撰文 | 尹裕

1965年，華羅庚先生曾在一個中學做數(shù)學普及報告，講了三個小時，內(nèi)容極為豐富，非常生動，且都非常有價值。聽眾有一千多人，其中很多人對這個報告終生不忘。

下面是報告中說到的一個故事，是根據(jù)筆者的回憶整理的。

故事的開始是前蘇聯(lián)的一次洲際導彈試射，目的地在太平洋里。在試射前，蘇聯(lián)官方向全世界發(fā)出一個公告，說明導彈可能落入的區(qū)域，警告所有過往船只繞道而行。公告給出了該區(qū)域的地圖。圖1是該區(qū)域的形狀（草圖）。

圖1

用數(shù)學的語言說，這是一個“曲邊四邊形”。

這個區(qū)域為什么是這樣的怪形狀呢？這是華羅庚先生在這個報告中指出的一個問題。細心的人應該會想到這個問題，但未必能回答這個問題。下面的故事就越來越精彩了。

華羅庚先生解釋說，首先要注意，地球是圓的，這個圖是將一個球面圖投影到平面上得到的，其實原圖在球面上并不很“怪”。如果將這個曲邊四邊形恢復到球面上，就會看到曲邊AB和CD都是大圓弧（也稱“測地線”，在球面上連結(jié)兩點的最短曲線就是大圓弧，相當于平面中的直線段），而曲邊BC和AD是同心圓弧。

為了易于理解可以這樣解釋：設想大地是平面，那么這個區(qū)域就是如圖2的曲邊四邊形ABCD，其中BC和AD是以O為圓心的圓弧，A在半徑OB上，D在半徑OC上，AB、CD為線段。

圖2

這樣就不難理解這個曲邊四邊形了。在圖2中，O是導彈的發(fā)射點，導彈飛行的路程有一個偏差范圍，可以控制導彈飛行的距離不遠于OB，不近于OA，那么導彈的落點就位于以O為圓心OB為半徑的圓內(nèi)，同時又位于以O為圓心OA為半徑的圓外，即位于兩個圓所夾的圓環(huán)內(nèi)；另一方面，導彈的飛行方向也有一個偏差范圍，可以控制導彈的飛行方向位于∠BOC內(nèi)。這樣導彈的落點就位于上述圓環(huán)和∠BOC的公共部分，即曲邊四邊形ABCD內(nèi)。

在球面上的情形與此類似，只是復雜些，需要將AB、CD換為大圓?。˙C和AD仍是以O為圓心的圓弧，但不在同一平面中）。發(fā)揮幾何直觀想象力不難明白。

講明了這個道理，華羅庚先生進一步說，由此就可知大圓弧AB和CD的交點就是導彈的發(fā)射點，這樣就可以從公告中的圖出發(fā)計算導彈發(fā)射點。華羅庚先生計算的結(jié)果是，導彈發(fā)射點在烏拉爾山區(qū)。

不僅如此，由公告中的圖還可以計算出導彈飛行距離的偏差范圍，以及導彈飛行方向的偏差范圍，都是關(guān)于導彈精確度的數(shù)據(jù)。

這些可都是重要的軍事秘密！居然就這樣破解了。在場的聽眾無一不被震撼。

筆者當年有幸聽了這個報告，后來對這個故事的感想是：今后無論誰再試射導彈，在公告中恐怕再也不敢用這樣的圖了。

參考文獻

[1]李克正:怎樣學好數(shù)學.返樸(2019)

[2]尹裕:尋回美好的中學時代.數(shù)學通報2006年第1期