＋2i）*（1－i）＝4

（3＋3i）*（1－i）＝6

（5＋5i）*（1－i）＝10

（8＋8i）*（1－i）＝16

（2＋2i）*（1＋i）＝4i

（3＋3i）*（1＋i）＝6i

（5＋5i）*（1＋i）＝10i

（8＋8i）*（1＋i）＝16i

（2＋2i）*（1＋2i）＝-2+6i

（3＋3i）*（1＋2i）＝-3+9i

（5＋5i）*（1＋2i）＝-5+15i

（8＋8i）*（1＋2i）＝-8＋24i

（2＋2i）*（1＋3i）＝-4+8i

（3＋3i）*（1＋3i）＝-6+12i

（5＋5i）*（1＋3i）＝-10+20i

（8＋8i）*（1＋3i）＝-16+32i

（2＋2i）*（1＋4i）＝-9+15i

（3＋3i）*（1＋4i）＝-15+25i

（5＋5i）*（1＋4i）＝-24+40i

（8＋8i）*（1＋4i）＝-39+65i

這里算出的都是左斜線上點在復平面內的座標。所有的左斜線與X軸正方向的交點即是菲波拉契數(shù)列，有的人說菲波拉契數(shù)列不是2，3，5，8……嗎？

如果把我計算得出的這個數(shù)列4，6，10，16……其中每個數(shù)都除以2，即可得到菲波拉契數(shù)列 2，3，5，8……

換句話說，菲波拉契數(shù)列很多很多，只需要把該數(shù)列中的各個數(shù)都乘以同一個正整數(shù)，則它還是菲波拉契數(shù)列，即是說菲波拉契數(shù)列2，3，5，8……是數(shù)列 4，6，10，16 ……中的各個數(shù)除以 2 的一個結果，

而數(shù)列2，4，6，10，16 ……是復數(shù)運算的結果。乘法運算代表旋轉，但不完全是，不過這無關緊要。而向日葵等植物的果實排列呈現(xiàn)菲波拉契數(shù)列，這不正說明，它是按復數(shù)的運算規(guī)律旋轉排列的嗎？

由菲波拉契數(shù)列得到的黃金角是137.51?，我得到的黃金角的度數(shù)是

135?，如下圖所示：

想必大家注意到了圖中那個最大的正方形，它就是黃金正方形。這是我根據(jù)復數(shù)運算的對稱性得到的。其實根據(jù)復數(shù)的對稱性，它在X軸的下半部分應該還有一個與上述圖形完全對稱的圖形，那里也包含一個黃金正方形。我為什么說菲波拉契數(shù)列的黃金角137.51?不對呢，因為它破壞了對稱性

? ? ? ? ? 1 ?2 ?3 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??

，植物的果實呈現(xiàn)出菲波拉契數(shù)列的規(guī)律其實是由復數(shù)的對稱性決定的。

而菲波拉契數(shù)列中的黃金比例正是由復數(shù)的對稱性的表現(xiàn)。

在對復數(shù)的研究過程中我還發(fā)現(xiàn)一種奇特的現(xiàn)象，它與曼德勃羅集有關，由 ?Z2＋C 在復平面上做出它的函數(shù)值的某個集合，得出的圖形的對稱中心不在座標原點，而是在復平面上，也就是說，復數(shù)的對稱軸或對稱點可以不是座標軸或座標原點。

上面這個圖形是 Z2 的圖形，當 Z＝1時，就得到外面的大圓，將 Z＝1 的函數(shù)值在放入 Z2 中就得到比外面的大圓略小一點的圓，再把這個圓上的點對應的復數(shù)代入 Z2 的運算，又得到一個比它略小一點的圓，重復上述操作 11 次，即不斷把Z的函數(shù)值代入 Z2 并迭代運算11次，就會變成 0 。

我曾設想 Z2＋C 中的指數(shù)對任意正整數(shù)均成立，即將 2 換成任意正整數(shù)，它的函數(shù)值仍在曼德勃羅集中，我試著把指數(shù)換成 4，6，8 并進行了計算，其函數(shù)值正好在曼德勃羅集中，恰如我所料。計算結果我就不展現(xiàn)了。

共線的任意兩個復數(shù)之積仍然共線。